Из курса дифференциальных уравнений многие наверняка помнят теоремы существования и единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Не пересказывая учебники, напомню лишь неформально, как выглядит эта задача по существу.

Дана система ОДУ с начальными условиями:

Дальнейшее зависит от свойств вектор-функции .

Если функция достаточно регулярна (например, непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей начальные условия), то решение задачи Коши (1) существует, единственно и определено на некотором малом интервале . Это классическая теорема Коши.

Если же лишь непрерывна, решение всё равно существует, но может перестать быть единственным (теорема Пеано).

Хрестоматийный пример отсутствия единственности — скалярное уравнение:

Здесь при решением является как функция , так и .

Интересное начинается, когда переменная принадлежит не , а какому-нибудь бесконечномерному банахову пространству.

В этом случае теорема Коши остаётся в силе, а вот теорема Пеано уже, вообще говоря, неверна.

В качестве примера (принадлежащего Ж. Дьедонне) рассмотрим задачу Коши в пространстве , которое состоит из бесконечных последовательностей , сходящихся к нулю.

С нормой это пространство является банаховым.

Зададим в следующую систему:

Разделяя переменные в каждом из уравнений, получаем равенства

которые неявно определяют компоненты решения .

Предположим, что последовательность принадлежит при некотором .

Это означает, что при . Однако переход к пределу в равенстве (3) при дает абсурдный результат: .

Полученное противоречие доказывает, что задача (2) не имеет решений в .

Оказывается, однако, что для некоторого класса бесконечных систем теорему Пеано всё-таки можно «спасти».

Пусть — некоторый временной интервал, а — произвольное непустое множество индексов. В частности, выше обсуждались случаи, когда и .

Рассмотрим следующую задачу Коши:

Здесь — конечное подмножество , которое является своим для каждой функции . В частности, .

Мы предположим, что каждая функция непрерывна и ограничена:

Верна следующая

Теорема. Задача Коши (4) имеет решение , где каждая компонента .

Доказательство. (Нижеследующий текст требует от читателя некоторой осведомленности в области функционального анализа и готовности самостоятельно восстанавливать несложные детали.)

Введем в пространстве топологию прямого произведения с помощью системы полунорм:

где — произвольное непустое конечное подмножество .

Эта система полунорм превращает в локально выпуклое пространство. Напомним, что подмножество называется ограниченным, если для любого конечного выполнено условие:

Согласно теореме Тихонова, в этой топологии всякое ограниченное и замкнутое подмножество является компактным.

Через обозначим, как обычно, пространство непрерывных функций из в . Это тоже локально выпуклое пространство с системой полунорм

Пространства и полны.

Через обозначим множество непрерывных функций , удовлетворяющих следующим двум условиям:

Множество замкнуто, выпукло и, по третьей теореме Асколи (см. Лоран Шварц Анализ, т. 2, М.: Мир, 1972), компактно.

Через

обозначим проекцию на конечномерное пространство, такую что

Зададим отображение

формулой , где компоненты определяются как

Легко проверить, чтонепрерывно и . Поскольку — компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства, то по теореме Шаудера — Тихонова отображение имеет неподвижную точку в .

Эта неподвижная точка и является искомым решением задачи (4).

Теорема доказана.