Спустя более трёх веков была решена геометрическая задача, возникшая в результате королевского спора

Платоновы тела, имеющие шесть, восемь, 12 и 20 граней, могут проходить сквозь самих себя.

Представьте, что у вас в руках два кубика одинакового размера. Можно ли просверлить в одном кубике отверстие, достаточное для того, чтобы другой кубик прошёл сквозь него?

Возможно, ваш инстинкт подсказывает вам: «Конечно, нет!» Если да, то вы не одиноки. В конце 1600-х годов неизвестный человек заключил пари на эту тему с принцем Рупертом Рейнским. Руперт — племянник Карла I Английского, командовавший роялистскими войсками в Английской гражданской войне — провёл свои последние годы, изучая металлургию и стеклоделие в своей лаборатории в Виндзорском замке.

Руперт выиграл пари. Математик Джон Уоллис, рассказывая эту историю в 1693 году, не уточнил, написал ли Руперт доказательство или проделал отверстие в реальном кубе. Но сам Уоллис математически доказал, что если проделать прямой туннель по одной из внутренних диагоналей куба, его можно сделать достаточно широким, чтобы пропустить другой куб. Ему там будет довольно тесно: если сделать второй куб всего на 4% больше, он уже не пройдёт.

Естественно задаться вопросом, какие ещё фигуры обладают этим свойством. «Я считаю эту проблему довольно канонической», — сказал Том Мёрфи, инженер-программист в Google, который в свободное время тщательно изучал этот вопрос. Она «была бы открыта и переоткрыта — даже инопланетяне бы до этого додумались».

Полный набор форм слишком разнообразен, чтобы его можно было охватить, поэтому математики склонны сосредотачиваться на выпуклых многогранниках: формах, таких как куб, которые имеют плоские стороны и не имеют выступов или углублений. Когда такая форма в некоторых направлениях намного шире, чем в других, обычно легко найти прямой туннель, через который сможет пройти другая копия этой формы. Но многие известные выпуклые многогранники — например, додекаэдр или усечённый икосаэдр, форма, которая образует футбольный мяч — являются высокосимметричными и сложными для анализа. Среди них «на протяжении сотен лет мы были уверены только насчёт куба», — сказал Якоб Штайнингер, математик из Statistics Austria, федеральной статистической организации Австрии.

Затем, в 1968 году, Кристоф Скриба доказал, что тетраэдр и октаэдр также обладают «свойством Руперта», как его теперь называют математики. И в результате бурной деятельности за последнее десятилетие профессиональные математики и любители обнаружили туннели Руперта во многих из наиболее широко изученных выпуклых многогранников, включая додекаэдр, икосаэдр и футбольный мяч.

Свойство Руперта оказалось настолько распространённым, что математики выдвинули естественное предположение: каждый выпуклый многогранник будет обладать свойством Руперта. Никто не мог найти многогранник, который бы не обладал этим свойством — до сих пор.

В статье, опубликованной в Интернете в августе, Штайнингер и Сергей Юркевич — исследователь из A&R Tech, австрийской компании, занимающейся транспортными системами — описывают форму с 90 вершинами и 152 гранями, которую они назвали нопертедроном (по аналогии с «нопертом», термином, придуманным Мёрфи, который сочетает в себе «Руперт» и «no»). Штайнингер и Юркевич доказали, что независимо от того, как вы пробурите прямой туннель через нопертедрон, второй нопертедрон не сможет пройти через него.

Доказательство потребовало сочетания теоретических достижений и массивных компьютерных вычислений и основано на тонком свойстве вершин нопертедрона. «Это чудо, что это работает», — сказал Штайнингер.

Прохождение через тени

Чтобы понять, как один куб может проходить через другой, представьте, что вы держите куб над столом и рассматриваете его тень (предполагая, что он освещён сверху). Если вы держите куб в стандартном положении, тень будет квадратной. Но если вы направите один из углов прямо вверх, тень будет правильным шестиугольником.

В 1693 году Уоллис показал, что квадратная тень помещается внутри шестиугольника, оставляя тонкий край. Это означает, что если направить угол куба вверх, можно пробурить вертикальный туннель, достаточно большой, чтобы через него прошёл второй куб. Примерно столетие спустя Питер Нюланд показал, что при другой ориентации тень получается ещё лучше — в ней может поместиться куб, который на 6 % больше куба с туннелем.

Все последующие анализы более сложных форм основывались на этом процессе поворота формы в разных направлениях и поиске одной тени, которая вписывается в другую. С помощью компьютеров математики нашли проходы Руперта через самые разные формы. Некоторые из них невероятно плотно прилегают — например, проход в триакистетраэдре имеет запас, который составляет всего около 0,000002 от радиуса фигуры. «Мир, в котором смешались вычисления и дискретная геометрия, расцвёл, сделав возможными такого рода вычисления», — сказал Джозеф О'Рурк, почётный профессор Смит-колледжа.

Исследователи, которые написали алгоритмы для поиска проходов Руперта, заметили любопытную дихотомию: для любого заданного выпуклого многогранника алгоритм, похоже, либо находит проход почти сразу, либо не находит его вовсе. За последние пять лет математики накопили небольшую коллекцию форм, для которых не было найдено ни одного прохода.

«Я две недели просидел за компьютером, пытаясь решить задачу с ромбикосидодекаэдром», — сказал Бенджамин Гриммер, прикладной математик из Университета Джонса Хопкинса, имея в виду тело, состоящее из 62 правильных треугольников, квадратов и пятиугольников. «Он сопротивлялся всем моим попыткам».

Но такая сопротивляемость не доказывает, что фигура является нопертом. Существует бесконечное множество способов ориентации фигуры, а компьютер может проверить только конечное их количество. Исследователи не знают, являются ли эти фигуры настоящими нопертами или просто фигурами, для которых трудно найти проходы Руперта.

Они знают только то, что кандидаты в ноперты встречаются крайне редко. Начиная с прошлого года, Мёрфи начал конструировать сотни миллионов фигур. Среди них есть случайные многогранники, многогранники, вершины которых лежат на сфере, многогранники с особой симметрией и многогранники, в которых он переместил одну вершину, чтобы намеренно нарушить предыдущий проход Руперта. Его алгоритм легко нашёл туннели Руперта почти для всех.

Контраст между этими быстрыми результатами и упорством нопертов заставил некоторых математиков заподозрить, что настоящие ноперты действительно существуют. Но до августа у них были только подозрения.

Ты не пройдёшь

Стейнингер, которому сейчас 30 лет, и Юркевич, 29 лет, дружат с тех пор, как в подростковом возрасте вместе участвовали в олимпиадах по математике. Несмотря на то, что оба в конечном итоге покинули академическую среду (Юркевич после получения докторской степени, а Штайнингер — магистерской), они продолжают вместе исследовать нерешённые проблемы.

«Три часа назад мы ели пиццу и почти всё время говорили о математике», — рассказал Штайнингер Quanta. «Это то, чем мы занимаемся».

Пять лет назад они случайно наткнулись на видео в YouTube, где один куб проникал сквозь другой, и сразу же были очарованы этим явлением. Они разработали алгоритм для поиска туннелей Руперта и вскоре пришли к выводу, что некоторые фигуры являются нопертами. В статье 2021 года они выдвинули гипотезу, что ромбикосидодекаэдр не содержит туннеля Руперта. Их работа, предшествовавшая недавним исследованиям Мёрфи и Гриммера, была, «я думаю, первой, в которой было выдвинуто предположение, что могут существовать тела, не обладающие этим свойством», — сказал Штайнингер.

Если вы хотите доказать, что фигура является нопертом, вы должны исключить туннели Руперта для всех возможных ориентаций двух фигур. Каждая ориентация может быть записана как набор углов поворота. Этот набор углов затем может быть представлен в виде точки в «параметрическом пространстве» с большим количеством измерений.

Сергей Юркевич и Якоб Штайнингер, друзья с подросткового возраста, любят вместе решать математические задачи, хотя ни один из них не остался в академической среде.

Предположим, вы выбрали ориентацию для двух фигур, и компьютер сообщает вам, что вторая тень выходит за пределы первой тени. Это исключает одну точку в пространстве параметров.

Но вы можете исключить гораздо больше, чем одну точку. Если вторая тень значительно выходит за пределы, потребуется большое изменение, чтобы переместить её внутрь первой тени. Другими словами, вы можете исключить не только исходную ориентацию, но и близкие к ней ориентации — целый блок точек в пространстве параметров. Штайнингер и Юркевич пришли к результату, который они назвали своей глобальной теоремой, которая точно количественно определяет, насколько большой блок вы можете исключить в этих случаях. Проверяя много разных точек, вы потенциально можете исключить блок за блоком в пространстве параметров.

Если эти блоки покрывают все пространство параметров, вы докажете, что ваша фигура является нопертом. Но размер каждого блока зависит от того, насколько вторая тень выступает за пределы первой, а иногда она не выступает очень далеко. Например, предположим, что вы начинаете с двух фигур, расположенных в точности в одной и той же позиции, а затем слегка поворачиваете вторую фигуру. Её тень будет выступать за пределы первой тени лишь на небольшое расстояние, поэтому глобальная теорема исключит только небольшой квадрат. Эти квадраты слишком малы, чтобы охватить всё пространство параметров, оставляя возможность того, что какая-то пропущенная вами точка может соответствовать туннелю Руперта.

Чтобы справиться с этими небольшими переориентациями, пара учёных придумала дополнение к своей глобальной теореме, которое они назвали локальной теоремой. Этот результат касается случаев, когда на границе исходной тени можно найти три вершины (или угловые точки), которые удовлетворяют некоторым особым требованиям. Например, если соединить эти три вершины, чтобы образовать треугольник, он должен содержать центральную точку тени. Исследователи показали, что если эти требования выполняются, то любая небольшая переориентация фигуры создаст тень, которая выдвинет по крайней мере одну из трёх вершин дальше наружу. Таким образом, новая тень не может лежать внутри исходной тени, а это означает, что она не создаёт туннель Руперта.

Если ваша фигура отбрасывает тень, в которой отсутствуют три соответствующие вершины, локальная теорема не будет применяться. И все ранее идентифицированные кандидаты в ноперты имеют по крайней мере одну тень с этой проблемой. Штайнингер и Юркевич просеяли базу данных, содержащую сотни самых симметричных и красивых выпуклых многогранников, но не смогли найти ни одной фигуры с тенью без этой проблемы. Поэтому они решили сами сгенерировать подходящую фигуру.

Они разработали алгоритм для построения фигур и проверки их на наличие свойства трёх вершин. В конце концов, алгоритм создал нопертедрон, который состоит из 150 треугольников и двух правильных 15-угольных многоугольников. Он выглядит как круглая хрустальная ваза с широким основанием и верхом; один из поклонников этой работы уже напечатал на 3D-принтере копию, чтобы использовать её в качестве подставки для карандашей.

Затем Штайнингер и Юркевич разделили пространство параметров ориентаций на примерно 18 миллионов крошечных блоков и проверили центральную точку каждого блока, чтобы увидеть, даёт ли соответствующая ориентация проход Руперта. Ни один из них не дал такого результата. Затем исследователи показали, что каждый блок удовлетворяет либо локальной, либо глобальной теореме, что позволило им исключить весь блок. Поскольку эти блоки заполняют все пространство параметров, это означало, что туннеля Руперта через нопертедрон не существует.

«Естественное предположение оказалось ложным», — сказал О'Рурк.

Ещё предстоит выяснить, смогут ли математики использовать новый метод для генерации других нопертов или найдут ли они другую локальную теорему, которая сможет обработать такие кандидаты, как ромбикосидодекаэдр. Но теперь, когда математики знают, что ноперты действительно существуют, «мы имеем прочную основу для изучения других форм», — сказал Мёрфи.

Мёрфи, который, как и Штайнингер и Юркевич, исследует этот вопрос ради самого исследования, независимо от своей основной работы, чувствует родство с принцем Рупертом, разделяя его увлечение на протяжении веков. «Мне нравится, что он решил посвятить свои последние годы математике и науке в своём замке», — сказал он.

Тем временем Штайнингер и Юркевич ищут новые вопросы, над которыми можно было бы работать. «Мы просто скромные математики — нам нравится решать такие задачи», — сказал Штайнингер. «Мы будем продолжать это делать».