Техническая наука в любой области изобилует, порой, довольно парадоксальными решениями, которые, тем не менее, если разобраться, вполне себе имеют право на существование и, к тому же, приводят к интересным следствиям — то есть, полезны для современного применения: именно таким и является знаменитый «парадокс Фергюсона», касающийся зубчатых передач, который удивляет впервые ознакомившихся с ним людей людей, уже более 260 лет, и, к тому же, имеет интересное следствие в наши дни, так как зная его принципы, можно успешно проектировать механические суставные передачи роботов, с парадоксальным (на первый взгляд) движением… 

…Считается, что этот механический «парадокс» является детищем шотландского астронома и разработчика приборов Джеймса Фергюсона, жившего в XVIII веке (1710—1776):

Суть парадокса заключается в том, что однажды, вступив в спор с местным часовщиком, он спросил его, понимает ли он, как одно зубчатое колесо вращает другое? Естественно, тот понимал (глупый, на первый взгляд, вопрос для часовщика!). 

Тогда, Фергюсон предложил тому представить, умозрительно, что было бы , если бы собрать систему, где одно толстое зубчатое колесо, одновременно касалось бы трёх относительно тонких:

В ходе чего, предложил выдвинуть часовщику предположение, в каком направлении вращались бы относительно тонкие три колеса, если бы повернуть толстое зубчатое колесо? 

Естественно, часовщик ответил, в том духе, что это какое-то оскорбление здравого смысла, и естественно, три маленьких колеса будут вращаться в противоположную сторону, относительно направления вращения большого колеса! 

На что Фергюсон ему возразил, что на месте последнего он бы не был настолько уверен и что часовщик бы сказал, если бы в ходе подобного вращения можно было реализовать систему, где первое тонкое зубчатое колесо будет вращаться в противоположную сторону, второе — по направлению вращения, а третье — будет стоять на месте, не вращаясь? 

Понятно, что часовщик счёл это полным абсурдом и даже не пожелал верить в реализуемость подобного! 

В ответ, Фергюсон обязался принести и продемонстрировать реально созданное устройство подобного рода, уже на следующей неделе, — собственно, что он и проделал в итоге!

Часовщик, после изучения (и даже разборки/сборки) этого устройства, выразился в таком духе, что он совершенно не понимает, как это работает, и что это полностью нарушает все принципы механики! :-D 

Таким образом, Фергюсон победил в споре и продемонстрировал ему, что, несмотря на то, что человек может чего-то не понимать, это вовсе не отрицает реализуемость подобного.*

*Как можно видеть по ссылке выше, в реальности, у них там был теологический спор, однако мы его детали оставим за скобками, так как для нас, как инженеров, больше интересна механическая сторона вопроса…

Если вы ещё не догадались, то секрет работы подобного устройства заключался в разном числе зубцов у тонких шестерней!  

Причём, понятно, что в силу этого, если мы взглянем на конструкцию выше, где показано соединение всех четырёх шестерней, то, с учётом этого нового знания, становится понятно, что обеспечить плотное соединение друг с другом для всех шестерней, где три из них отличаются по количеству зубьев, довольно проблемно, и придётся делать некий «усреднённый» профиль зуба у толстой шестерни, чтобы она могла хоть как-то более-менее зацепляться за все. 

Насколько можно судить, эта проблема была понятна уже на моменте первого изготовления толстой шестерни, потому что, помимо предположения* об усредненном профиле зуба большой шестерни, сами шестерни изготавливались из мягкой древесины, что сильно компенсировало трудности стыковки одной толстой шестерни и трёх тонких.

*По крайней мере, явных исторических свидетельств я не нашёл, однако, это моё предположение, как я сам бы делал, если бы такая задача встала.

Там же мы можем видеть, что в виду указанных проблем, в дальнейшем, была изготовлена версия устройства, где единая толстая шестерня была заменена тремя отдельными, насаженными на один и тот же вал, к тому же, имеющими разный диаметр — подобное решение стали использовать для создания моделей солнечной системы:

Впрочем, как показывает практика, даже с единой металлической шестерней, устройство вполне себе работает (по ссылке можно найти pdf-документ с массой фотографий современной реплики подобного устройства). 

Выше мы всего лишь кратко упомянули о том, что три тонкие шестерни имеют разное число зубцов, однако, до этого момента нам была совершенно непонятна вся архитектура устройства, и она такова (эти принципы мы ещё увидим ниже, и даже, при желании, сможем попробовать на практике!):

• Толстая шестерня (единая, в виде единой детали или составная, из нескольких шестерней, но собранных на один вал, где эти шестерни жёстко соединены друг с другом) должна касаться трёх тонких шестерней (в оригинале — она неподвижна, но возможны и вариации — это показано ближе к концу статьи);

• Вокруг этой центральной толстой шестерни, на специальном выносном рычаге (называется «водило» или «carrier» — по англ.) устанавливается вал, на который насаживается три шестерни, одинакового диаметра, но с разным количеством зубцов (о них ниже);

• У двух из трёх тонких шестерней одинакового диаметра имеется разница в количестве зубьев, на 1 зуб — по сравнению с центральной толстой шестерней (у которой количество зубьев, например, составляет 30): например, количество зубьев на тонких шестернях выглядит как 31, 30, 29. Таким образом:

  • 31 зуб — будет вращаться в том же направлении, что и центральная шестерня;

  • 30 зубьев — будет стоять неподвижно, относительно центральной шестерни;

  • 29 зубьев — будет вращаться в обратном направлении, относительно центральной шестерни.

По крайней мере, насколько можно судить, так говорит сам Джеймс Фергюсон, в книге 1773 года (разумеется, не о конкретном количестве зубьев, которое мы тут рассматриваем, а о принципиальной разнице в их количестве больше/равно/меньше, что приведёт к определённой направленности вращения). 

Возможно, реальны конфигурации и с большей разницей в числе зубьев — однако, нужно изучать вопрос ещё глубже, на данный момент, у меня такой информации нет. 

Таким образом, используя всего лишь подобную простую конфигурацию, можно добиться указанного: все три тонкие шестерни во время вращения будут демонстрировать разное поведение: одна будет вращаться по часовой стрелке, следующая стоять на месте, а ещё одна — вращаться против часовой стрелки. 

Желающие самостоятельно поэкспериментировать с размерами шестерён, могут обратиться, например, вот к этому онлайн-калькулятору, где можно с помощью ползунков повыставлять количество зубьев и посмотреть передаточное соотношение которое получится, на каждой тонкой шестерне, относительно толстой шестерни: скажем, у меня, для количества зубцов: 20 — на толстой и 19, 20, 21 — на тонких, вышло в районе:

• -4,76% от оборота толстой;

• 0;

• 5,26% от оборота толстой.

Отрицательное, нулевое или положительное значение показывает, — крутится тонкая шестерня против направления толстой, стоит неподвижно или крутится в том же направлении.

То есть, у меня вышли где-то соотношения редуктора: 1:21, 0, 1:19.  

Желающие могут пойти даже дальше, и, посмотрев видео ниже (с 3:55), перейти на онлайн-имитатор передачи, где наглядно построить подобную, и поэкспериментировать с её вращением:

Имитатор передачи находится вот здесь и выглядит вот так (настройка производится по видео выше):

Чему нас это всё учит: тому, что всего лишь немножко изменяя количество зубьев, можно создать очень простой редуктор, с вращением его шестерней в разные стороны, и даже, стоящими на месте! 

И ещё одно: наличие всех трёх тонких шестерней — вовсе не обязательно, так как Джеймс Фергюсон делал это с целью создать своеобразный «демонстратор технологии», и, поэтому, здесь важен скорее сам принцип — как можно управлять вращением, изменяя количество зубцов. И для этого достаточно даже двух шестерней!

И даже больше того: обязательное наличие «одной неподвижной шестерни посередине и трёх движущихся на периметре» — тоже не обязательно! Так как возможны и гибридные варианты — например, ниже мы видим, как единая толстая шестерня была размещена на рычаге-водиле, а в центре находится одна неподвижная шестерня и одна подвижная, где та ось, которая связана с водилом — вращается быстро, а подвижная шестерня в центре (там же, где и неподвижная) — связана с другой частью вала (зелёного цвета), с которого может быть снято замедленное движение:

Таким образом, мы делаем вывод, что это вопрос довольно творческий и зависящий от конкретной решаемой задачи…

Глядя на эту систему, с центральной шестернёй и перемещающимся вокруг неё водилом — никак не отпускает мысль, что «где-то это мы уже всё видели!» — и, абсолютно верно, это очень сильно похоже на «заготовку» для планетарной передачи, которая, кстати говоря, гораздо лучше сбалансирована, с той точки зрения, что у неё нет такой постоянно давящей только с одной стороны эксцентриковой нагрузки, как в аппарате Фергюсона.

Например, ниже показан вариант планетарной передачи, с неподвижной или подвижной центральной шестернёй:

Изучая планетарный редуктор, если много думать над этой темой, то, наверняка, может возникнуть идея, что подобного рода плоские «блинчики» редукторов можно, наверное, стыковать друг с другом — где выходной вал предыдущего редуктора можно вставлять во входной вал последующего и т.д. 

И, таким образом, создать каскадный редуктор, с относительно большим передаточным отношением, и, соответственно, относительно большим передаваемым моментом…

Но такая мысль, явно будет у вас не первой, так как в прошлом учёные уже думали над этим, и, В результате, свет увидели специфические планетарные передачи, в которых соединяется как бы две передачи вместе, и, кроме того, задействуется тот самый принцип Фергюсона, с разницей в количестве зубьев — и, в итоге, получается очень компактный редуктор, с большим передаточным соотношением:

Интересно, что в дальнейшем, подобный принцип многоярусного редуктора получил неожиданный апгрейд своей основной идеи, трудами одной из голландских компаний, которая создала версию редуктора, похожего на классические планетарные, однако, где в качестве сателлитов используются полые стальные ролики, с разным диаметром, чуть-чуть сдавленные и в таком, подпружиненном состоянии установленные на своё место (это обеспечивает плотный контакт) — таким образом, подобный подход исключает необходимость в наличии шестерней для передачи крутящего момента, получая в результате редуктор, весьма компактный, и с огромными передаточные соотношениями, например, 10000:1.  

Наверное, подобное устройство нельзя называть прямым наследником изначальной идеи Фергюсона, однако, сама мысль довольно интересная:

То есть, любопытность подхода здесь заключается в полном отказе от каких-либо шестерней, где вместо этого используется перепад диаметров — это полностью убирает какие-либо люфты, свойственные шестерённым редукторам и позволяет применять подобные приводы для манипуляторов точных роботов.

Итак, подытоживая наш рассказ, можно отметить, что, казалось бы, даже такой такой простой и широко известный объект как шестерни, могут доставить много неожиданных моментов, а знание некоторых принципов, касающихся их, может помочь в самостоятельном проектировании устройств — например, тех же самых роботов…

Размещайте облачную инфраструктуру и масштабируйте сервисы с надежным облачным провайдером Beget.
Эксклюзивно для читателей Хабра мы даем бонус 10% при первом пополнении.