Привет всем любителям физики и физических экспериментов! Меня зовут Татьяна Трубицына, я генеральный директор некоммерческого образовательного проекта GetAClass. Мы снимаем видеоролики по школьной физике -- и самые популярные из них переводим в текстовый формат для любителей лонгридов. Первая статья на тему нашего старенького ролика «Парадокс изогнутой трубы». Далее -- слово Андрею Ивановичу Щетникову, ведущему фильмов GetAClass, педагогу, методисту и члену жюри Турниров Юных Физиков.

Наш проект полностью некоммерческий и живет только за счет донатов неравнодушных людей. Мы будем рады и вашей поддержке! Каждый донат помогает нам выпускать контент и выкладывать его в открытом доступе.

В чём состоит парадокс изогнутой трубы

Мы рассматриваем воду, текущую по U-образной трубе. Многие считают, что частицы, одновременно входящие в поворотное колено, должны из него и выйти одновременно. Тогда получается: частица, движущаяся вдоль внутреннего обвода, должна замедлиться — ведь ей предстоит пройти меньшее расстояние. А частица на внешнем обводе, наоборот, должна ускориться.

Но мы утверждаем — и будем это доказывать, — что всё происходит ровно наоборот. Частица на внутреннем обводе ускоряется, а на внешнем — замедляется. В результате внутренняя очень сильно обгоняет внешнюю.

Наше доказательство строится следующим образом: рассмотрим частицу воды, которая движется на поворотном участке вдоль его средней линии.

Поскольку эта частица движется по дуге окружности, она все время меняет направление своей скорости — и это значит, что на нее действует центростремительная сила, направленная по радиусу к центру окружности.

Но единственным источником силы, действующей на частицу, может быть только разность давлений по разные стороны от нее. Отсюда следует, что давление на внешнем обводе должно быть выше среднего, а на внутреннем обводе — ниже среднего.

Теперь рассмотрим две частицы, которые движутся вдоль внутреннего и вдоль внешнего обвода.

Та частица, которая движется по внешнему обводу, входит в область повышенного давления и по закону сохранения энергии ее скорость должна здесь уменьшиться. Так что она пройдет внешний обвод с меньшей скоростью.

А та частица, которая движется по внутреннему обводу, входит в область пониженного давления. И все по тому же закону сохранения энергии ее скорость должна увеличиться. Так что она пройдет внутренний обвод с большей скоростью.

Куда смещается средняя линия тока на повороте? Еще одно заблуждение

Теперь рассмотрим ещё одно заблуждение, которое, в общем-то, вытекает из первого.

Некоторые люди считают, что средняя линия тока, которая делила дорожку на две равные половины на входе, будет делить её на две равные половины и на повороте. Но это утверждение неверное — и мы покажем это.

Условно изобразим, что есть половина воды, прилегающая к внутреннему обводу, и половина — к внешнему.

Здесь они движутся с одной скоростью — по одинаковым сечениям. А теперь смотрите: мы уже показали, что та часть жидкости, которая течёт вдоль внутреннего обвода, движется быстрее — поэтому для её пропускания достаточно меньшего сечения.

А та жидкость, которая течёт вдоль внешнего обвода, замедляется — и для этого сечение должно увеличиться.

А это означает, что линия, которая сначала шла посередине, прижмётся к внутреннему обводу — ну а потом, выйдя из поворота, снова будет делить сечение пополам.

Расчёты для идеальной жидкости

Конечно, я должен подчеркнуть, что всё, сказанное до сих пор, относится к модели безвихревого течения идеальной несжимаемой невязкой жидкости. Расчёты течения в такой модели выполнил наш подписчик с никнеймом YTRV — и мы можем на них посмотреть.

Мы видим здесь всё, о чём говорили: скорость жидкости на внутреннем обводе существенно больше, чем на внешнем. Радиусы обводов здесь относятся как 1:3 — и соответственно, скорости тоже относятся как 3:1.

Красным цветом выделена область повышенного давления — она находится у внешнего обвода. Синим — область пониженного давления у внутреннего обвода. А ещё можно приглядеться к средней линии и к тому, как она прижимается к внутреннему обводу, проходя поворот.

От теории — к эксперименту: моделируем воду электрическим током

А теперь — важное отступление. Наш канал всё-таки в заметной мере посвящён экспериментальной физике, а рассуждения до сих пор носили качественно-теоретический характер. Хорошо было бы перейти к эксперименту — но измерить распределение скоростей в потоке воды внутри трубы занятие достаточно сложное. Зато мы можем воспользоваться аналогией между течением воды по трубам и течением электрического тока.

Аналогия основана на том, что уравнения для течения идеальной несжимаемой жидкости и для электрического тока в однородной среде выглядят совершенно одинаково. Поэтому мы приготовили вот такую дорожку из фольги.

На металлические зажимы подаётся напряжение, по дорожке течёт электрический ток — и мы смотрим, как он в ней распределён. Установка в целом выглядит так: мы используем источник, который выдаёт небольшое напряжение, но зато достаточно большой ток.

Если приложить к дорожке руки — чувствуется, как она быстро нагревается. Будь у нас тепловизор, можно было бы сразу посмотреть на распределение температуры.

Итак, полный ток нам известен, а нас интересует распределение плотности тока — но непосредственно её измерить нельзя. Плотность тока пропорциональна электрическому полю, которое тоже напрямую не измеришь. Но зато можно взять щуп с двумя выводами и прикладывать его к дорожке, фиксируя напряжение между двумя точками. Электрическое поле — это напряжение, делённое на расстояние. Так мы получаем плотность тока, о которой судим по показаниям милливольтметра.

Давайте сначала убедимся, что на прямых участках ток распределён равномерно.

А теперь смотрим, что происходит на повороте.

Стало быть, ток в основном стремится течь по внутреннему обводу — оно и понятно: там расстояние меньше, значит, и сопротивление меньше.

Магнитная аналогия: делаем течение жидкости видимым

Аналогию между течением невязкой несжимаемой жидкости и распределением плотности электрического тока в однородной среде мы рассматривали ещё в прошлом году. Но за это время мы очень поднаторели в использовании программы Vizimag для моделирования магнитных полей. А поскольку магнитное поле в однородной среде описывается теми же уравнениями, что и распределение электрического тока, и течение идеальной несжимаемой жидкости — мы можем нарисовать картину течения в Vizimag и посмотреть на неё своими глазами.

Возьмём постоянный магнит в форме полукруглой подковы и приставим к нему U-образный магнитопровод с высокой магнитной проницаемостью.

В этом случае магнитное поле будет практически целиком сосредоточено внутри магнитопровода. Посмотрим на поле в такой системе, рассчитанной в программе Vizimag. Мы видим, что на повороте у внутреннего обвода силовые линии расположены плотнее — магнитное поле здесь больше среднего. А у внешнего обвода силовые линии расположены реже — и магнитное поле меньше среднего.

А силовая линия, которая на прямых участках разделяла поток на две равные половины, на повороте оказалась сдвинутой в сторону внутреннего обвода.

Реальная жидкость: когда в игру вступает вязкость

А теперь имеет смысл ещё раз поговорить о том, какое отношение распределение магнитного поля в магнитопроводе — или распределение плотности электрического тока в проводнике — имеет к течению идеальной несжимаемой невязкой жидкости. Здесь у нас выписаны два уравнения, которые описывают все эти ситуации:

1. Первое уравнение: дивергенция поля скоростей равна нулю. Говоря по-простому, это принцип непрерывности: сколько жидкости втекает в одном сечении трубы, столько и вытекает — никаких источников внутри нет.

2. Второе уравнение: ротор поля скоростей равен нулю. Это уравнение говорит нам о том, что течение является безвихревым. Однако если бы жидкость была хоть сколько-то вязкой, второе уравнение уже не выполнялось бы — там потребовалось бы уравнение Навье-Стокса.

И вот наш подписчик с ником steppeez сделал расчёты для нестационарного течения с учётом вязкости — и получил интересные картинки.

Первая картинка построена для поля скоростей: синим показаны самые быстрые движения, красным — самые медленные. Мы видим, что на выходе из поворота на внутреннем обводе происходит характерный срыв вихрей. Впрочем, такой же срыв происходит и на входе в поворот, но уже на внешней стороне колена.

А эта картинка построена для поля давлений. Жёлтый цвет здесь соответствует самому низкому давлению — и срыв вихрей за поворотом виден здесь даже лучше. Вихри срываются один за другим и даже сливаются. Внутри каждого вихря давление очень низкое — иногда для него и красного цвета не хватает. Вихри видны и на внешнем ободе, но они не такие интенсивные.

Эксперимент: проверяем теорию на практике

А теперь — хит сезона: эксперимент, который мы обещали провести. Установка для него очень простая:

Воздух заходит в него по прямой трубке, а откачивается с помощью пылесоса, присоединённого к патрубку. То, что там есть ещё один поворот — неважно: он находится уже за коленом и никак на него не влияет. К самому колену присоединены две тоненькие трубочки: одна — на внутреннем обводе, другая — на внешнем. По резиновым трубкам всё это выведено на U-образный манометр, который измеряет разность давлений на двух обводах, когда по установке течёт воздух.

Согласно предсказаниям теории давление на внутреннем обводе должно быть меньше, а на внешнем — больше. Это означает, что столбик в левом колене U-образного манометра должен подняться вверх, а в правом — опуститься вниз.

Смотрим, что происходит в реальности. Включаем пылесос, постепенно наращиваем обороты — и видим, что столбики действительно пошли туда, куда мы и предсказывали. Разность между ними по высоте составила 5 см — это значит, что разность давлений равна 5 см водяного столба, или 500 Па.

Итак, теперь мы знаем и из теории, и из прямого эксперимента: давление на внутреннем обводе меньше, а на внешнем — больше. Но за счёт чего создаётся эта разность давлений? Думаю, вы сможете ответить на этот вопрос самостоятельно — пишите свои соображения в комментариях.

К сожалению, Андрей Иванович физически не успевает отвечать на комментарии на всех площадках GetAClass. Поэтому под этой статьей предлагаем вам обсудить парадокс изогнутой трубы друг с другом, а если вам хочется поговорить напрямую с Андреем Ивановичем, тогда милости просим в наше сообщество на YouTube!

Видео, на основе которого подготовлен этот материал: