Теорема Найквиста — Шеннона в картинках
Среди электротехнических дисциплин РЧ/СВЧ особенно выделяется своими контринтуитивными принципами. Их понимание всегда происходит с трудом. Если в них разобраться, то эти принципы начинают казаться чем‑то совершенно естественным, и их сложность забывается. Возможно, именно поэтому справочные материалы по РЧ/СВЧ нередко подобны анекдоту «А восьмёрка, сын, пишется как знак бесконечности, повёрнутый на пи пополам».
С учётом подобной особенности я постараюсь максимально доступно и в картинках показать, как и почему работает теорема Найквиста — Шеннона. И как иногда обходят ограничения, которые эта теорема устанавливает.
Игры с синусоидой
Допустим, у нас есть синусоида единичной амплитуды и частоты.
Сделаем замеры её значений через равные интервалы времени, а затем воспользуемся дискретным преобразованием Фурье как чёрным ящиком (в данной статье я использую алгоритм Ломба-Скаргла), чтобы получить спектр.
Теперь попробуем поменять интервалы между замерами.
Мы видим, что при увеличении периода дискретизации в спектре появляются артефакты в виде парных пиков. Каждый пик — это синусоида с определённой частотой и амплитудой (и фазой, но значения фазы на спектре не видны и они для нас пока не принципиальны).
Частоты синусоид этих артефактов следуют определённой закономерности.
Попробуем разобраться в этой закономерности (сейчас будет чуть-чуть тригонометрии, но лишь из школьного курса).
Важное замечание: ниже я буду вместо 2πft писать просто f.
Почему для строгости формулировок следовало бы писать именно 2πft — под спойлером.
Почему я пишу именно f — потому, что моя цель не погрузить вас, уважаемые читатели, в марево формул, а донести суть. Но если вдруг решите показать это вашему доценту будьте готовы, что он спросит "А где стрелочки на графиках?!" :)
f или 2πft?
Функция sin() принимает в качестве аргумента угол в радианах.
Если мы при помощи функции синуса моделируем некий периодический процесс, происходящий во времени, то нам следует поставить аргумент в зависимость от времени. Хотя бы вот так: sin(t).
Если рассматриваемых процессов несколько, они могут отличаться скоростью. Для этого перед t, общим для всех процессов, нам следует поставить какой-нибудь коэффициент. Например у sin(2t) периоды будут протекать в два раза быстрее, чем у sin(t).
Как сделать так, чтобы частота периодического процесса, описываемого функцией sin(t) была строго равна 1 герцу?.
Вот так: sin(2πt).
Если время в секундах, то за одну секунду аргумент поменяется от 0 до 2π. А это — полный круг.
Теперь осталось добавить к 2πt коэффициент, отвечающий за скорость протекания процесса — частоту. И получится 2πft
Но писать:
...проще и понятней, чем...
Посмотрим на сумму синусоид первого артефакта:
Сумму синусов можно представить в виде произведения синуса и косинуса:
В нашем случае ɑ=(n+1)f, а β=(n−1)f.
Соответственно (ɑ+β)/2 будет равно:
...а (ɑ−β)/2 будет равно:
Таким образом, получается:
Уберём множитель «2» и подумаем, как будет выглядеть sin(nf)cos(f)?
Как высокочастотная синусоида sin(nf), промодулированная низкочастотной косинусоидой cos(f).
Строго говоря, косинусоида — это синусоида, сдвинутая на четверть периода.
Зная это, попробуем сделать одно важное наблюдение: давайте посмотрим, как будет выглядеть не наш sin(nf)cos(f), а cos(nf)sin(f):
Получается, если мы берём косинусоиду с частотой, равной произведению базовой частоты f на количество замеров в периоде, то её максимумы («единицы») будут приходиться на моменты замеров.
Если же мы умножим такую косинусоиду на sin(f) — синусоиду с базовой частотой, — то значение sin(f) в каждой точке замера будет умножаться на единицу и получившаяся кривая пройдёт ровно через те же точки.
Полученная кривая, очевидно, принципиально отличается от sin(f), но если смотреть лишь на значения, полученные во время дискретизации, то эти две кривые оказываются неразличимы!
Говоря более общими словами, в отсутствие дополнительных условий восстановление синусоиды из данных дискретизации не является однозначной операцией.
Чем больше замеров, тем лучше?
Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим один важный аспект.
В теореме Найквиста — Шеннона речь идёт о частоте дискретизации.
Иногда при формулировании положений теоремы вместо частоты дискретизации говорят о «количестве замеров (семплов, отсчётов) на один период дискретизируемого сигнала».
А затем, в ряде случаев, это выражение риторически редуцируется просто до «количества замеров».
Здесь начинаются «чудеса» в духе «восстановления сигнала сложной формы по двум точкам» :)
Надо понимать, что общее количество замеров может быть сколь угодно больши́м, но если интервал между замерами велик, то в спектре артефакты будут близки по частотам к оригинальному сигналу.
Количество же охватываемых измерениями периодов сигнала (которое равно отношению общего количества замеров к количеству замеров на период) будет влиять на ширину пиков.
Это две различные характеристики массива значений дискретизации, которые влияют на разные элементы спектра.
Сложности с сигналами сложной формы
Когда одна из синусоид артефакта совпадёт по частоте с исходной синусоидой?
Очевидно, когда n−1 станет равен единице. Это, в свою очередь будет, в случае n=2, то есть, когда частота дискретизации окажется равной удвоенной частоте исходной синусоиды.
Что будет, если мы понизим частоту дискретизации ещё сильнее?
В общем, примерно всё то же самое: из двух синусоид будет получаться некая фигура, отличающаяся по форме от базовой синусоиды, но проходящая ровно по точкам дискретизации:
Это возвращает нас к вопросу:
если мы хотим по данным дискретизации восстановить именно ту синусоиду, которую мы измеряли, что именно нам нужно будет дополнительно знать, чтобы сделать это однозначно?
В общем случае нам нужно приблизительно знать её частоту.
И если частота дискретизации была больше, чем удвоенная частота синусоиды, то мы можем восстанавливать самый низкочастотный пик — не ошибёмся.
А если она была меньше, то можно задаться некоторым интервалом, в котором точно не будет пиков от артефактов.
Проговаривая это, мы оставляем за скобками ещё два дополнительных факта о сигнале: что он — одиночная синусоида и что он — единственный сигнал в нашем измерительном тракте.
То есть, помимо его примерной частоты, мы гарантированно знаем его форму. И гарантированно знаем, что кроме него других сигналов в измерительном тракте на момент дискретизации не было.
Представим, что у нас чуть более сложный сигнал. Скажем, несколько гармоник от меандра. Но при этом мы сделаем вид, будто не знаем, что сигнал — именно меандр.
Напомню, меандр раскладывается в ряд Фурье так:
sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5+sin(7x)/7+sin(9x)/9+...
Допустим, у нас первые три слагаемых. Что мы увидим на спектре, если будем менять частоту дискретизации?
Высокочастотные составляющие сигнала тоже образуют артефакты в виде пары пиков, но эти пики, очевидно, «расставлены» шире.
При этом, так как мы договорились, что не знаем точную форму сигнала, мы не можем, например, «вырезать» его составляющие многополосным фильтром.
В такой ситуации нам придётся выбрать такую частоту дискретизации, чтобы пик артефакта от самой высокочастотной составляющей базового сигнала не оказался в области с пиками от настоящих составляющих.
Эта частота будет равна удвоенной частоте самой высокочастотной составляющей дискретизируемого сигнала.
Здесь есть тонкий момент. Иногда эта фраза трактуется ошибочно как: «мне необходимо лишь добиться частоты дискретизации 2f, чтобы однозначно восстановить все интересующие меня составляющие любого сложного сигнала вплоть до f».
Посмотрим на спектр настоящего меандра:
У меандра бесконечное количество составляющих. И если мы хотим однозначно восстанавливать первые три составляющие, нам мало взять частоту дискретизации, равную 2×(5×f). Нам ещё нужно, чтобы сигнал перед дискретизацией не имел составляющих с частотой выше, чем та, которую мы собираемся восстанавливать.
Ещё раз. Если у исходного сигнала возможно наличие составляющих выше тех, которые вам интересны, необходимо их отфильтровать перед дискретизацией. То есть гарантировать отсутствие высокочастотных составляющих. В противном случае артефакты от этих высокочастотных составляющих будут восстановлены вперемешку с полезным сигналом.
Теорема Найквиста — Шеннона и как её обходят
Итак.
Теорема Найквиста — Шеннона гласит, что сигнал с конечным по частоте спектром можно однозначно восстановить, если частота дискретизации в два и более раза превышает самую высокочастотную составляющую сигнала.
Когда теорема Найквиста — Шеннона ошибается?
При условиях, оговорённых в теореме, и при отсутствии дополнительных данных — никогда.
Однако, во‑первых, как уже было сказано, для чистой синусоиды, при отсутствии иных сигналов в измерительном тракте мы можем ограничить частотный диапазон с двух сторон и подобрать период дискретизации так, чтобы ложные пики оказались за рамками этого диапазона.
Во‑вторых, мы, заранее зная частоту и/или форму сигнала, можем между реально измеренными точками добавить ещё точек путём, например, линейной интерполяции.
В ряде случаев мы разменяем небольшое искажение формы сигнала на весомое указание при восстановлении сигнала, какие составляющие мы считаем настоящими.
В‑третьих, заранее зная частоту периодического сигнала (либо имея триггер, некий однозначный признак начала очередного периода), этот сигнал можно «нарезать» на периоды и наложить их друг на друга вместе с замерами. В результате количество замеров на период увеличится.
Такая техника называется Equivalent‑Time Sampling и применяется, например, в цифровых осциллографах.
Надеюсь, этот обзор позволил кому‑нибудь пережить инсайт и преодолеть порог непонимания такого базового элемента в сфере РЧ/СВЧ, как теорема Найквиста — Шеннона.
НЕБОЛЬШОЕ ОБЪЯВЛЕНИЕ №1
В ближайшее время планируется проведение уже третьего электроквиза. Желающие всё ещё могут присоединиться, для этого нужно написать мне.
НЕБОЛЬШОЕ ОБЪЯВЛЕНИЕ №2
Близятся некоторые перемены.
И всем, кто находит мои технические статьи (например, про JTAG или про согласование импедансов) интересными/полезными для себя, я рекомендую скопировать эти статьи локально.
Кроме этого. Если вы хотите в будущем читать мои новые статьи, я рекомендую установить со мной личный контакт.
Оптимально — через почту flammmable.habr@gmail.com. Опционально — установить и настроить мессенджер Delta Chat. Короткое описание и инструкцию по работе с ним я публиковал ранее.
Не оптимально — здесь в личных сообщениях, либо через Телеграм @flammmable_habr.
Совсем не оптимально, но тоже можно — подписавшись на мой потешный канал flammmable_electro, либо на тег flammmable на Joyreactor.
Комментарии (58)
REPISOT
25.08.2025 09:36Уже не первая статья, призванная "максимально доступно и в картинках" показать цифровую обработку сигналов (ЦОС). Картинки красивые. Анимации тоже. Хотя местами лучше бы несколько статичных картинок. Не успеваешь следить за всеми частями графика, что где происходит.
Но, как и написал комментатор выше - материал вводит знающего человека в замешательство. Терминология автора отличается от общепринятой ЦОС. Например, автор не называет Элайсинг.
Лучше начать с Юкио Сато "Обработка сигналов". Там и без анимации гораздо понятнее, что происходит.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Терминология автора отличается от общепринятой ЦОС. Например, "артефакты" есть не что иное, как Элайсинг.
Здесь нет вменяемой общеупотребимой русскоязычной терминологии.
-Есть "ложные частоты" (для староверов). Этот термин мне не нравится по причине корявости неизбежных фраз "Каковы частоты ложных частот?/Каковы амплитуды ложных частот".
-Есть английская калька алиазинг/элайсинг/aliasing, которая вообще говоря, не про конкретный пик ("Что вот это за пик? Это... элайсниг! Это что О_о ?"), а про эффект.
-И есть англоязычный термин Nyquist artefact (вот например статья Sub-Nyquist artefacts and sampling moire effects).Поэтому:
1. Я считаю, что в публицистике для описания обсуждаемый патернов термин "артефакт" подходит лучше всего
2. Я считаю, что термин алиазинг/элайсинг/aliasing вы не найдёте ни в одном из ГОСТов.REPISOT
25.08.2025 09:36Я считаю, что термин алиазинг/элайсинг/aliasing вы не найдёте ни в одном из ГОСТов.
Так это вы считаете или его в самом деле нет?
Я считаю, что в публицистике
А вот это зря. Тут надо смотреть на научные статьи, и техническую литературу, а не на публицистику. Слышали про антиалайзинговый фильтр? А про "антиартефактный"? Вбейте в гугл и увидете, насколько "нет вменяемой общеупотребимой русскоязычной терминологии ".
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Тут надо смотреть на научные статьи
Ну вот я вам и привёл научную статью с термином Nyquist artefact :))
-Я считаю, что термин алиазинг/элайсинг/aliasing вы не найдёте ни в одном из ГОСТов.
-Так это вы считаете или его в самом деле нет?Я считаю, что вы не найдёте термина "Элайсинг" ни в одном из ГОСТов.
REPISOT
25.08.2025 09:36Вы много чего в ГОСТах не найдете. И что?
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Вы много чего в ГОСТах не найдете. И что?
И то, что без ГОСТов ваше "общепринято в ЦОС" и моё "не общепринято в ЦОС" - это ваше слово против моего слова.
Ну или в лучшем случае - ваш ограниченный набор примеров использования против моего ограниченного набора примеров использования.
yappari
25.08.2025 09:36Ну вот я вам и привёл научную статью с термином Nyquist artefact :))
А вы пробовали прочитать дальше заголовка? Хотя даже заголовка достаточно, чтобы заподозрить несоответствие ("саб-Найквист" и просто "Найквист" хоть немного, но отличаются, и не просто дополнительными буквами. Не говоря уже о эффектах, но о них надо читать статью). Странно, что никто не обратил внимания.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36"саб-Найквист" и просто "Найквист" хоть немного, но отличаются
Да хоть under-Nyquist artefact, главное, что заканчивается не на -ing, а на artefact.
yappari
25.08.2025 09:36В той статье как раз разделяются альясинг (то, что вы придумали называть Найквистовым артефактом) и собственно саб-Найквист эффект. Но если вам что в лоб, что по лбу - всё одно, тогда вопросов не имеем.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36В той статье как раз разделяются альясинг (то, что вы придумали называть Найквистовым артефактом)
Конечно же в статье разделяют "альясинг" (уже четвёртый вариант написания "устоявшегося" термина) и артефакты.
Потому, что "альясинг" - это процесс/эффект, а артефакт - это элемент спектра.
Откройте статью, нажмите Ctrl+F и поищите словосочетание "sampling artefacts" и "aliasing artefacts", будете удивлены )))
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Слышали про антиалайзинговый фильтр? А про "антиартефактный"?
Сходил по вашей ссылке:
Антиалайзинговый фильтр фактически обеспечивает спектральную верность преобразования АЦП, исключая из сигнала сторонние призвуки – артефакты преобразования
:)))))
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Ув. @REPISOT, очень нужно ваше компетентное мнение.
Как в русскоязычной терминологии правильно пишется устоявшийся, общеупотребимый и, ну практически ГОСТовский технический термин, который на английском языке называется aliasing?Варианты: алайсинг, аллиасинг, алиасинг, алиазинг, альясинг, альязинг, элайсинг или элайзинг?
Скажите пожалуйста. Очень надо :)
REPISOT
25.08.2025 09:36То есть из-за того, что некоторые люди по-разномцу пишут кириллицей слово "aliasing", вы предлагаете признать его
экстреми...отсутствующим в русскоязычной терминологии ЦОС? Англоязычные дикторы произносят его "элиасинг" или "эйлиасинг" с ударением на первый слог (тоже по-разному, да). Кстати, не подскажете, как правильно: Чарльз Ксавьер или Завьер? Или почему Ньютон - Исаак (Isaac Newton ), а Азимов - Айзек (Isaac Asimov)?Flammmable Автор
25.08.2025 09:36То есть из-за того, что некоторые люди по-разномцу пишут кириллицей слово "aliasing" вы предлагаете признать его
экстреми...отсутствующим в русскоязычной терминологии ЦОС?Отсутствующим - нет, ни в коем случае. Я же сам вам привёл примеры документов и обсуждений, где это слово используется.
Нерегламентированным и не устоявшимся - вне всякого сомнения.Давайте теперь обсудим статью по ссылке, которую вы любезно привели.
Как понял из ваших слов:
антиалайзинговый фильтр удаляет элайсинг, а
антиартефактный фильтр удаляет артефакты. Так? )))))))Но там в статье написано, что антиалайзинговый ("а не антиартефактный") фильтр исключает из сигнала некие "артефакты преобразования".
Скажите пожалуйста, на ваш взгляд, насколько в приведённой вами статье уместен термин "артефакты"? :)
andy_p
25.08.2025 09:36Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда. Тогда f = 1∕T = 1 герц, sin((2 ∗ π∕T) ∗ t) = sin(2 ∗ π ∗ t), частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды. Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса sin(2 ∗ π ∗ 0) = sin(2 ∗ π ∗ 0,5) = sin(2 ∗ π ∗ 1) = 0Везде получаются нули. Как же тогда можно восстановить этот синус?
ALT0105
25.08.2025 09:36"В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов ". Нет пророка в своем отечестве?
Форма спектра синусоиды зависит от длительности исследуемого отрезка синусоиды. Если длительность равна целому числу периодов, спектр - одна чистая палочка без артефактов (легко увидеть в матлабе). Объяснение - при вычислении ДПФ сигнал периодически продолжается. Сведите длительность отрезка синусоиды к дельта-функции и спектр станет горизонтальной линией
TimurZhoraev
25.08.2025 09:36Позвольте некоторые замечания:
1. На рисунках с синусоидой при идеальном варианте спектр непрерывного сигнала должен быть точкой над частотой f₀. Вполне возможно что боковые появились ввиду наличия оконной функции по умолчанию или ФНЧ (чем больше время тем шире пики) или экстраполяции отсчётов, в идеальном преобразовании либо берётся время от -∞,+∞ (интеграл Фурье) или указывается период T. Для проверки: 1/T*integrate(sin(2*%pi*1/T*t)*sin(2*%pi*n/T*t),t,-T,T), косинусные составляющие ряда Фурье равны нулю, получаем частотную характеристику sin(2*%pi*n)/(%pi*(n-1)*(n+1)), для n=1 необходим предел, остальные гармоники также нулевые, аналогично - через z-преобразование.
2. Важно отметить где отсчёты n где время t а где частота f или частота Найквиста fN или частота выборки-дискретизации fd, а где просто переменная x, чтобы не было путаницы.
3. Для радиста на графиках не что иное как амплитудная модуляция или биения, выглядит как sin(t) а не sin(f) в спектральной области(!), например спектр sinc-функции от времени (Интегральный синус) - есть прямоугольное окно в частотной, похожее на меандр. Надо явно разнести t,n,f и указать это в аргументах синуса
4. Можно также показать эффект зеркального спектра относительно частоты Найквиста благодаря подстановке z = exp(%i*2*%pi*f/fd) в произвольную импульсную/передаточную функцию в z-области, откуда получается периодический, синусоидальный характер АЧХ интервалами "копирования" равным периоду дискретизации.
5. Не рассмотрен эффект наложения спектра и появления субгармоник (биений) между частотой дискретизации и гармониками исследуемого сигнала. В этом случае он выглядит как "артефакт", но на самом деле это отдельное направление, отвечающее чего нужен входной фильтр для АЦП в этом случае
6. Простейший вид теоремы Котельникова: непрерывный сигнал можно в точности восстановить по его отсчётам, если его спектр не превосходит частоту Найквиста
7. Оверсемплинг и как его можно использовать фактически как гетеродин с переносом спектра
belav
25.08.2025 09:36Добавлю...
Не указано в явном виде, что теорема Котельникова (Найквиста) работает при известной фазе
Ещё бы стоило рассказать как восстанавливается сигнал.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Важно отметить где отсчёты n где время t а где частота f или частота Найквиста fN или частота выборки-дискретизации fd, а где просто переменная x, чтобы не было путаницы.
Тут вот какое дело. Можно начать расписывать, что f=ω/2π, в аргументы синусу записать ωt, переписать его 2πft , подписать оси, размерностии, стрелочки по ЕСКД и думать, что методический отдел ВУЗа ублажён.
Но ведь выдерут же за...
1/Tintegrate(sin(2%pi1/Tt)sin(2%pin/Tt),t,-T,T)
Скажут: почему у вас...
Я подумаю насчёт того, стоит ли (и если да, то как) добавить чуть больше строгости формулировкам так, чтобы не утопить читателя в несущественных для него, но очень важных для методического отдела деталях.
TimurZhoraev
25.08.2025 09:36Если публикация имеет отдельное практическое применение то тогда да, она не для обучения. Но если работа направлена на осознание происходящего то желательно конечно соблюсти некоторые правила, которые вносят ясность. Для Латеха по-хорошему необходима нативная поддержка на сайте что-то вроде LaTeX.js. Что касается самого материала - важно разделить временну́ю область с частотной, указать единицы измерения, хотя-бы проставить нумерацию рисунков чтобы читатель мог спросить конкретно что такое samp=500f на графике № x, так как эта переменная по тексту нигде не используется и что это выражает. Можно было бы подписать что n - это гармоника (или номер отсчёта? В ГОСТ-е это общее количество i-х отсчётов), f - частота сигнала (или частота дискретизации?), T - период входного сигнала или T=1/f - период выборки, f(n+1+...) выглядит как функция f от номера отсчёта. В не сильно специализированной литературе есть вполне себе годами установившаяся система обозначений, при нарушении которой возникает больше вопросов чем ответов, даже у студентов.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36ля Латеха по-хорошему необходима нативная поддержка на сайте что-то вроде LaTeX.js.
На сайте "Хабр" она нативная.
Нажимаете "плюс", выбираете в меню вот это:
...вводите формулу. ))))
Что касается самого материала - важно разделить временну́ю область с частотной
Укажите на конкретную иллюстрацию в статье, где на ваш взгляд можно перепутать временну́ю область с частотной.
Можно было бы подписать что n - это...
На ваш взгляд, что на данной иллюстрации обозначает каждая из букв: n, f и T
В не сильно специализированной литературе
Я могу с вами подискутировать на тему некоторых отличий выразительных средств и способов коммуникации в контексте web-публикаций и литературы, но тут есть одна не очень приятная деталь с дискуссиями на Хабре :)
TimurZhoraev
25.08.2025 09:36Формулу можно вставить отдельно, но не в сам текст, именно это и имелось с виду. На указанном графике: n - кратность частот (она используется в основном для ШИМ), когда частота дискретизации (в очень частном случае) является n-й гармоникой частоты сигнала, чтобы исключить разностные частоты. На графике не указана частота дискретизации, подразумевается что она равна n*f, нет метки частоты Найквиста, равной половине этой частоты и являющейся ключевой при объяснении. Везде где имеется ЦОС частота дискретизации/Найквиста имеет явную переменную, например, fN, fd, как угодно. Аргумент синуса становится в этом случае 2πf/fd. Отсюда график sin(f), cos(nf) крайне некорректен, он похож на зависимость от времени но присутствует некая изменяющаяся частота f в аргументе. "Спектр" в виде синуса возможен для звена запаздывания 1/z и то только в виде мнимой или действительной компонент (по формуле Эйлера/де-Муавра). Нельзя путать область изображения p, комплексно-частотную jw и временную t. Нет объяснения почему вместо линий изображены пики с заданной шириной, в идеальном случае их быть не должно, либо указать, что это артефакты модели некоего реального спектроанализатора, имеющего по умолчанию оконную функцию, интер/экстраполяцию входного сигнала и не знающего реальную частоту дискретизации, либо частота выборки близка к степени двойки на частоту сигнала. Иными словами, ДПФ в данном методе построен на основе БПФ. Можно также попробовать что n кратна 2^m (не 6, не 12), тогда артефакты уменьшатся, что будет об этом явно свидетельствовать. То есть интерпретация механизмов появления артефактов очень важна и не должна вводить в заблуждение уже на начальном этапе формулировок. Потому как существует эффект, когда частота выборки не кратна частоте исходного сигнала даже если он монохроматический, что приводит к появлению небольшой разностной частоты (муара), содержащей субгармонику в отсчётах, в данном случае про это речи не идёт.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Ув. @TimurZhoraev, сконцентрируйтесь :)
У меня к вам конкретные простые вопросы:
1. Укажите иллюстрацию, на которой на ваш взгляд можно перепутать временную и частотную область.
2. Перечислите, что на ваш взгляд обозначают буквы n, f и T на приведённой ранее иллюстрации.TimurZhoraev
25.08.2025 09:36Попробую сконцентрироваться. Когда были телевизоры с ЭЛТ и аналоговым входом, переключая пассатижами блок ПТК (переключатель телевизионных каналов) и останавливаясь на номере без вещания, можно было увидеть в чёрно-белых мушках что-то необычное если долго всматриваться.
Необходимо проставить хотя-бы нумерацию рисунков. Если эмпирически - то везде где присутствует sin(f) или любая другая функция от частоты. Иллюстрация вводит в заблуждение видом - обычно эти эпюры характерны для сигнала от времени t. Амплитудный спектр не может быть отрицательным, мнимая и действительная части комплексно-частотного спектра - вполне, если о них идёт речь. sin(wt) или sin(2пf₀t) гораздо более корректные функции для этого. У читателя создаётся ложное впечатление, что частотная характеристика - синусоидальная. "f=2пf₀t" это сильное утверждение, разве что в транслите с русского f - это "Ф" - фаза. В общем виде у сигнала Аsin(2пf₀t+ψ₀) 2пf₀t+ψ₀ - фаза, ψ₀ - начальная фаза, f₀ - частота колебания, A - амплитуда, t - абсолютное время (отсчитываемое от нуля)
Повторюсь более кратко: n - кратность частот (отношение частоты дискретизации к частоте основной гармоники) причём в данном случае целое число. f - варьируемая (!) частота, используемая для построения частотной характеристики (для сигнала необходимо выбрать f₀), T - период входного сигнала (это единственное что можно допустить из общепринятых обозначений)
PS. Заметил у себя ошибку - чем меньше время тем шире пики конечно же (большая постоянная времени соответствует меньшей полосе пропускания ФНЧ) об этом кстати стоило бы упомянуть раз рассматривается этот эффект. Мало того, на рисунке, где анимация, имеется нечётное количество полуволн, это приводит к появлению постоянной составляющей (средняя составляющая не равна нулю, коэффициент a₀ в ряде Фурье), поэтому, спектр "играет" относительно нуля. На этом также не заострено внимание.
PPS. Может этот материал в стиле Г. Остера "Вредные советы"? Тогда это просто безупречное изложение, рекомендуемое именно в таком русле для широкой аудитории.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Если эмпирически - то везде где присутствует sin(f) или любая другая функция от частоты.
Укажите одну конкретную иллюстрацию на которой лично вы не можете различить частотную и временную область.
TimurZhoraev
25.08.2025 09:36Иллюстрации где присутствует sin(f) подразумевает, что f - это частота а не время, просто методологически. Свои обозначения и интерпретация вводятся в следующих случаях:
1. Придумано нечто гениальное, что перечёркивает все предыдущие знания о человеке и окружающем мире. То есть что осциллограмма от времени есть функция от частоты f, следует для "простоты" писать именно так, ввиду того, что там скрытый смысл для новой теории. Равно как f(n-1) это не функция от номера отсчёта (предыдущего) а частота умноженная на кратность, хотя n - это номер отсчёта а в ГОСТ-е это общее количество отсчётов (вверху значка суммы).
2. Невозможность изменить какое-то дремучее легаси, ламповый аппарат где вместо времени t кто-то дорисовал сверху крючок и появилось f, а буква под стеклом и ацетон не поможет.
3. Отвечая на вопрос выше зачем нумерация - обычно вопрос задать проще указав номер рисунка. Представьте презентацию где выступающий говорит опишите номер слайда, там на нём было Солнце, позади лес а спереди дрова, причём слева, а есть слайд где они справа.Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Давайте перейдём от общих слов к конкретике, благо с n, f и T у вас получилось великолепно.
Ещё раз: приведите одну конкретную иллюстрацию, где лично вам не удалось понять, частотная область изображена или временная.
Refridgerator
25.08.2025 09:36Вы пишете "спектр", но рисуете модуль спектра. Ну как бы это не одно и то же. Что значит только одно - на практике вы не занимались тем, о чём здесь рассказываете, простите.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Вы пишете "спектр", но рисуете модуль спектра
Я пишу "спектр" в соответствии с определениями из ГОСТ 24346-80.
А вы в соответствии с каким ГОСТом употребляете данный термин? И в соответствии с каким ГОСТом употребляете термин "Модуль спектра"?
Refridgerator
25.08.2025 09:36А я пишу "Модуль спектра" в соответствии с математической операцией которую необходимо выполнить над спектром для того, чтобы получить вами нарисованное. Принципиальная разница в том, что из спектра можно восстановить исходный сигнал, а из его модуля - уже нет.
Ну и раз вы ссылаетесь на советские госты - то было бы логичнее ссылаться и на Котельникова, а не на Шеннона с Найквистым.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36А я пишу "Модуль спектра" в соответствии с математической операцией которую необходимо выполнить над спектром для того, чтобы получить вами нарисованное.
С терминологией вот какое дело.
Или мы с вами отталкиваемся от неких рамочных документов (они далеко не священные скрижали, но хоть что-то), которые мы оба вынуждены признать авторитетными.
Или вы говорите: "Я привык использовать этот термин и знаю ещё несколько парней, которые тоже".
А я вам отвечаю: "Ну, привыкли и привыкли. Ну ок."Так что или вы ссылаетесь на определение термина "спектр" или "Ну ок".
Насколько нужно нужно в подобном материале упоминать фазу (а тем более такое понятие как "комплексная амплитуда") я готов с вами подискутировать, если, конечно, вы к этому готовы.
Refridgerator
25.08.2025 09:36Это не вопрос терминологии, а вопрос математики. Это где-нибудь на форуме обсуждая качество наушников можно вместо АЧХ говорить спектр и это не принципиально, поскольку ни на что не влияет. Но у вас прямо в заголовке написано "для программистов", а программисты - это люди, которые пишут программы. А у программ только один критерий - они либо работают корректно, либо нет.
Да не вопрос, только ссылка на собственную статью с ноль математики не выглядит авторитетно. У меня тоже есть ссылка - этот плагин я написал полностью самостоятельно, (включая FFT) и по собственной мат. модели, которая подробно описана здесь. Его также можно найти по запросу в гугле "foobar subwoofer" где-то наверху.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36ссылка на собственную статью с ноль математики
Так и статья по ссылке - не о математике, а об остросоциальной проблеме дискуссий в инженерно-техническом сообществе.
Явления описываемые в той статье вы можете наблюдать и здесь:
-Вы употребляете термин "артефакты", когда следует говорить "элайсинг".
-Я использую термин "артефакты" потому, что <причины>
-А надо использовать "элайсинг", вот ссылка.
-Но по ссылке тоже используют термин "артефакты"
-<ушёл писать комменты в другие статьи>Это не вопрос терминологии, а вопрос математики.
Что "это"? "Это" - определение термина "спектр"?
Ещё раз, вы употребляете слово "спектр". Где вы прочитали его значение?
Вот там, где вы его прочитали, можете его оттуда взять и скопировать сюда?Refridgerator
25.08.2025 09:36Ну можно с википедии начать.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Ну можно с википедии начать.
Супер. В отличие от
спектра - двухмерной структуры, ставящий в зависимость от частоты 1 параметр,
спектр сигнала из вашего определения - по сути, трёхмерная структура, где от частоты зависят 2 параметра
и которую нередко визуализируют парой двухмерных АЧХ+ФЧХ.Вопрос: на ваш взгляд, что такого интересного в контексте теоремы Найквиста-Шеннона можно показать на ФЧХ, чтобы её стоило показывать?
Refridgerator
25.08.2025 09:36Вы здесь процитировали совсем не то, что написано по ссылке. А что показать - ну например sinc-функцию или её периодическую версию. Которые являются спектрами прямоугольной функции для непрерывного и дискретного случая соответственно.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Вы здесь процитировали
Я ничего не цитировал (меня приведённое вами определение удовлетворило), я утверждал.
Я утверждал, что та сущность, определение которой вы приводите:
-трёхмерна
-визуализируется при помощи пары АЧХ+ФЧХ.Можете возразить, если не согласны с этими моими утверждениями.
Если ок, то у меня вопросы:
-вы считаете, что мне в статье следовало показать ФЧХ?
-если да, то с какой целью? Что бы на ней объяснить что?Refridgerator
25.08.2025 09:36Чтобы содержание статьи соответствовало заголовку - объяснение теоремы Найквиста-Шеннона в картинках. Которая потому и теорема, что у неё есть строгое математическое доказательство. С использованием sinc-функции.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Чтобы содержание статьи соответствовало заголовку - объяснение теоремы Найквиста-Шеннона в картинках. Которая потому и теорема, что у неё есть строгое математическое доказательство. С использованием sinc-функции.
Что из вашего комментария является ответом любой из вопросов:
-вы считаете, что мне в статье следовало показать ФЧХ?
-если да, то с какой целью? Что бы на ней объяснить что?Понимаете, весьма непросто вести диалог, когда собеседнику задаёшь бинарный уточняющий вопрос, а он не говорит ни "да" ни "нет".
Refridgerator
25.08.2025 09:36Спектр не всегда имеет смысл делить на амплитудный и фазовый и сейчас как раз тот самый случай. Так что это наоборот именно к Вам должен быть вопрос - зачем вы это сделали и куда делась фаза.
Вы, я так понимаю, электроникой увлекаетесь? По сути вы уравниваете синусоиду и выпрямленную синусоиду. Будет ли двигатель переменного тока работать на выпрямленной синусоиде как полагается?
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Спектр не всегда имеет смысл делить на амплитудный и фазовый
Смотрите, я вижу два варианта визуализации сущности под названием "спектр сигнала", определение которой вы привели: трёхмерное изображение и АЧХ+ФЧХ.
Я понять не могу, вы за какой из вариантов? Или у вас есть оригинальная иделя по визуализации?
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Нет, конечно можно проводить визуализацию диаграммой Смита, только только это оно и будет - объяснение через "бесконечность повёрнутую на пи пополам".
Refridgerator
25.08.2025 09:36Лично я-то тут вообще не при чём. Есть математическая теория, объединяющая дискретное и непрерывное. Есть люди, не особо хорошо эту теорию понимающие. Но при этом достаточно уверенных в себе, чтобы писать на эту тему статьи. Вводящих неискушённых читателей в заблуждение. С идеями которых они даже банальный спектроанализатор написать не смогут.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Это всё прекрасно: автор статьи негодяй, каких свет не видел, десакрализирует тему. Непонятно другое:
Вы пишете "спектр", но рисуете модуль спектра
...а как вы предлагаете изображать спектр? Или теорему Найквиста-Шеннона грешно иллюстрировать? :)))
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Я же чуть ранее эти функции назвал прямым текстом)
Не функции, спектр сигнала как вы предлагаете изображать? Какой вы видите его визуализацию?
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36С зависимостью чего от чего? Что будет аргументом, что - значением?
По определению спектра (любому определению) аргументом должна быть частота. Слушаю вас, что должно быть на иллюстрации значением и как это значение должно быть изображено?
Refridgerator
25.08.2025 09:36Аргументом является частота или круговая частота, значение в разных источниках называют по-разному в зависимости от сферы применения либо не называют вовсе.
Flammmable Автор
25.08.2025 09:36Аргументом является частота или круговая частота, значение в разных источниках называют по-разному в зависимости от сферы применения либо не называют вовсе.
Что же, такое ответ мне тоже подходит :))
Спасибо за дискуссию :)
TimurZhoraev
25.08.2025 09:36По-хорошему конечно же необходимо приводить матаппарат что в конкретном случае является спектром для непрерывного сигнала или представленного в виде отсчётов. Например это может быть мнимая или действительная часть ПФ, модуль, фаза (причём atan от -π/2 до π/2 или atan2(Re,Im) от 0 до 2π)
An_private
Интересно, хоть для кого-то после этой статьи стало что-то более понятно? Если бы я не знал - что делает дискретизация со спектрами сигналов - эта статья ввела бы меня в полное непонимание происходящего.
Вот даже на первой же анимации - неужели нельзя было хотя бы нарисовать маркер частоты дискретизации, чтобы было сразу видно как исходный спектр зеркалируется относительно маркера?
Для ликбеза еще неплохо бы пояснить - а почему, собственно, на спектре мы получаем не ровную вертикальную линию исходной частоты, а ещё и какой-то "звон" вокруг неё - для начинающего всё это выглядит полной китайской грамотой.
Ну и т.д. и т.п.
Flammmable Автор
Вы про вот этот маркер?
Конкретизируйте, что "всё" для начинающего "выглядит китайской грамотой"?
-Спекстр?
-Спектр с одним пиком?
-Спектр с одним пиком, у которого чуть волнистые края?
С интересом послушаю, что у вас свёрнуто в "и т.д. и т.п.".
An_private
Да. Вот только на анимации его нет и что там происходит - весьма непонятно.
Только с некоторым запозданием я понял источник еще одного недоумения - если используется дискретное преобразование Фурье, то каким образом на графике отображаются частоты выше частоты половины дискретизации?
Потом я обратил внимание на " алгоритм Ломба-Скаргла" и понял, что на самом деле вместо ДПФ за спектр выдаётся периодограмма Ломба-Скаргла, что в общем виде неверно.
Хотя бы. Причём на одной из анимаций в разделе "Чем больше замеров, тем лучше?" видно, что эта "волнистость" зависит от количества семплов. Но почему - никак не объясняется.
А в русском языке называется стробоскопический осциллограф.
Flammmable Автор
Ну вот )) Всё есть в статье. Всё как вы хотели )))
Опять же :) Стоит лишь читать не по диагонали.
Это, к слову не упрёк вам - вы-то вчитались :)
Да с чего бы? :)))
Есть ГОСТ 24346-80.
Там есть определение:
Спектр колебаний:
Совокупность соответствующих гармоническим составляющим значений величины, характеризующей колебания (вибрацию), в которой указанные значения располагаются в порядке возрастания частот гармонических составляющих.
Просто, понятно. Вполне совпадает с, так скажем, бытовым пониманием понятия "спектр". И делает понятия "спектр" и "периодограмма Ломба-Скаргла" синонимами.
А то, что "настоящий спектр, он от 0 до nf/2" - вот это как раз будет вполне запутывать неофитов, порождать у них ненужные вопросы и "объяснять восьмёрку через знак бесконечности на пи пополам".
Опишите словами, что лично вы видите на анимации, на которой непонятно что происходит? :)
Ну... и вы и я - не начинающие. Послушаем начинающих, выглядит ли для них это китайской грамотой :)
Потому, что сам раздел является побочным относительно повествования. Углубляться в него - распылять внимание.
Это почти как у ещё одного читателя в комментариях: "артефакт - это алиасинг".
Хотя ing-овое окончание указывает на процесс.
Здесь наоборот: Equivalent‑Time Sampling - это процесс, а вы произносите "стробоскопический осциллограф".
Вот именно по причине подобного использования лексики смежниками мне и приходится писать публицистические статьи )))))