В хаосе революционной Франции математическая одержимость одного человека привела к созданию вычисления, которое сейчас лежит в основе большей части математики и физики. Это вычисление, называемое преобразованием Фурье, разлагает любую функцию на составные части.

Когда мы слушаем музыкальное произведение, наши уши заняты вычислениями. Высокие звуки флейты, средние тона скрипки и низкий гул контрабаса наполняют воздух волнами давления различной частоты. Когда объединённая звуковая волна проходит через ушной канал и попадает в спиралеобразную улитку, волоски разной длины резонируют с разными тонами, разделяя беспорядочный сигнал на элементарные звуки.

Математики лишь в 19 веке смогли освоить этот же расчёт.

В начале 19 века французский математик Жан-Батист Жозеф Фурье открыл способ разложения любой функции на набор основных волн, или частот. Сложив эти составляющие частоты, вы получите исходную функцию. Эта техника, сегодня называемая преобразованием Фурье, позволила математику, ранее бывшему ярым сторонником Французской революции, инициировать свою собственную, математическую революцию.

Из преобразования Фурье выросла целая область математики, называемая гармоническим анализом, которая изучает компоненты функций. Вскоре математики начали обнаруживать глубокие связи между гармоническим анализом и другими областями математики и физики, от теории чисел до дифференциальных уравнений и квантовой механики. Преобразование Фурье также используется в вашем компьютере, и позволяет сжимать файлы, улучшать аудиосигналы и делать многое другое.

«Трудно переоценить влияние преобразования Фурье на математику, — сказал Лесли Грингард из Нью-Йоркского университета и Института Флэтайрон. — Оно затрагивает почти все области математики, физики, химии и всего остального».

Пламя страсти

Фурье родился в 1768 году в хаосе дореволюционной Франции. Осиротев в 10 лет, он получил образование в монастыре в своём родном городе Осер. Следующее десятилетие он провёл в раздумьях о том, посвятить ли свою жизнь религии или математике, в конце концов отказался от религиозного образования и стал учителем. Он также продвигал революционные идеи во Франции, пока в 1794 году, во время Режима террора, 26-летний Фурье не был арестован и заключён в тюрьму за выражение убеждений, которые считались антиреволюционными. Его приговорили к гильотине.

Прежде чем его успели казнить, террор закончился. Итак, в 1795 году он вернулся к преподаванию математики. Несколько лет спустя он был назначен научным советником Наполеона Бонапарта и присоединился к его армии во время вторжения в Египет. Именно там Фурье, одновременно занимаясь исследованиями египетских древностей, начал работу, которая привела его к разработке своего преобразования: он хотел математически описать теплопроводность. К моменту своего возвращения во Францию в 1801 году — незадолго до того, как французская армия была изгнана из Египта, а похищенный ими Розеттский камень выдан британцам — Фурье не мог думать ни о чём другом.

Если нагреть одну сторону металлического стержня, тепло будет распространяться, пока весь стержень не нагреется до одной температуры. Фурье утверждал, что распределение тепла по стержню можно записать как сумму простых волн. По мере охлаждения металла эти волны теряют энергию, в результате чего они сглаживаются и в конечном итоге исчезают. Волны, которые колеблются быстрее — то есть имеют больше энергии — затухают первыми, а за ними следуют волны с более низкими частотами. Это похоже на симфонию, которая заканчивается затиханием всех инструментов, от пикколо до туб.

Предложение было радикальным. Когда Фурье представил его на заседании Парижского института в 1807 году, известный математик Жозеф-Луи Лагранж, как сообщается, заявил, что эту работу «проделать просто невозможно».

Больше всего его коллег беспокоили странные случаи, когда распределение тепла могло быть резко неравномерным — как, например, стержень, который ровно наполовину холодный, а наполовину горячий. Фурье утверждал, что резкий скачок температуры всё же можно описать математически: для этого нужно просто добавить бесконечное количество более простых кривых вместо конечного их числа. Но большинство математиков того времени считали, что никакое количество гладких кривых не сможет в сумме нарисовать угловатый график.

Сегодня мы знаем, что Фурье был в целом прав.

«Любую вещь можно представить как сумму этих очень простых колебаний, — говорит Чарльз Фефферман, математик из Принстонского университета. — Известно, что если у вас есть много камертонов и вы настроите их идеально, они могут воспроизвести Девятую симфонию Бетховена». Этот процесс не работает только для самых странных функций, например таких, которые сохраняют свои колебания независимо от того, насколько вы их увеличиваете.

Так как же работает преобразование Фурье?

Хорошо натренированный слух

Выполнение преобразования Фурье сродни вдыханию аромата духов и распознаванию его ингредиентов или прослушиванию сложного джазового аккорда и распознаванию составляющих его нот.

С математической точки зрения преобразование Фурье является функцией. Оно принимает в качестве входных данных заданную функцию, которая может выглядеть сложной. Затем оно генерирует в качестве выходных данных набор частот. Если записать простые синусоидальные и косинусоидальные волны, имеющие эти частоты, а затем сложить их, то получится исходная функция.

Для этого преобразование Фурье по сути сканирует все возможные частоты и определяет, насколько каждая из них влияет на исходную функцию. Рассмотрим простой пример.

Возьмём следующую функцию:

Преобразование Фурье проверяет, насколько каждая частота влияет на исходную функцию. Для этого оно умножает волны друг на друга. Вот что произойдёт, если мы умножим исходную функцию на синусоидальную волну с частотой 3:

Есть много больших пиков, что означает, что частота 3 вносит вклад в исходную функцию. Средняя высота пиков показывает, насколько велик этот вклад.

Теперь давайте проверим, присутствует ли в ней частота 5. Вот что получится, если умножить исходную функцию на синусоидальную волну с частотой 5:

Остаётся несколько больших пиков, но есть и большие впадины. Новый график в среднем равен нулю. Это указывает на то, что частота 5 не влияет на исходную функцию.

Преобразование Фурье делает это для всех возможных частот, умножая исходную функцию на синусоидальные и косинусоидальные волны. (На практике это сравнение выполняется на комплексной плоскости с использованием комбинации действительных и мнимых чисел).

Таким образом, преобразование Фурье может превратить сложную на вид функцию в набор из нескольких чисел. Это сделало его важным инструментом для математиков: если они затрудняются решить задачу, они могут попробовать преобразовать её. Часто задача становится гораздо проще, когда её переводят на язык частот.

Если у исходной функции есть резкий край, как у квадратной волны ниже (подобная волна часто встречается в цифровых сигналах), преобразование Фурье даст бесконечное множество частот, которые, при сложении, максимально приближают график к угловатому. Это бесконечное множество называется рядом Фурье, и, несмотря на первоначальное нежелание математиков принять такое явление, сейчас оно является важным инструментом в анализе функций.

Бис!

Преобразование Фурье также работает с объектами более высоких измерений, такими как изображения. Изображение в оттенках серого можно представить как двумерную функцию, которая показывает яркость каждого пикселя. Преобразование Фурье разлагает эту функцию на набор двумерных частот. Синусоидальные и косинусоидальные волны, определяемые этими частотами, образуют полосатые узоры, ориентированные в разных направлениях. Эти узоры — и их простые комбинации, напоминающие шахматные доски — можно сложить вместе, чтобы воссоздать любое изображение.

Например, любое изображение размером 8 на 8 можно построить из некоторой комбинации 64 строительных блоков, представленных ниже. Затем алгоритм сжатия может удалить высокочастотную информацию, которая соответствует мелким деталям, без радикального изменения внешнего вида изображения с точки зрения человеческого глаза. Именно так JPEG сжимает сложные изображения до гораздо меньшего объёма данных.

В 1960-х годах математики Джеймс Кули и Джон Туки придумали алгоритм, который мог выполнять преобразование Фурье гораздо быстрее, и уместно назвали его «быстрым преобразованием Фурье». С тех пор преобразование Фурье используется практически каждый раз, когда необходимо обработать сигнал. «Сейчас оно стало частью повседневной жизни», — сказал Грингард.

Она используется для изучения приливов и отливов, обнаружения гравитационных волн, а также для разработки радаров и магнитно-резонансной томографии. Она позволяет нам уменьшать шум в загруженных аудиофайлах, а также сжимать и хранить все виды данных. В квантовой механике — физике очень малых объектов — она даже обеспечивает математическую основу для принципа неопределённости, который гласит, что невозможно одновременно знать точное положение и импульс частицы. Вы можете записать функцию, описывающую возможные положения частицы; преобразование Фурье этой функции будет описывать возможные импульсы частицы. Когда ваша функция может сказать вам, где с высокой вероятностью будет находиться частица — что отображается острым пиком на графике функции — преобразование Фурье будет очень «размазанным». Будет невозможно определить, каким должен быть импульс частицы. Обратное также верно.

Преобразование Фурье также пустило свои побеги в области чисто математических исследований. Гармонический анализ, который изучает преобразование Фурье, а также способы его обратного преобразования для восстановления исходной функции, является мощной основой для изучения волн. Математики также обнаружили глубокие и неожиданные связи гармонического анализа с теорией чисел. Они использовали эти связи для изучения взаимосвязей между целыми числами, в том числе распределения простых чисел, одной из величайших загадок математики.

«Если бы люди не знали о преобразовании Фурье, я не знаю, какой процент математики исчез бы, — сказал Фефферман. — Но это был бы значительный процент».