Группа математиков из Вены разрабатывает инструменты для расширения возможностей общей теории относительности.

В октябре 2015 года молодой математик Клеменс Земанн летел домой в Австрию с конференции в Турине, Италия, и ему улыбнулось счастье. Он оказался рядом с Михаэлем Кунцингером, ещё одним участником конференции. Кунцингер был профессором математики в Венском университете, где Земанн только начал постдокторскую работу. Вскоре они разговорились и затронули тему, над которой Земанн размышлял ещё в аспирантуре: существует ли математический способ обойти ограничения общей теории относительности Альберта Эйнштейна. 

Теория Эйнштейна определяет гравитацию как искривление пространства-времени, вызванное присутствием материи и энергии. С момента её формулировки в 1915 году она демонстрирует удивительную устойчивость. Теория состоит из десяти взаимосвязанных дифференциальных уравнений и описывает падение тел, преломление света и движение планет, звёзд и галактик. Она утверждает, что Вселенная расширяется, и смогла предсказать существование чёрных дыр и гравитационных волн за столетие до их окончательного наблюдения. 

Но, несмотря на эти успехи, теория Эйнштейна имеет и недостатки. Её уравнения могут описать искривление пространства-времени материей только в случае, если геометрия этого пространства-времени гладкая — без острых углов или выступов, без областей, где оно внезапно становится неровным. Представьте себе пространство-время как плоский резиновый лист, а материю — как шар для боулинга, помещённый на этот лист и заставляющий его изгибаться. Если пространство-время гладкое, то это искривление будет плавным. 

Но физики знают, что это не всегда так. Например, чёрная дыра искривляет пространство-время сильнее, заставляя его резко изгибаться, пока в центре чёрной дыры (так называемой сингулярности) кривизна не «взрывается», становясь бесконечной. Некоторые физики даже утверждают, что пространство-время становится негладким не только в отдельных сингулярностях, но и в каждой точке. В самых малых масштабах пространство-время может быть «дискретным», или пикселизированным, то есть разбитым на крошечные, разрозненные частицы, подобно тому, как жидкость, кажущаяся единой однородной сущностью, на самом деле состоит из отдельных атомов и молекул. 

В таких ситуациях общая теория относительности заходит в тупик. Всякий раз, когда пространство-время недостаточно гладкое, уравнения Эйнштейна перестают работать. Они больше не могут объяснить, как материя искривляет пространство-время или как искривлённое пространство-время влияет на материю. 

Это связано с тем, что уравнения основаны на методе математического анализа, называемом дифференцированием, который измеряет скорость изменения функций, а дифференцирование невозможно в условиях, далёких от гладких. Поэтому, возвращаясь в Австрию, Кунцингер и Земанн задумались, могут ли они разработать альтернативные методы, которые бы работали в суровых условиях, где обычные инструменты математического анализа не справляются. 

Пара учёных приступила к серьёзной работе над этой проблемой лишь через год. Но с тех пор они значительно продвинулись к своей цели. Они нашли новые способы оценки кривизны и других геометрических свойств, не полагаясь на гладкость и дифференцируемость. В сотрудничестве с другими исследователями они использовали свои методы для нового вывода (а иногда и для усиления) основных теорем о Вселенной, не прибегая к уравнениям Эйнштейна, что позволило им получить ещё более прочную математическую основу. 

И теперь они — часть новой амбициозной программы, запущенной в прошлом году под руководством Роланда Штайнбауэра, другого математика из Венского университета, цель которой — предоставить «новую геометрию для теории относительности Эйнштейна и не только». 

«Стандартная общая теория относительности рассматривает геометрические объекты, а именно пространство-время, но только если они ведут себя достаточно хорошо, — сказал Штайнбауэр. — С новой концепцией мы можем выйти за эти рамки. Мы можем иметь дело с очень непростыми объектами, которые ведут себя крайне необычно». 

Путь через триангуляцию

Когда в 2016 году Кунцингер и Земанн начали совместную работу, их первой целью было переосмыслить одно из самых основных понятий, фигурирующих в уравнениях Эйнштейна: кривизну. 

Кривизна — это мера искривления пространства-времени в данной точке. Существует множество способов её математического описания. Обычно для вычисления этих различных типов кривизны требуется исчисление. Но Кунцингер и Земанн хотели найти способ оценить кривизну пространства-времени, не прибегая к предположениям о гладкости. В частности, они хотели сделать это для кривизны, лежащей в основе уравнений Эйнштейна, — так называемой кривизны Риччи, — чтобы затем использовать свои методы для доказательства важных утверждений о чёрных дырах и других явлениях. 

Но кривизна Риччи — сложная задача, и Кунцингер и Земанн пока не были готовы к ней. Сначала они обратились к более простому понятию кривизны, называемому секционной кривизной, которая показывает, как различные двухмерные срезы пространства-времени искривляются в точке. Если бы им удалось вычислить эту кривизну в негладких условиях, это всё равно позволило бы им рассматривать более ограниченные версии утверждений, которые они хотели доказать. 

У них была идея, с чего начать. Когда речь идёт об обычных математических пространствах, а не о запутанном пространстве-времени общей теории относительности, математики уже десятки лет используют альтернативный способ описания секционной кривизны. Этот метод позволяет им определять кривизну фигуры с помощью простых треугольников. 

Допустим, у вас есть двухмерная поверхность, напоминающая сферу. Чтобы оценить её кривизну, сначала нарисуйте на поверхности три точки и соедините их кратчайшими (и, следовательно, прямыми) возможными путями. Это даст вам треугольник. Затем нарисуйте ещё один треугольник с такими же длинами сторон на плоскости. Вы уже знаете кривизну плоскости — она равна нулю, — поэтому этот новый треугольник послужит вам полезным ориентиром. 

Теперь сравните два треугольника. Вы обнаружите, что треугольник на сферической поверхности имеет большие углы, чем треугольник на плоскости, а отрезок, проведённый между серединами двух его сторон, длиннее. Это говорит о том, что кривизна поверхности больше нуля. 

Аналогичным образом вы можете сравнить исходный треугольник с треугольником, нарисованным на сильно искривлённой поверхности (например, на сфере с малым радиусом, кривизну которой можно легко рассчитать), чтобы получить верхнюю границу. Выбирая разные поверхности сравнения, вы сможете получить более точный диапазон кривизны для интересующей вас поверхности. 

Сравнивая треугольники таким образом, математики обходят необходимость вычисления кривизны с помощью математического анализа, и их метод не требует, чтобы изучаемые поверхности были гладкими. 

Кунцингер и Земанн хотели адаптировать этот метод и для пространства-времени. Однако сравнение треугольников в контексте общей теории относительности сложнее, поскольку пространство-время обладает некоторыми странными, противоречащими здравому смыслу свойствами. Например, расстояния больше не абсолютны. Они сокращаются или расширяются в зависимости от скорости наблюдателя. Более того, вычисления, включающие временное измерение, отличаются от вычислений, включающих только пространственные измерения. (Движение во времени вычитает, а не добавляет расстояние из расчётов.) 

Поэтому Кунцингер и Земанн решили измерять расстояние через «временной интервал» — время, необходимое для перемещения из одной точки в другую, согласно часам, движущимся по этому пути. (Они предполагали, что невозможно двигаться быстрее скорости света.) 

Когда они затем начертили каждую сторону своего треугольника, они выбрали путь, который обеспечивал бы максимальное временное разделение. То есть каждое ребро формировало максимально длинный возможный путь (по времени), а не самый короткий. Это связано с тем, что этот путь, как и его аналог на обычной математической поверхности, по-прежнему максимально прямой. Определение расстояния, основанное на времени, противоречит нашим обычным инстинктам. Более извилистый путь в пространстве-времени на самом деле занимает меньше времени, чем более прямой. «Здесь обходные пути короче», — сказал Кунцингер. «В этом суть новой модели». 

Используя это понятие расстояния, он и Земанн нарисовали треугольники в заданной модели пространства-времени и сравнили их с треугольниками в референтной модели, где кривизна уже была известна. Затем они показали, что их метод позволяет получать хорошие оценки кривизны: например, с его помощью можно продемонстрировать, что внутри чёрной дыры кривизна сечения становится бесконечной. 

И это будет работать в любой негладкой среде, которую они выберут, сказал Земанн, при условии, что они смогут определить расстояние через время таким же образом. «Ваше пространство-время может иметь углы, края и складки, и это не имеет значения, — сказал он. — Этот подход хорошо работает и с негладкими поверхностями». 

Теперь они хотели что-то сделать с его помощью. 

Временные проблемы

В 1965 году физик Роджер Пенроуз доказал теорему, за которую в 2020 году получил Нобелевскую премию. Используя геометрические аргументы, он доказал, что при определённых условиях (например, при наличии «захваченной поверхности», вызванной гравитационным притяжением коллапсирующей звезды) неизбежно образуется сингулярность — точка, где кривизна становится настолько интенсивной, а гравитация — настолько сильной, что даже удаляющиеся от неё световые лучи не могут её покинуть. Другими словами, сингулярности в центрах чёрных дыр — это не просто математические абстракции; они действительно могут образовываться во Вселенной. 

В следующем году Стивен Хокинг перенёс идею Пенроуза в космологию, показав, что если снова предположить определённые условия, то в прошлом должна была существовать сингулярность. Теорема Хокинга, по словам Штайнбауэра, «обычно рассматривается как математическое доказательство существования Большого взрыва». 

Однако доказательства как Пенроуза, так и Хокинга требовали от них предположения, что пространство-время является гладким — ограничение, которое сам Хокинг признал в книге 1973 года, написанной им совместно с физиком Джорджем Эллисом. 

Кунцингер и Земанн хотели использовать свой новый способ оценки кривизны, чтобы определить, будут ли эти теоремы о сингулярностях справедливы, если они перестанут предполагать гладкость пространства-времени. Сохранятся ли сингулярности в более грубых, более реалистично выглядящих пространствах? Земанн сказал, что важно выяснить, можно ли отказаться от условия гладкости, поскольку это приблизит теоремы к физической реальности. В конце концов, добавил он, «мы считаем, что негладкость — неизбежная часть естественного мира». 

В 2019 году вместе со Стефани Александер из Иллинойсского университета (скончавшейся в 2023 году) и Мелани Граф, ныне работающей в Гамбургском университете, математики доказали частный случай теоремы Хокинга о сингулярности. Для более простых моделей пространства-времени, которые не были гладкими, но имели особую структуру, они показали, что если проследить траектории частиц или световых лучей назад во времени, то эти траектории должны быть конечными. 

Другими словами, в какой-то момент в прошлом неизбежно возникла бы сингулярность. 

«Это подтвердило концепцию, что с помощью нашего подхода мы можем доказать теоремы о сингулярностях, которые были применимы к более узким, гладким условиям», — сказал Земанн. Их метод сравнения треугольников был не просто демонстрацией возможностей; он мог помочь им узнать нечто полезное о Вселенной, о наличии сингулярностей в различных типах пространства-времени. 

Но этот метод мог дать им лишь оценки секционной кривизны. А секционная кривизна даёт более подробную информацию о кривизне пространства-времени, чем требовалось для теорем Пенроуза и Хокинга. Основывая рассуждения на секционной кривизне, Кунцингер, Земанн и их коллеги доказали свой результат при более ограниченном наборе условий, чем хотели бы. Чтобы заново доказать теорему о сингулярности в её полной общности — как это сделали Хокинг и Пенроуз — математикам пришлось бы основывать свои рассуждения на менее подробной информации о кривизне. Им нужно было бы использовать кривизну Риччи, а не секционную кривизну. 

Чтобы добиться этого, им нужно было привлечь к работе несколько новых игроков. 

Наполеоновская идея

В 2018 году, пока Кунцингер и Земанн разрабатывали свои методы для расчёта секционной кривизны, Роберт МакКэнн из Университета Торонто решил подойти к этой задаче, используя инструменты из совершенно иной области математики. Он надеялся использовать метод оптимальной транспортировки. 

Идея возникла ещё в конце XVIII века, когда Наполеон поручил французскому геометру Гаспару Монжу перевозку больших объёмов грунта для строительства укреплений. Монж использовал свои математические навыки, чтобы найти наиболее экономичный способ распределения материалов и их доставки по назначению. 

Более двух столетий спустя МакКэнн нашёл способ использовать метод Монжа для оценки кривизны Риччи. В то время как секционная кривизна точно показывает, как двухмерные слои пространства изгибаются в разных направлениях, кривизна Риччи даёт более усреднённое представление об этом изгибе. По сути, она измеряет, как будет изменяться объём объекта при его движении через области пространства-времени с переменной кривизной. И, как понял МакКэнн, оптимальный транспорт может дать информацию об этих изменениях объёма. 

Чтобы понять, как это работает, рассмотрим более простой пример. Допустим, у вас есть куча песка на Северном полюсе Земли, и вы хотите перевезти её на Южный. С помощью методов оптимальной транспортировки можно изучить, как песчинки будут перемещаться между двумя полюсами и как будет меняться их объём по пути. Двигаясь по поверхности Земли по наиболее прямому пути к экватору, они растекаются, охватывая больший объём, а затем снова сжимаются. Изменение их объёма отражает кривизну Земли. 

МакКэнн использовал связь между оптимальным переносом и кривизной, чтобы разработать метод оценки кривизны Риччи пространства-времени без использования математического анализа. Однако этот подход работал только в случае гладкого пространства-времени. 

Затем, несколько месяцев спустя, два математика — Андреа Мондино из Оксфордского университета и Стефан Зур из Рурского университета в Бохуме в Германии — выяснили, как адаптировать методы оптимального переноса (используя идеи из исследований Кунцингера и Земанна) для работы в негладких условиях. В 2020 году Мондино и Фабио Кавалетти из Миланского университета показали, что теорема Хокинга о сингулярности остаётся справедливой и в этих условиях. Более того, им удалось добиться её работы для более общих моделей пространства-времени, чем у Кунцингера и Земанна. А их метод оценки кривизны Риччи позволил им доказать теорему, не прибегая к тем же ограничивающим предположениям, которые пришлось сделать Кунцингеру и Земанну. 

Доказательство не только демонстрирует мощь их метода, но и предоставляет ещё более прочную математическую основу для идеи сингулярности Большого взрыва. 

По словам Эрика Линга из Копенгагенского университета, не участвовавшего в исследовании, «это показывает, что теоремы о сингулярностях даже более фундаментальны», чем когда-либо удавалось доказать математикам и физикам. Сингулярности Хокинга и Пенроуза не требуют гладкого пространства-времени. Даже в более грубой среде — с углами, рёбрами или другими необычными геометрическими особенностями — они неизбежно возникнут. 

«Основные результаты общей теории относительности на самом деле распространяются на гораздо более слабые условия, где гладкое базовое пространство-время не требуется, — сказал Эрик Вулгар, математик из Университета Альберты. — Используемые идеи весьма примечательны». 

Новый математический анализ

Идеи всё ещё появляются. В прошлом году МакКэнн, Земанн и шесть их коллег начали разрабатывать способы распространения методов из математического анализа на негладкие условия. «Мы пока не можем использовать полноценный математический анализ», — сказал Земанн, но «это должно значительно расширить наш инструментарий». Математики уже используют эти методы для доказательства других теорем о сингулярностях и связанных с ними утверждений. 

А в прошлом месяце Кавалетти и Мондино вместе с Давиде Манини из Техниона в Израиле стали первыми математиками, которые заново доказали теорему Пенроуза о сингулярности чёрных дыр в негладком пространстве-времени. 

Финансовая поддержка также пришла. В прошлом году Штайнбауэр, Кунцингер, Земанн и их коллеги получили грант в размере 7 миллионов евро от Австрийского научного фонда на продолжение своей работы. Они привлекают в команду новых исследователей, которые сейчас работают над несколькими проектами, направленными на разработку новых математических методов для расширения области применения общей теории относительности. 

Штайнбауэр воодушевлён возможностью того, что эта программа однажды поможет создать математическую основу для теории квантовой гравитации: долгожданного способа объединения законов общей теории относительности с законами субмикроскопического мира квантовой физики. «Существует множество подходов к квантовой гравитации, которые предсказывают, что на фундаментальном уровне пространство-время дискретно, — сказал он. — В пространстве существуют изолированные точки, а не пространственно-временной континуум. И наша система координат всё ещё может говорить о кривизне в этих дискретных ситуациях». А если она может говорить о кривизне, то, возможно, она может говорить и о гравитации. 

Земанн с нетерпением ждёт, что же ещё принесёт это коллективное предприятие. «Люди продолжают прибывать, — сказал он. — Этот проект только начинается». 

Автор перевода @arielf

НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:
-15% на заказ любого VDS (кроме тарифа Прогрев) — HABRFIRSTVDS.