Структурные проблемы в теориях квантовой гравитации / forpes.ru

Главная
Структурные проблемы в теориях квантовой гравитации

Структурные проблемы в теориях квантовой гравитации +6

23.11.2025 17:26

avshkol 0 371 Источник

Старик Эйнштейн бы повеселился, наблюдая за тем, что сейчас происходит с теориями квантовой гравитации...

Теории квантовой гравитации - на сегодняшний день это, пожалуй, самая сложная для понимания и неоднозначная с точки зрения достоверности и проверяемости ветвь современной физики. Это попытка соединить общую теорию относительности, описывающую гравитационные поля и волны, с квантовой физикой, исходя из предположения квантования (существования минимальной единицы) пространства-времени.

Представляю вам перевод на русский язык фундаментальной работы 1995 года физика Криса Ишема, не потерявшей актуальность и в наши дни, где он подробно и довольно простым языком анализирует проблемы квантовой гравитации, существующие теории, их достоинства и недостатки. Это прекрасное введение в квантовую гравитацию, в область знаний, которая бросает дерзкий вызов нашей логике и интуиции, нашему интеллекту...

https://arxiv.org/abs/gr-qc/9510063v1

СТРУКТУРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ В КВАНТОВОЙ ГРАВИТАЦИИ

К. Дж. Ишем

Лаборатория Блэкетта, Имперский колледж науки, технологии и медицины, Саут-Кенсингтон, Лондон SW7 2BZ

Лекция на пленарном заседании конференции GR14, Флоренция, август 1995 г. Работа над документом завершена в октябре 1995 г.

Даётся содержательный, нетехнический анализ некоторых базовых вопросов, возникающих практически в любом подходе к квантовой гравитации, а также рассматривается, как эти вопросы соотносятся с недавними достижениями в данной области. Особое внимание уделяется применимости концептуальных и математических структур как классической общей теории относительности, так и стандартной квантовой теории. Перед этим обсуждением приводится краткий исторический обзор последних двадцати пяти лет исследований в квантовой гравитации, а в заключение высказываются предположения о том, как может выглядеть будущая теория.

1. Введение

1.1. Некоторые ключевые вопросы в квантовой гравитации

В настоящем докладе я хочу поразмышлять о некоторых фундаментальных проблемах, которые, по всей видимости, неизбежно возникают почти во всех подходах к квантовой гравитации. По этой причине выступление носит скорее нетехнический характер — в частности, оно не задумывалось как технический обзор типа «кто, что и когда делал после конференции GR13»: за последние годы предмет развивался слишком разнообразно, чтобы такой формат был возможен или желателен.

Изложение сосредоточено вокруг следующих первоначальных вопросов:

Почему нас вообще интересует квантовая гравитация? В прошлом у разных исследователей были существенно разные мотивации для своей работы — и это сильно влияло на техническое развитие предмета.
Каковы основные пути построения квантовой теории гравитации? Например, можно ли рассматривать общую теорию относительности как «ещё одну теорию поля», которую можно квантовать более или менее стандартным способом, или же её базовая структура требует чего-то принципиально иного?
Подходят ли нынешние технические и концептуальные формулировки общей теории относительности и квантовой теории для задачи построения квантовой теории гравитации? В частности:

Адекватно ли представление о пространстве-времени, даваемое общей теорией относительности, на квантовом уровне? Например, насколько оправданны следующие допущения:
(i) понятие «точки пространства-времени»;
(ii) предположение, что множество таких точек имеет мощность континуума;
(iii) наделение этого континуального множества дополнительной структурой дифференцируемого многообразия?
Ведь во многих дискуссиях по квантовой гравитации центральную роль играет группа диффеоморфизмов пространства-времени , которая, конечно, имеет смысл только в том случае, если действительно является гладким многообразием.
Достаточны ли технический формализм и концептуальные основания современной квантовой теории для построения полностью согласованной теории квантовой гравитации? В частности, могут ли они справиться с идеей, что «само пространство-время» может обладать квантовыми свойствами — помимо тех, что связаны с метрикой и другими полями, которые оно несёт?

Заметим, что если наши существующие представления о пространстве-времени и/или квантовой теории окажутся неадекватными, то возникает вопрос: насколько они вообще применимы к исследованиям в квантовой гравитации? Иными словами, являются ли наши нынешние представления о пространстве-времени и квантовой теории фундаментально верными, или же они всего лишь эвристические приближения к чему-то более глубокому? И если верно последнее, то насколько радикальными должны быть наши исследовательские программы?

Разумеется, это не единственные важные вопросы в квантовой гравитации. Например, с практической точки зрения крайне важно разработать жизнеспособные возмущающие (perturbative) методы для получения ответов на физически интересные вопросы. Это серьёзный вызов как для теории суперструн, так и для программы канонического квантования в формулировке Аштекара — двух наиболее перспективных ныне подходов к самой квантовой гравитации.

Ещё один вопрос — возникший непосредственно из успешного развития теории суперструн — касается точной роли суперсимметрии в теории квантовой гравитации. Отметим, что суперсимметрия играет важную роль в современных единых теориях негравитационных взаимодействий, в частности, именно благодаря ей бегущие константы связи встречаются в одной точке унификации. Таким образом, мы подходим к одному из центральных вопросов исследований в квантовой гравитации: обязана ли согласованная теория объединять все фундаментальные взаимодействия — как предлагается в теории суперструн, — или же можно построить квантовую теорию только гравитационного поля — как предполагает программа Аштекара?

1.2. Особая природа исследований в квантовой гравитации

Прежде чем обсуждать любые из этих вопросов подробно, стоит подчеркнуть, что квантовая гравитация обладает рядом весьма своеобразных черт по сравнению с большинством других направлений теоретической физики. В конечном счёте теоретическая физика призвана описывать то, как устроены вещи в физическом мире. Эта связь обычно изображается следующей схемой:

теория ⟷ концепции ⟷ факты (1)

в которой теоретические (то есть математические) компоненты связаны с физическими данными («фактами») через концептуальную основу, зависящую в определённой степени от конкретной области исследования.

Разумеется, здесь всё не так просто: сегодня все хорошо понимают, что:

(i) используемая нами концептуальная основа отчасти определяется нашими предварительными представлениями о фактическом содержании мира;

(ii) что так называемые «факты» — это не просто грубые, «данные» данные, а уже в самом процессе выявления и выделения их в качестве «фактов» предполагают определённую концептуальную основу для анализа мира.

Тем не менее, с учётом этих оговорок приведенная простая схема действительно отражает некоторые ключевые аспекты того, как теоретические физики воспринимают свою профессиональную деятельность.

Особенность квантовой гравитации заключается в том, что она ставит под сомнение само её право считаться подлинной ветвью теоретической физики — из-за полного отсутствия каких-либо наблюдаемых свойств мира, которые можно было бы однозначно отнести к результату взаимодействия общей теории относительности и квантовой теории.

Эта проблема проистекает из того, что естественная планковская длина, определяемая с помощью размерного анализа как:

$L_P := \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}$

чрезвычайно мала, ≈10⁻³⁵ м; соответственно, связанная с ней планковская энергия имеет порядок 10²⁸ эВ, что далеко выходит за пределы возможностей любых лабораторных экспериментов на обозримое время. Более того, этот простой размерный аргумент убедительно показывает, что единственным физическим режимом, где эффекты квантовой гравитации могут быть изучены напрямую, является эпоха сразу после Большого взрыва — а это вовсе не самый простой объект для экспериментального исследования.

Отсутствие очевидных экспериментальных данных означает, что правая часть схемы (1) отсутствует, и мы имеем усечённую картину:

теория ⟷ концепции (2)

Это привело к тому, что общие усилия в области квантовой гравитации оказались заметно перекошенными по сравнению с основными направлениями физики. На практике большинство исследований в этой области основывалось на различных первоначальных представлениях о том, как должна выглядеть теория — представлениях, обусловленных отчасти философскими предпочтениями самих исследователей, отчасти — наличием математических методов, успешно применявшихся в, возможно, ошибочно считающихся близкими областях теоретической физики, таких как, например, неабелевы калибровочные теории. Такой подход придал всей области квантовой гравитации своеобразный, даже «странный» оттенок (в оригинале - flavour, аромат - прим. переводчика).

Что касается отсутствия экспериментальных данных, которые могли бы служить ограничениями, то в этом смысле ситуация напоминает ту, с которой до недавнего времени сталкивались исследователи оснований самой квантовой теории. В этом свете особенно удивительно, насколько мало формальных взаимодействий происходило между людьми, работающими в квантовой гравитации, и специалистами по основаниям квантовой теории. Это кажется тем более странным, если вспомнить, что некоторые из самых фундаментальных проблем, стоящих перед квантовой космологией, совпадают с теми, что давно беспокоят основания квантовой теории в целом. Я имею в виду, в частности, проблему измерения, смысл вероятности и общую проблему квантовой запутанности в замкнутой системе — в нашем случае во Вселенной в целом.

2. Предварительные замечания

2.1. Мотивации для изучения квантовой гравитации

Как уже отмечалось выше, строго говоря, квантовую гравитацию нельзя рассматривать как стандартную научную исследовательскую программу: ей недостаёт хорошо установленного набора «фактов», с которыми можно было бы верифицировать или фальсифицировать те или иные теории традиционным способом. Это вовсе не означает, что у изучения этой области нет веских оснований. Они есть, но они, как правило, иного рода, чем в других разделах физики. Конечно, некоторые мотивирующие факторы ссылаются на потенциальные наблюдения или эксперименты, особенно в космологии, но большинство из них носят более «внутренний» характер: например, стремление к математической согласованности, желание построить единую теорию всех взаимодействий или реализовать различные квазифилософские взгляды на природу пространства и времени.

Важно понимать эти мотивации, чтобы осмыслить, чем занимались люди в прошлом, и судить, удалось ли им достичь поставленных целей. Ведь теория считается «успешной», только если либо указывает за пределы самой себя — на новые или уже существующие «факты» мира, либо достигает некоторых собственных внутренних целей.

В педагогических целях полезно разделить исследовательские программы в квантовой гравитации в зависимости от того, возникли ли они в сообществе физиков-исследователей элементарных частиц и квантовых теоретиков поля или в сообществе специалистов, работающих преимущественно в общей теории относительности. Такое разделение обычно влияет как на цели исследований, так и на применяемые методы.

А. Мотивации с точки зрения физиков-исследователей элементарных частиц и квантовой теории поля

Материя состоит из элементарных частиц, описываемых в рамках квантовой теории, и они, несомненно, взаимодействуют друг с другом гравитационным образом. Следовательно, необходимо хотя бы как-то описать стык между квантовой теорией и общей теорией относительности — даже если это лишь заявление о том, что «на практике» этой проблемой можно пренебречь (см. ниже).
Релятивистская квантовая теория поля, возможно, вообще имеет смысл только при условии, что гравитация изначально включена в её формулировку. В частности, ультрафиолетовые расходимости, присутствующие в большинстве таких теорий, включая перенормируемые, но не строго конечные, могут быть устранены благодаря фундаментальному обрезанию на планковской энергии. Теория суперструн, по-видимому, является последней претенденткой на реализацию этой идеи.
Связанное утверждение: общая теория относительности является необходимым компонентом любой полностью согласованной теории унификации негравитационных взаимодействий (электромагнитного, слабого и сильного). Противоположные позиции по обратному утверждению (что согласованная квантовая теория гравитации обязательно включает другие фундаментальные силы) составляют одно из самых ярких различий между теорией суперструн и программой канонической квантовой гравитации.

Б. Мотивации с точки зрения специалиста по общей теории относительности

Особенности (сингулярности) пространства-времени неизбежно возникают в общей теории относительности, если тензор энергии-импульса удовлетворяет определённым, физически обоснованным, условиям положительности энергии. Давно существует надежда, что предсказание подобного патологического поведения можно устранить посредством корректного введения квантовых эффектов.
С тех пор как Хокинг открыл [1] излучение чёрных дыр, вызванное квантовыми эффектами, важнейшей причиной изучения квантовой гравитации стало понимание конечного состояния материи, коллапсирующей под действием гравитации.
Квантовая гравитация должна играть ключевую роль в физике очень ранней Вселенной. Возможные применения включают:

(a) понимание самого происхождения Вселенной;
(b) объяснение того, почему пространство-время имеет макроскопическую размерность четыре (это не исключает возможность многомерного пространства по типу Калуцы–Клейна на планковских масштабах);
(c) объяснение происхождения инфляционного режима расширения, который, по мнению многих космологов, описывает эволюцию Вселенной сразу после Большого взрыва.

Помимо этих, относительно прагматичных, причин для изучения квантовой гравитации, для многих остаётся самой притягательной мотивацией следующая: согласованная теория квантовой гравитации может потребовать радикального пересмотра наших самых фундаментальных понятий пространства, времени и вещества. Именно Джон Уилер впервые чётко и последовательно сформулировал этот тезис более тридцати лет назад, и с тех пор он продолжает завораживать поколения теоретических физиков.

2.2. Подходы к квантовой гравитации

Различный вес, придаваемый отдельными исследователями разным мотивациям для изучения квантовой гравитации, привёл к множеству мнений о том, как следует подходить к этой проблеме. В результате мы далеки от того, чтобы обладать «аксиоматической» основой или даже общим консенсусом о том, к чему именно следует стремиться, помимо минимального требования, согласно которому теория должна воспроизводить классическую общую теорию относительности и стандартную квантовую теорию в соответствующих пределах, обычно понимаемых как все физические режимы, существенно удалённые от планковской длины.

A. Можно ли вообще избежать квантовой гравитации?

Возможно, квантовая теория гравитации вообще не нужна. В этой связи отметим следующее.

Иногда утверждается, что планковская длина

$L_P := \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}$

настолько мала, что переживать о квантовой гравитации не стоит, за исключением, может быть, весьма экзотических рассуждений о крайне ранней Вселенной — то есть о временах, не превышающих планковское время (≈10⁻⁴² с) после Большого взрыва. Однако:

Такое утверждение имеет смысл только в том случае, если существует теория, в рамках которой можно строить подлинные возмущающие разложения (perturbative expansions) по параметру , где — масштаб длины, на котором исследуется система. Лишь тогда можно обоснованно утверждать, что квантовые эффекты пренебрежимо малы при . Следовательно, даже если мы немедленно объявим теорию нерелевантной для всего, кроме физики ранней Вселенной, нам всё равно нужно попытаться построить жизнеспособную теорию.
Аргумент, основанный на малости , игнорирует возможность непертурбативных (невозмущающих) эффектов — идея, часто связываемая с предположением, что квантовая гравитация порождает собственное ультрафиолетовое обрезание в квантовой теории поля.

2.Некоторые придерживаются иной точки зрения: активное «квантование» (1) гравитационного поля является принципиально ошибочным.

(1) Под "активным" квантованием я подразумеваю логическую схему, в которой все начинается с классификационной системы, к которой применяется некоторый алгоритм квантования. Это можно противопоставить подходам, в которых квантовая теория определяется внутренним образом — возможно, как представление некоторой группы или алгебры — без предварительной ссылки на классическую систему, которая подвергается ‘квантованию’.

В поддержку этой позиции приводятся следующие доводы:
- Тензор метрики не является «фундаментальным» полем в физике, а представляет собой лишь феноменологическое описание гравитационных эффектов, применимое лишь в режимах, существенно удалённых от планковских масштабов. Примером может служить теория суперструн, где базовыми квантовыми объектами являются сущности, радикально отличающиеся от тех, что фигурируют в классической общей теории относительности. Другой, несколько иной, пример — недавнее переосмысление уравнений Эйнштейна Якобсоном, который вывел их как уравнение состояния [2], которое, по-видимому, столь же бессмысленно «квантовать», как и уравнения гидродинамики (2).
  
  (2) В 1971 году я принял участие в публичной дискуссии с Джоном Стейчелом, в ходе которой он бросил мне вызов по этому самому вопросу. Будучи в то время увлеченным молодым специалистом по теории квантового поля, я ответил, что мне доставляет удовольствие квантовать все, что попадается на глаза. В наши дни я был бы более осторожен!
- Гравитационное поле связано со структурой пространства и времени — а последние, по своей природе и функционированию, по сути своей являются классическими.
3.Если последняя позиция обоснована, то возникает острый вопрос: как включить в такую схему материю, которая, предположительно, подчиняется законам квантовой теории? Обсуждение этого вопроса в основном сосредоточено вокруг предполагаемых уравнений для «полу-классической» метрики пространства-времени :

$G_{\mu\nu}(\gamma) = \langle \psi \mid \hat{T}_{\mu\nu}(g, \hat{\phi}) \mid \psi \rangle$ (3)

где — некоторое состояние в пространстве Гильберта квантованных полей материи . В этом контексте отметим следующее:
- В случае электромагнетизма известный анализ, проведённый Бором и Розенфельдом [3] уравнения, аналогичного (3), привёл к выводу, что электромагнитное поле необходимо квантовать для согласованности с квантованной природой материи, с которой оно взаимодействует. Однако, как сам Розенфельд указывал [4] — аналогичный аргумент для общей теории относительности не проходит. И, несмотря на многочисленные обсуждения с тех пор (см., например, Пейдж и Гейлкер [5]), строгого доказательства того, что общую теорию относительности необходимо каким-то образом квантовать, по-прежнему нет.
- Правая часть уравнения (3) порождает ряд технических проблем. Например, среднее значение расходится в ультрафиолетовом диапазоне, и методы регуляризации дают однозначный результат только тогда, когда метрика статична или стационарна — но нет оснований считать, что полу-классическая метрика должна обладать таким свойством. Кроме того, существуют аргументы, согласно которым решения уравнения (3), вероятно, неустойчивы по отношению к малым возмущениям, а значит, физически неприемлемы.
- Неясно, как именно следует выбирать состояние . Более того, если состояниям и соответствуют решения и уравнения (3), то нет очевидной связи между , и решением, соответствующим линейной комбинации и . Таким образом, квантовый сектор теории обладает странными нелинейными свойствами, что порождает множество новых проблем как технического, так и концептуального характера.

B. Четыре типа подходов к квантовой гравитации

Существующие подходы к квантовой гравитации можно классифицировать по четырём основным категориям:

Квантовать общую теорию относительности.
Это означает попытку построить алгоритм активного квантования метрического тензора, рассматриваемого как особый тип поля. На практике применяемые методы делятся на два класса:
(i) основанные на пространственно-временном подходе к квантовой теории поля, где операторные поля определены на четырёхмерном многообразии, представляющем пространство-время;
(ii) основанные на каноническом подходе, где операторные поля определены на трёхмерном многообразии, представляющем физическое пространство.
«Обобщить по-релятивистски» квантовую теорию.
Это означает попытку адаптировать стандартную квантовую теорию к потребностям классической общей теории относительности. Большая часть работ в этой области посвящена квантованию материи, распространяющейся на фиксированном фоновом пространстве-времени , где — многообразие, а — метрика пространства-времени.
Общая теория относительности — это низкоэнергетический предел квантовой теории чего-то совершенно иного.
Наиболее яркий пример такого типа — теория замкнутых суперструн.
Начать заново с радикально новой теории.
Подразумевается, что и классическая общая теория относительности, и стандартная квантовая теория «возникают» из более глубокой теории, требующей радикального пересмотра концепций пространства, времени и вещества.

2.3 Проблема причинности и времени

До появления программы суперструн большая часть работ в квантовой гравитации относилась к первой категории — «квантования» общей теории относительности. Однако подходы такого типа неизбежно сталкиваются с печально известной «проблемой времени», лежащей в сердцевине многих глубочайших концептуальных вопросов квантовой гравитации.

Поэтому, прежде чем перейти к обсуждению конкретных подходов, я кратко рассмотрю эту проблему.

A. Проблема времени с точки зрения пространственно-временного подхода

В рамках пространственно-временных подходов к квантовой теории проблема времени и причинности формулируется просто: причинная структура пространства-времени зависит от метрического тензора — а значит, если метрика подвержена квантовым флуктуациям, то и причинная структура тоже флуктуирует. Аналогично, если метрика представляет собой лишь грубое, феноменологическое описание чего-то более фундаментального, то и причинная структура тоже не может быть фундаментальной.

Это создаёт серьёзные технические трудности, поскольку стандартная квантовая теория поля предполагает фиксированную причинную структуру. Например, квантовое скалярное поле $\hat{\phi}(X)$ обычно должно удовлетворять микропричинным коммутационным соотношениям:

$[\hat{\phi}(X), \hat{\phi}(Y)] = 0$ (4)

всякий раз, когда точки пространства-времени и разделены пространственноподобным интервалом. Однако последнее условие теряет смысл, если метрика пространства-времени квантуется или является феноменологической. В случае квантованной метрики наиболее вероятный сценарий — правая часть уравнения (4) никогда не обращается в ноль, что устраняет одно из оснований стандартной квантовой теории поля [6]. Замена операторных полей на -алгебры также не помогает, насколько эти алгебры сохраняют микропричинные коммутационные свойства. И то же касается функциональных интегралов, если серьёзно относиться к проблеме их определения.

На практике методы, применяемые для решения проблемы времени, обычно попадают в одну из следующих категорий:

Использование фиксированной фоновой метрики , часто выбираемой как метрика пространства Минковского, для задания эталонной причинной структуры, по отношению к которой можно применять стандартные методы квантовой теории поля. Применительно к гравитационному полю $\gamma_{\mu\nu}(X)$ это обычно приводит к представлению:

$\gamma_{\mu\nu}(X) = \eta_{\mu\nu} + \kappa h_{\mu\nu}(X)$ (5)

где , а — гравитационная постоянная Ньютона. Поле $h_{\mu\nu}(X)$ интерпретируется как физическое поле «гравитонов». Использование уравнения (5) убедительно свидетельствует о пертурбационном (perturbative) подходе, в котором квантовая гравитация рассматривается как теория малых квантовых флуктуаций в фоновом пространстве-времени.

Возникающие проблемы включают:

необходимость построения строгой математической схемы (стандартные методы дают неперенормируемую теорию — см. ниже);
необходимость обобщения на фоны, отличные от пространства Минковского — как метрически, так и топологически (например, для космологических задач);
понимание того, как различные возможные фоны могут быть согласованы в единой квантовой схеме и что происходит с понятием «причинности» в такой схеме.

2.Начинать с формализма, в котором метрика пространства-времени имеет риманову (а не лоренцеву) сигнатуру, а затем, в конце, пытаясь совершить «аналитическое продолжение» обратно к физическому пространству-времени. Большинство работ такого типа использует довольно эвристические подходы на основе функциональных интегралов.

3.Полный отказ от пространственно-временных методов в пользу канонического подхода к общей теории относительности, где базовыми объектами являются геометрические поля на трёхмерном многообразии. Тогда задача сводится к тому, чтобы реконструировать хотя бы приближённую пространственно-временную картину, в рамках которой можно было бы интерпретировать результаты квантовых вычислений.

Отсутствие фундаментальной причинной структуры также порождает важные концептуальные вопросы. Например, стандартная интерпретация квантовой теории сильно опирается на роль «измерений», совершаемых «наблюдателем». Однако простейшей моделью наблюдателя является времениподобная кривая, а понятие «времениподобности» зависит от метрики пространства-времени. Таким образом, само понятие наблюдателя тоже становится квантовым (или феноменологическим), что делает стандартную интерпретацию существенно проблематичной (3).

(3) Я благодарен Стиву Вайнштейну за то, что он обратил мое внимание на этот момент и обсудил его важность.

B. Проблема времени в каноническом квантовании

Канонический подход к квантовой гравитации начинается с выбора референсного расслоения пространства-времени, используемого для определения соответствующих канонических переменных. Это трёхмерная метрика $g_{ab}(x)$ на пространственном многообразии и канонически сопряжённый ей импульс $p^{ab}(x)$ , который, с точки зрения пространства-времени, связан с внешней кривизной гиперповерхности , вложенной в четырёхмерное пространство-время.

Однако эти переменные не независимы: они удовлетворяют ограничениям

(6)

$H_\perp(x) = 0$ (7)

где (4)

(4) Знак "|" обозначает ковариантное дифференцирование с использованием символа Кристоффеля 3-метрики.

$H_a(x) := -2,p^b{}_{a\mid b}(x)$ (8)

$H_\perp(x) := \kappa^2G_{abcd}(x),p^{ab}(x),p^{cd}(x) - \frac{{|g|}^{1/2}(x)}{\kappa^2}R(x)$ (9)

Здесь — скаляр кривизны трёхмерной метрики $g_{ab}(x)$ , а «суперметрика Девитта» на пространстве трёхмерных метрик [7] задаётся как

$G^{abcd}(x) := \frac{1}{2}|g|^{-1/2}(x)\left( g_{ac}(x)g_{bd}(x) + g_{bc}(x)g_{ad}(x) - g_{ab}(x)g_{cd}(x) \right)$ . (10)

Функции и канонических переменных играют ключевую роль, поскольку их алгебра скобок Пуассона

$\{H_a(x), H_b(x')\} = -H_b(x)\,\partial_a^{x'}\delta(x, x') + H_a(x')\,\partial_b^x \delta(x, x')$ (11)

$\{H_a(x), H_\perp(x')\} = H_\perp(x)\,\partial_a^x\delta(x,x')$ (12)

$\{{H_\perp(x), H_\perp(x')}\} = g^{ab}(x)H_a(x),\partial_b^{x'}\delta(x,x') - g^{ab}(x'),H_a(x'),\partial_b^x\delta(x,x')$ (13)

совпадает с алгеброй группы диффеоморфизмов пространства-времени, спроецированной вдоль и ортогонально пространственно-подобным гиперповерхностям.

То, как именно возникает проблема времени, сильно зависит от выбранного подхода к квантованию этой классической канонической системы. Один из возможных путей состоит в том, чтобы:
(i) зафиксировать калибровку, связанную с инвариантностью относительно алгебры (11–13);
(ii) решить ограничения (6–7) классически;
(iii) квантовать получающуюся «истинную» каноническую систему стандартным образом.

Однако окончательные уравнения оказываются неразрешимыми за пределами возмущённого подхода, где они немедленно сталкиваются с ультрафиолетовыми расходимостями. Тем не менее, если бы формализму можно было придать строгое математическое содержание, проблема времени свелась бы к соотнесению различных калибровок и связанных с ними классических понятий времени. Простые модельные расчёты показывают, что это далеко не тривиальная задача.

Большинство подходов к канонической квантовой гравитации поступают иначе. Вместо этого полный набор полей $(g_{ab}(x), p^{cd}(x))$ квантуют посредством канонических перестановочных соотношений:

$[\hat{g}_{ab}(x), \hat{g}_{cd}(x')] = 0$ (14)

$[\hat{p}^{ab}(x), \hat{p}^{cd}(x')] = 0$ (15)

$[\hat{g}_{ab}(x), \hat{p}^{cd}(x')] = i\hbar \delta^{c}_{(a}\delta^{d}_{b)}\delta(x, x')$ (16)

где операторы определены на трёхмерном многообразии . Следуя Дираку, ограничения интерпретируются как условия на допустимые векторы состояний , так что

$\hat{H}a(x) \Psi = 0 = \hat{H}\perp(x) \quad \text{для всех } x \in \Sigma$ .

В частности, если выбрать состояния как функции трёхмерной геометрии , и использовать представление

$(\hat{g}_{ab}(x)\Psi)[g] := g_{ab}(x)\Psi[g]$

$(\hat{p}^{cd}(x)\Psi)[g] := -i\hbar\frac{\delta \Psi[g]}{\delta g_{ab}(x)}$

то ограничения $\hat{H}_a \Psi = 0$ означают, что не меняется при инфинитезимальных диффеоморфизмах (infinitesimal diffeomorphisms) пространственного многообразия .

Ключевым ограничением является $\hat{H}_\perp(x)\Psi = 0$ , которое в этом представлении превращается в знаменитое уравнение Уилера–Девитта:

$-\hbar^2 {\kappa^2}G_{abcd}(x)\frac{\delta^2 \Psi[g]}{\delta g_{ab}(x)\delta g_{cd}(x)} - \frac{\sqrt{|g|(x)}}{\kappa^2}R(x)\Psi[g] = 0$ (17)

где $G_{abcd}$ — суперметрика Девитта из уравнения (10).

Наиболее очевидное проявление проблемы времени заключается в том, что уравнение Уилера–Девитта (17) вообще не содержит времени, хотя именно его обычно рассматривают как главное «динамическое» уравнение (5) теории!

(5) По сути, потому, что в классической теории, если рассматривать ее с пространственно-временной точки зрения, ассоциируется с каноническими генераторами перемещений во временных направлениях.

Эта ситуация обычно интерпретируется так: «время» должно быть введено заново через значения особых физических величин в теории — либо гравитационных, либо материальных, — с которыми можно сопоставлять значения других физических величин. Это остаётся фундаментальной нерешённой проблемой:
(i) можно ли вообще это сделать точно?
(ii) если можно — как соотносятся результаты, полученные при разных выборах «временных» переменных, и как связать их с более привычными пространственно-временными концепциями?

Отметим также, что даже исходные канонические перестановочные соотношения (14–16) вызывают сомнения. Например, обращение в ноль коммутатора (14) обычно отражает тот факт, что точки x и x′ «пространственно разделены». Но что означает «пространственная разделённость» в теории, где нет фиксированной причинной структуры?

Подобные вопросы заставили многих поставить под сомнение сам канонический подход к квантовой гравитации, а также искать новую — по сути «вневременную» — основу для самой квантовой теории. Однако проблема времени чрезвычайно сложна и до сих пор остаётся предметом активных дискуссий. Два подробных обзора этого вопроса недавно опубликовали Кучар [8] и Ишем [9].

3. Краткая история квантовой гравитации

Вместо того чтобы просто резюмировать последние достижения в квантовой гравитации, я начну с краткого исторического экскурса (6) по развитию этой области за последние двадцать пять лет. Ведь если мы хотим строить предположения о том, куда движется квантовая гравитация, разумно сначала вспомнить, откуда она пришла!

(6) Прошу обратить внимание: если бы я попытался привести полные ссылки, библиография заняла бы всю страницу, отведенную для этой статьи! Поэтому в нескольких местах мне пришлось довольствоваться простым цитированием обзорных статей, содержащих полные библиографии по конкретным темам.

3.1 Положение дел двадцать пять лет назад

Начну с напоминания о состоянии исследований в квантовой гравитации в 1970 году, то есть за двадцать пять лет до конференции GR14, на которой была прочитана эта лекция, в частности, о том, как обстояли дела с собственно квантовой гравитацией, а также как в то время воспринимались физика элементарных частиц и квантовая теория поля.

A. Квантовая гравитация до 1970 года

Канонический анализ классической общей теории относительности к тому времени был хорошо понят. Пионерские работы Дирака [10] были развиты многими исследователями, и одна из линий исследований завершилась классическим трудом Арновитта, Дизера и Мизнера [11], посвящённым выделению физических степеней свободы в классической общей теории относительности. (7)

(7) Довольно полную библиографию статей по канонической общей теории относительности можно найти в моей обзорной статье [12], посвященной проблеме времени, и в обзоре Кучар [13].

Алгебра классических ограничений (уравнения 11–13) также была хорошо известна, и её общие следствия для квантовой теории понимались. В частности, уравнение Уилера–Девитта (уравнение 17) уже было записано (разумеется, Уилером [14], [15] и Девиттом [7]).
Первые исследования квантовой космологии уже проводились. В частности, Девитт [7] и Мизнер [16] ввели идею минисуперпространственного квантования — упрощения гравитационного поля до нескольких степеней свободы, в результате чего неразрешимое функционально-дифференциальное уравнение (17) превращается в уравнение в частных производных с конечным числом переменных, которое хотя бы можно попытаться решить точно.
Многие концептуальные проблемы квантовой гравитации уже были осознаны. В частности:
• Инструменталистские концепции, лежащие в основе копенгагенской интерпретации квантовой теории, понимались как непригодные для квантовой космологии (вспомним, что интерпретация «многих миров» восходит к работам Эверетта [17] и Уилера [18], опубликованным ещё в 1957 году!).
• Был проведён предварительный анализ проблемы времени, особенно в контексте канонической квантовой гравитации.
• Высказывались сомнения относительно операционального смысла «точки пространства-времени» в квантовой гравитации — например, программа твисторов берёт своё начало именно в ту эпоху [19].
Были выполнены исследования пространственно-временного подхода к квантовой гравитации, основанные на разложении (5). Подстановка этого разложения в действие Эйнштейна–Гильберта

$S = \int d^4X \sqrt{|\gamma|} R(\gamma)$

даёт билинейный член, описывающий безмассовые спин-2 гравитоны, и ряд вершин более высокого порядка, описывающих взаимодействия гравитонов. Правила Фейнмана для этой системы были хорошо поняты, включая необходимость введения «духов» для учёта нефизических мод гравитонов во внутренних петлях [20] - [24]. И что особенно важно — теория считалась неперенормируемой, хотя на тот момент существовал лишь простой аргумент на основе подсчёта размерностей.

B. Физика элементарных частиц и квантовая теория поля до 1970 года

Отношение к квантовой теории поля в 1960-х годах сильно отличалось от сегодняшнего. За исключением квантовой электродинамики, квантовая теория поля считалась не слишком подходящей основой для описания взаимодействий элементарных частиц. Тогда господствовали идеи S-матрицы, аксиом Чью, полюсов Редже, а ближе к концу периода — двойственная резонансная модель и амплитуда Венециано, которые в итоге привели к теории струн.

Если квантовая теория поля и применялась в физике сильных взаимодействий, то в основном как феноменологический инструмент для изучения следствий алгебры токов, считавшейся более фундаментальной. Серьёзные исследования квантовой теории поля проводились в основном в рамках аксиоматических программ, таких как аксиомы Вайтмана [25] для n-точечных функций.

Такое общее пренебрежение квантовой теорией поля повлияло и на развитие квантовой гравитации. В частности, за немногими заметными исключениями, физики, обученные в традициях физики частиц и квантовой теории поля, не проявляли интереса к квантовой гравитации, и область осталась в руках тех, чьё основное образование было связано с общей теорией относительности. Это придало работам того времени особый оттенок: геометрические аспекты теории часто подчёркивались в ущерб вопросам квантовой теории поля, создав напряжение, которое ощущается и по сей день.

3.2 Основные вехи двадцати пяти лет исследований в квантовой гравитации

Мой личный выбор ключевых достижений за последние двадцать пять лет выглядит следующим образом.

1. Общее возрождение лагранжевой квантовой теории поля

Я без колебаний начну с открытия т’Хоофта в начале 1970-х годов — доказательства перенормируемости квантованной теории Янга–Миллса. Хотя это открытие напрямую не связано с гравитацией, оно кардинально изменило отношение физиков к квантовой теории поля в целом и вновь пробудило широкий интерес к ней.

Одним из побочных эффектов стало то, что многие молодые исследователи в области физики частиц заинтересовались возможностью применения новых методов к квантовой гравитации — тенденция, продолжающаяся и по сей день.

2. Излучение чёрных дыр

Я присутствовал на конференции в Оксфорде в 1974 году [26], где Хокинг объявил о своём открытии излучения чёрных дыр (8), и хорошо помню изумление, вызванное его докладом.

(8) Недавний обзор и библиографию смотрите в статье Боба Уолда.

Его пионерская работа запустила целый ряд исследовательских программ, которые остаются чрезвычайно актуальными до сих пор:

(a) Наиболее очевидный вывод того времени заключался в том, что существует удивительная связь между термодинамикой (особенно понятием энтропии), квантовой теорией и общей теорией относительности. Попытки полностью прояснить эту связь привели к некоторым из самых интригующих идей в квантовой гравитации (о чём будет сказано позже).

(b) Работа Хокинга вызвала интенсивный и продолжающийся интерес к общей проблеме определения квантовой теории поля на фоне искривлённого пространства-времени.

(c) Результаты Хокинга вскоре были переформулированы с помощью тепловых функций Грина [27], которые в обычной квантовой теории поля тесно связаны с заменой времени на мнимое число, пропорциональное обратной температуре.
Это привело Хокинга к разработке своей программы "евклидовой" квантовой гравитации (9), в которой центральную роль играют римановы, а не лоренцевы, метрики (это естественный аналог замены времени на $\sqrt(−1)t$ ).

(9) Удобным недавним источником для многих оригинальных статей являются статьи Гиббонса и Хокинга [28].

В частности, Хокинг предложил изучать функциональные интегралы вида

$Z(M) := \int \mathcal{D}\gamma e^{-\int_M \sqrt{|\gamma|} R(\gamma)}$ (18)

где интегрирование проводится по всем римановым метрикам на четырёхмерном многообразии .

Трудно придать этому объекту строгий математический смысл, но идея оказалась чрезвычайно плодотворной. Например:

Решение проблемы времени включает аналитическое продолжение многообразий с римановой сигнатурой к многообразиям с лоренцевой сигнатурой. Эта процедура представляет самостоятельный математический интерес.
Приближения методом перевала к выражению (18) широко используются как гравитационный аналог инстантонных методов в теории Янга–Миллса. Это вызвало значительный интерес к классическим решениям римановой версии ОТО.
Выражение (18) естественным образом обобщается на случай «квантовой топологии», когда каждому четырёхмерному многообразию приписывается вес в уравнении типа :

$Z := \sum_{M} \chi(M)Z(M)$ . (19)

Если применить (18) к многообразию с одной трёхмерной границей , то функциональный интеграл по всем 4-метрикам , совпадающим с заданной 3-метрикой на , даёт функционал , удовлетворяющий (по крайней мере эвристически) уравнению Уилера–Девитта (17). Это лежит в основе знаменитой волновой функции Вселенной Хартла–Хокинга [29] в квантовой космологии.

3. Неперенормируемость квантовой гравитации

Около 1973 года был выполнен ряд вычислений, подтвердивших (10), что возмущённая квантовая гравитация действительно неперенормируема (11).

(10) Полные ссылки можно найти в обзорах, написанных примерно в то время; например, в
материалах первых двух Оксфордских конференций по квантовой гравитации [30,26].

(11) Более точно, было показано, что в различных системах, включающих материю и гравитацию однопетлевой контрчлен ультрафиолетово расходится (в методе фоновых полей однопетлевой контрчлен для чистой гравитации обращается в ноль по кинематическим причинам). В 1986 году Горов и Сагнотти [31] показали, что двупетлевой вклад в чистой гравитации также расходится. Следовательно, за исключением крайне маловероятного и удачного взаимного уничтожения всех расходящихся членов более высоких порядков, теория неперенормируема.

На это отреагировали тремя основными стратегиями, каждая из которых имеет множество сторонников и сегодня:

Изменение классической теории ОТО для придания её квантовому варианту свойства перенормируемости. Примеры:
(i) добавление членов с более высокими степенями тензора кривизны $R_{\beta\mu\nu}^{\alpha}(\gamma)$ к действию;
(ii) супергравитация (об этом позже).
Сохранение классической ОТО, но разработка внутренне непертурбативных методов квантования. Два ярких примера:
(i) использование решётчатого исчисления Регге и методов, заимствованных из решёточной теории калибровочных полей;
(ii) программа канонического квантования Аштекара (см. ниже).
Признание неперенормируемости катастрофическим провалом, который можно исправить, лишь полностью пересмотрев основания физики. Сюда относятся:
(i) теория твисторов;
(ii) некоммутативная геометрия (Конн, Дюбуа-Виолетт и др.);
(iii) разнообразные дискретные модели пространства и времени.

4. Супергравитация и суперструны

Развитие супергравитации (в середине 1970-х) и теории суперструн (в основном с середины 1980-х) сильно повлияло на восприятие проблемы квантовой гравитации:

Эти теории воплотили старую надежду, что квантовая гравитация неизбежно объединяется с другими фундаментальными взаимодействиями.
Теория суперструн ясно показывает, как ОТО может возникать как малая часть чего-то гораздо более фундаментального, что умаляет первоначальное значение понятий пространства и времени. Неудивительно, что эта радикальная черта программы суперструн не пользуется особой популярностью среди релятивистов!
В теории струн явно проявляется нелокальная структура на планковских масштабах. Неоднократно высказывалось предположение, что само понятие «длины» теряет смысл ниже планковской шкалы — идея, часто встречающаяся и в других подходах к квантовой гравитации.

5. Новые канонические переменные

Крупным прорывом в каноническом квантовании гравитации стало открытие Абхаем Аштекаром в 1986 году [38] нового набора канонических переменных, которые кардинально упрощают структуру ограничений. С тех пор активно развивается программа использования этих переменных как в классической, так и в квантовой гравитации.

Наиболее яркие следствия:

Впервые появилось реальное свидетельство в пользу старой идеи, что непертурбативные методы играют ключевую роль в построении квантовой теории гравитации.
Новые переменные включают комплексные комбинации стандартных канонических переменных, что выводит на передний план использование комплексифицированной (complexified) ОТО в квантовом контексте.
Одна из новых переменных — свёртка, аналогичная калибровочной связности, что вдохновило на применение в гравитации голономных переменных Уилсона, введённых в теории Янга–Миллса. Пионерская работа Ровелли и Смолина [39] привела к множеству захватывающих идей, включая утверждение о том, что площадь и объём пространства квантованы (12) дискретными единицами.

(12) Для более подробной справки об этом и других аспектах программы Аштекара, см. в статье Абхай.

Дополнительные направления исследований

Этот список не исчерпывает всех важных тем. Среди прочих:

Успешная программа (13) изучения квантовой гравитации в пространстве-времени размерности 2+1. Это особенно ценно для сравнения различных подходов и анализа концептуальных проблем без технических сложностей, присущих 3+1 измерениям.

(13) Недавний обзор смотрите в примечаниях к лекции [40] Карлипа.
Рост интереса к топологическим квантовым теориям поля (см. ниже).
Многие исследователи продолжали долго и внимательно размышлять над концептуальными проблемами квантовой гравитации. В частности, проводились интенсивные исследования по следующим направлениям:

(i) проблема времени в канонической квантовой гравитации и связанная с ней проблема природы физических наблюдаемых;

(ii) возможность поиска новых интерпретаций квантовой теории, избегающих инструментализма стандартных подходов;

(iii) возможность того, что квантовая гравитация способна разрешить некоторые концептуальные трудности обычной квантовой теории — в частности, идея о том, что «редукция волнового пакета» может быть связана с нелинейной природой общей теории относительности (см. далее).

На этом этапе, завершив краткий исторический обзор, было бы естественно перечислить области исследований, которые сейчас активно развиваются. Однако на самом деле это вряд ли необходимо, поскольку практически каждая из упомянутых выше тем по-прежнему изучается тем или иным образом. Более того, размышления об этих темах наводят на мысль, что, подобно старым солдатам, идеи в квантовой гравитации не умирают, а лишь постепенно угасают, причём в некоторых случаях этот процесс занимает весьма продолжительное время!

Что касается самой квантовой гравитации, в настоящее время активно развиваются все три основные программы:
(i) теория суперструн,
(ii) программа Аштекара,
(iii) программа евклидовой квантовой гравитации.

Эти три подхода удачно дополняют друг друга, позволяя взглянуть на особенности любой из них под иным углом зрения посредством двух остальных — качество особенно полезное в области, столь поразительно лишённой однозначных экспериментальных данных.

4. Структурные вопросы, касающиеся пространства и времени

Я сосредоточусь на четырёх вопросах, связанных с использованием в квантовой гравитации картины пространства-времени, предложенной классической общей теорией относительности. А именно:
(i) представление пространства-времени как -многообразия;
(ii) роль диффеоморфизмов пространства-времени;
(iii) роль чёрных дыр;
(iv) последствия недавних достижений в теории суперструн.

4.1 Является ли пространство-время C∞ -многообразием?

В классической общей теории относительности основной математической структурой является пара , где гладкое дифференцируемое многообразие представляет пространство-время, а метрика γ сигнатуры Лоренца задана на . Аналогично, пространство моделируется трёхмерным многообразием с римановой метрикой .

В контексте квантовой теории гравитации возникает первый ключевой вопрос: правильно ли по-прежнему основывать всё на множестве «точек пространства-времени»? Если да, то остаётся ли дифференциальная геометрия правильной математической структурой, или следует использовать иной, возможно более общий, формализм, например, общую теоретико-множественную топологию? В основе таких вопросов лежит идея, что, помимо полей, которые оно несёт, — сама структура «пространства-времени» может быть подвержена квантовым эффектам.

Кажется, возможны следующие общие варианты:

1. Теория квантовой гравитации требует фиксированного множества точек пространства-времени (или, соответственно, пространства), снабжённого фиксированной топологической и дифференциальной структурой.

Таким образом, пространство-время (или пространство) само по себе такое же, как в классической ОТО. Эта точка зрения принята в программе канонической квантовой гравитации. Она также заложена в подходах к квантованию на основе пространственно-временного формализма, использующих разложение (5), а также в простых версиях возмущённой теории суперструн (см. ниже).

2. Теория квантовой гравитации требует фиксированного множества точек пространства-времени (или пространства), но топология и/или дифференциальная структура этого множества подвержены квантовым эффектам.

Например, в контексте канонического квантования Уилер [15] предположил, что сильные квантовые флуктуации тензора метрики могут вызывать флуктуации пространственной топологии — то, что я назову «топологическими изменениями, управляемыми метрикой». Другая (не обязательно независимая) возможность — что топологическая структура пространства или пространства-времени каким-то образом «активно квантуется». Примером в программе евклидовой квантовой гравитации является сумма (19) по всем многообразиям . В любом случае возникает вопрос: могут ли возникающие квантовые эффекты вывести нас за пределы категории дифференцируемых многообразий в нечто более общее? Если да, то, возможно, стоит быть осторожным, начиная с формализма (то есть классической ОТО), в котором дифференциальной геометрии отводится столь фундаментальная роль с самого начала.

3. Понятие «точки пространства-времени» не имеет смысла на фундаментальном уровне.
В частности, язык дифференциальной геометрии, используемый в классической ОТО, является феноменологическим инструментом, применимым лишь на масштабах, существенно превышающих планковскую длину или энергию.

A. Возможность асимптотической свободы

Идея топологических изменений, управляемых метрикой, основана на интуиции, что эффекты квантовой гравитации усиливаются при уменьшении расстояний, в конечном итоге приводя к «пеноподобной» структуре на планковских масштабах.

Однако возможна и альтернативная точка зрения: квантовая гравитация может быть асимптотически свободной — в этом случае эффекты становятся слабее, а не сильнее, по мере уменьшения масштаба. При таких обстоятельствах не будет топологических изменений, управляемых метрикой.

Асимптотическая свобода также означала бы, что полу-классические методы могут давать физически полезные предсказания на очень малых масштабах: эта возможность недавно была использована Бранденбергером [42] в космологическом контексте. Идея асимптотической свободы гравитации изучалась несколько лет назад Фрадкиным и Цейтлиным [43] в рамках теорий гравитации типа . Недавно Цейтлин [44] подчеркнул важность аналогичного эффекта в теории суперструн.

B. Пространство-время как феноменологическая конструкция

Идея активного квантования топологии порождает ряд фундаментальных вопросов, которые будут рассмотрены в разделе 5.2 в ходе общего обсуждения применимости современной квантовой теории. Однако мои личные склонности — в сторону более радикальной точки зрения: понятие «пространства-времени» вовсе не является фундаментальным, а применимо лишь в «феноменологическом» смысле, когда Вселенная исследуется не слишком пристально.

Конечно, в современной квантовой теории поля мы привыкли к идее феноменологических схем, работающих лишь при определённой степени грубого описания (coarse-graining) физического мира. Однако все существующие теории такого рода используют строго классическое представление о фундаментальной природе многообразия точек пространства-времени (или пространства), тогда как сейчас предлагается, что и само пространство-время является концепцией с ограниченной применимостью.

Наиболее очевидная вещь, которую в этом смысле можно считать феноменологической, — это, вероятно, топология или дифференциальная структура на фиксированном множестве точек пространства-времени. Однако феноменологический статус может распространяться и на само понятие точки пространства-времени.

Отметим, что если эта точка зрения верна, то первые два варианта определённо неверны: ошибочно работать с фиксированным многообразием пространства-времени — ведь это понятие не имеет смысла на фундаментальном уровне, — но также ошибочно говорить об «активном квантовании» таких вещей, если вообще нет ничего, что можно было бы квантовать.

Общая идея, лежащая в основе этого взгляда на пространство-время, изображена на Рисунке 1.

Рисунок 1. Иерархия феноменологических теорий.

На вершине «башни» находится «окончательная» теория физики, фундаментальные категории которой, мы предполагаем, не включают непрерывных идей о пространстве-времени или даже идей о точках пространства-времени вообще. «Феноменологическая теория» означает математическую структуру, воспроизводящую лишь некоторые грубо-описанные (coarse-grained) черты фундаментальной теории. Эту структуру можно, в свою очередь, ещё более грубо описать, и так далее, пока в конечном итоге мы не получим математическую модель, в которой можно узнать наши привычные понятия пространства и времени.

Это могло бы происходить различными способами. Например, одним из результатов грубого описания могло бы стать понятие «локальной области» — не рассматриваемой как подмножество чего-то, называемого «пространством-временем», а скорее как эмерджентное (возникающее) понятие (14) (вроде давления, например), плюс алгебра таких областей, определяющая их теоретическое использование и идентифицируемая математически как алгебра определённого открытого покрытия [45],[46],[47] некоторого настоящего непрерывного многообразия . Следовательно, пока мы ограничиваемся явлениями, соответствующими этому уровню, создаётся впечатление, что физика основана на многообразии пространства-времени , даже если в «окончательной» теории, с которой мы начали, оно не играет никакой фундаментальной роли.

(14) Конечно, это также могло бы уже существовать на верхнем уровне башни в качестве центрального компонента фундаментальной теории.

Конечно, в такой картине участвует множество философских, а также математических и физических вопросов. Например, идея «окончательной» теории может быть бессмысленной; в этом случае «башня» на Рисунке 1 вообще не имеет верхнего элемента. И из одного и того же уровня может расходиться множество различных «башен», что поднимает общие вопросы реализма и инструментализма.

Однако центральная идея — что концепции точки пространства-времени, топологии и дифференциальной структуры не имеют фундаментального статуса, — вполне может стать важным компонентом будущих теорий квантовой гравитации.

4.2 Группа диффеоморфизмов пространства-времени

Когда мы размышляем о роли пространства-времени (или пространства ) в квантовой гравитации, один из ключевых вопросов — это статус соответствующей группы диффеоморфизмов (соответственно ), играющей центральную роль в классической общей теории относительности. По крайней мере, три способа, каким или может проявиться в квантовой теории:

как точная группа ковариантности,
как частичная группа ковариантности,
как понятие ограниченной применимости, связанное с феноменологическим взглядом на пространство-время (или пространство).

Третий вариант естественно следует из позиции, изложенной выше: если пространство-время само по себе — понятие феноменологическое и применимо лишь в определённых пределах, то и диффеоморфизмы соответствующего многообразия тоже имеют ограниченный смысл. Ниже кратко рассмотрим все три потенциальные роли группы диффеоморфизмов.

A. Диффеоморфизмы как точная группа ковариантности

Идея о том, что группа диффеоморфизмов пространства-времени является точной группой ковариантности, играет ключевую роль во многих существующих подходах к квантовой гравитации. Например, она — одно из определяющих свойств топологических квантовых теорий поля.

Она также играет важную роль в канонической квантовой гравитации через алгебру скобок Пуассона (11–13) для классических ограничений $\hat {H_a}$ и $\hat {H_⊥}$ , которые можно интерпретировать как алгебру диффеоморфизмов пространства-времени, спроецированных вдоль и ортогонально пространственно-подобным гиперповерхностям.

В подходах к квантовой теории, где квантуются все двенадцать функций $g_{ab}(x)$ и $p^{cd}(x)$ (с канонической алгеброй (14–16)), естественно предположить, что соотношения (11–13) должны быть заменены соответствующей алгеброй коммутаторов квантовых операторов $\hat {H_a}$ и $\hat {H_⊥}$ . Действительно, если классическая алгебра не сохраняется при квантовании, существует серьёзная опасность появления аномальных квантовых возбуждений нефизических мод гравитационного поля.

Конечно, даже само обсуждение этих вопросов требует строгого определения операторов $\hat {H_a}$ и $\hat {H_⊥}$ — задача, являющаяся крайне нетривиальной, не в последнюю очередь потому, что именно здесь, скорее всего, возникают ультрафиолетовые расходимости.

Вообще говоря, возможность адекватного решения этой проблемы появилась лишь недавно благодаря значительным успехам в программе Аштекара. Вопрос об аномалиях, очевидно, будет играть решающую роль в ближайшие годы — особенно в версии супергравитации, где доступна дополнительная структура [45],[49].

Следует также отметить недавнюю работу Джекива [50], в которой показано, что каноническое квантование по Дираку и BRST-квантование могут давать разные результаты относительно возникновения аномалий — это предупреждение для всех, кто занимается канонической квантовой гравитацией.

Как минимум, возникает возможность того, что «настоящей» группой в квантовой теории является некоторая деформация классической группы .

B. Диффеоморфизмы как частичная группа ковариантности

Другая возможность состоит в том, что классическая группа диффеоморфизмов пространства-времени возникает лишь как частичная группа ковариантности. Существуют два очевидных варианта такого рода:

Инъективный: может появляться как подгруппа более широкой группы ковариантности , что можно изобразить точной последовательностью

0 → Diff(M) → G . (20)

Примером служит теория суперструн, которая — по крайней мере в возмущённой области — обладает гораздо более богатой калибровочной структурой, чем одна только .

Проективный: может быть связана с более крупной группой проективным образом: то есть существует нормальная подгруппа , такая что

что изображается последовательностью

0 → K → G → Diff(M) → 0 . (21)

В этом случае связь между полной группой ковариантности и группой аналогична связи между и , то есть подобна связи между фермионами и бозонами.

4.3 Роль чёрных дыр в квантовой гравитации

Со времени открытия Хокингом излучения чёрных дыр центральным вопросом стало точное место, которое чёрные дыры занимают в квантовой теории гравитации. Например, соблазнительно предположить, что на планковских масштабах пространство-время имеет пеноподобную структуру, образованную «виртуальными» чёрными дырами. Конечно, употребление такого языка предполагает, что дифференциальная геометрия по-прежнему применима на этих масштабах — что, как уже обсуждалось выше, может быть спорным. Однако эта идея обладает многими привлекательными чертами и может быть осмысленной в рамках полу-классического приближения. Некоторые недавние работы по рождению пар виртуальных чёрных дыр описаны в докладе Хокинга [51] в этих материалах.

Другой предмет оживлённых дебатов — конечное состояние коллапсирующей чёрной дыры, особенно судьба информации, которая, по-видимому, теряется за горизонтом событий. Существует три основных точки зрения на этот вопрос:

(i) информация действительно теряется, что сигнализирует о фундаментальном нарушении сохранения вероятности (это та позиция, которую предпочитает сам Хокинг);
(ii) информация каким-то образом возвращается в поздних стадиях излучения Хокинга;
(iii) чёрная дыра оставляет после себя долгоживущие остатки размером с планковскую массу.

Эти идеи представляют значительный интерес и важность. Однако я хочу остановиться здесь на другой особенности чёрных дыр — на их возможном влиянии на природу квантовой физики в ограниченной области.

Этот аспект недавно подчёркивался рядом авторов и восходит к старому замечанию Бекенштейна [52]: любая попытка поместить энергию в пространственную область с площадью границы , при условии $E > \sqrt{A}$ , приведёт к образованию чёрной дыры. Это накладывает естественное верхнее ограничение на значение энергии в такой области (этот аргумент красиво изложен в недавней статье Смолина [53]).

Следствием этого является то, что в любой теории квантовой гравитации, полу-классические состояния которой содержат нечто вроде фоновых решений с черными дырами, квантовая физика ограниченной области будет включать лишь гильбертово пространство конечной размерности.

Эта интригующая возможность тесно связана с так называемой «голографической» гипотезой т’Хоофта [54] и Сасскинда [55], согласно которой физические состояния в ограниченной области описываются квантовой теорией поля на поверхности этой области, и соответствующее гильбертово пространство имеет конечную размерность. Эта гипотеза находит отголоски и в недавних идеях топологической квантовой теории поля, особенно в работах Барретта [56], Крейна [57] и Смолина [58], [53], посвящённых роли топологической квантовой теории поля в квантовой космологии.

Подобные идеи могут иметь глубокие последствия для квантовой гравитации. В терминах «башни» на Рисунке 1 это означает, что на одном уровне феноменологической теории идея локальных пространственно-временных областей имеет смысл, и в этих областях квантовая теория гравитации является конечномерной. Однако в предположительно иной «башне» феноменологических приближений, включающей слабополевые возмущённые подходы к квантовой гравитации, эффективная теория использует бесконечномерное гильбертово пространство для описания состояний слабо-возбуждённых гравитонов.

Стоит отметить, что даже в обыкновенной квантовой теории бесконечномерное гильбертово пространство может возникать как приближённое квантование системы, чьё подлинное квантовое пространство состояний конечномерно. Например, рассмотрим классическую систему с компактным фазовым пространством — двумерной сферой . Группа действует транзитивно как группа симплектических преобразований этого фазового пространства, и можно утверждать, что квантование этой системы сводится к поиску неприводимых представлений этой группы — все они, разумеется, конечномерны. С другой стороны, если зафиксировать точку и рассматривать только флуктуации около неё, естественно описывать квантовую теорию посредством квантования системы с классическим фазовым пространством, равным касательному пространству в точке . Однако подходящей группой преобразований будет хорошо известная группа Вейля–Гейзенберга стандартной волновой механики, и её (по существу единственное) неприводимое представление имеет бесконечную размерность.

4.4 Уроки теории струн

На данном этапе уместно сказать несколько слов о том, как природа пространства-времени воспринимается в рамках различных ныне активных подходов к квантовой гравитации.

Евклидова программа в основном работает с классической картиной пространства-времени как дифференцируемого многообразия. Действительно, поскольку формализм, по-видимому, не выходит за пределы собственного полу-классического приближения, используемые категории в точности совпадают с теми, что применяются в стандартной общей теории относительности.

Аналогично, отправной точкой канонической квантовой гравитации является структура фиксированного трёхмерного многообразия, представляющего физическое пространство. Можно утверждать, что использование классических категорий неизбежно в любом подходе к квантовой гравитации, основанном на идее «квантования» некоторой версии классической теории ОТО. Конечно, это совсем другой вопрос — сохраняется ли классическая картина пространства или пространства-времени на всех этапах развития теории. Например, недавние идеи в программе Аштекара о квантовании площади и объёма намекают, что «окончательная» картина пространства может иметь существенно дискретный характер. Однако я не буду здесь подробно останавливаться на этих вопросах, а отсылаю читателя к исчерпывающему обзору Аштекара в настоящем сборнике.

Ситуация в теории суперструн иная. Конечно, основанный на возмущениях («σ-модельный») подход к теории струн тоже подразумевает квантование заданной классической системы, но речь идёт не об общей теории относительности — и, следовательно, роль пространства или пространства-времени здесь явно отличается от той, что в естественной или канонической программах. Однако — и, возможно, ещё важнее — в последнее время произошли крупные успехи в раскрытии непертурбативных аспектов теории, которые могут кардинально изменить наше понимание природы пространства и времени. Мы рассмотрим аспекты возмущения и непертурбативные аспекты по отдельности.

A. Пространство-время и теория возмущений в теории струн

Возмущения в теории струн основаны на σ-модельном подходе, в котором струна рассматривается как отображение из двумерного «мирового листа» в пространство-время («целевое» пространство). Знаменитое действие Полякова для простейшей теории имеет вид

$S = \int_W d^2\sigma \sqrt{f} f^{ab}(\sigma) \partial_a X^\mu(\sigma) \partial_b X^\nu(\sigma) \gamma_{\mu\nu}(X(\sigma))$ (22)

где $f^{ab}$ и $γ_{μν}$ — метрические тензоры на и соответственно. Это действие конформно инвариантно, и для сохранения этой инвариантности при квантовании и необходимо, чтобы:

(i) пространство-время имело определённую критическую размерность (точное значение зависит от того, какие дополнительные поля добавлены к простой бозонной струне, описываемой уравнением (22));

(ii) фоновая метрика пространства-времени удовлетворяла полевым уравнениям

$R_{\mu\nu} + \frac{\alpha'}{2}, R_{\mu\alpha\beta\tau} R^{\alpha\beta\tau}{}_{\nu} + \mathcal{O}(\alpha'^2) = 0$ , (23)

где — константа связи, имеющая порядок $L{^2}{_P}$ . Именно таким образом уравнения Эйнштейна появляются в теории струн.

Наиболее существенное замечание относительно природы пространства-времени состоит в том, что оно по-прежнему представляется гладким многообразием, хотя его размерность может отличаться от четырёх — что требует применения картины Калуцы–Клейна.

Кроме того, крайне важно отметить, что в более реалистичных суперструнных теориях присутствует безмассовое скалярное поле дилатона и безмассовая векторная частица, описываемая трёхкомпонентной напряжённостью поля $H_{μνρ}$ . Их низкоэнергетические полевые уравнения получаются из эффективного действия пространства-времени:

$S_{\mathrm{rm}} = \int d^D X \sqrt{\gamma} e^{-2\phi} \left[ R - 4\gamma^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi + \frac{1}{12} H_{\mu\nu\rho} H^{\mu\nu\rho} + \mathcal{O}(\alpha') \right]$ . (24)

Присутствие этих дополнительных фундаментальных полей сильно влияет на классические решения полевых уравнений; в частности, в последнее время активно изучаются (15) чёрнодырные и космологические решения.

(15) В качестве справочной информации обратитесь к статье Бранденбургера в этом сборнике.

Наличие этих дополнительных базовых полей в теории суперструн, а также центральная роль самой суперсимметрии, резко контрастирует с конкурирующими подходами, в которых квантуется только метрическое поле.

B. Дуальность и целевое многообразие

В действии типа (22) дифференциальная структура и топология фиксированы заранее, и, казалось бы, нет места для отклонения от классического взгляда на пространство-время. Однако в последнее время произошли значительные успехи в изучении непертурбативных аспектов теории струн, и они имеют поразительные последствия для нашего понимания природы пространства и времени на планковских масштабах. Поэтому уместно сказать здесь несколько слов об этом, хотя я и коснусь лишь некоторых из соответствующих идей.

Рассматриваемые достижения основаны на различных типах дуальностей (преобразований симметрии): а именно
(i) T-дуальность;
(ii) S-дуальность;
(iii) зеркальная симметрия.
Кратко остановимся на каждой из них.

I. -дуальность: простейший пример дуальности целевого пространства («-дуальности») возникает, когда целевое пространство является пятимерным многообразием вида . Можно показать, что физические предсказания теории инвариантны относительно замены радиуса пятого измерения на . Следовательно, мы физически не можем отличить очень малый радиус от очень большого — и даже существует точный смысл, в котором они «калибровочно» эквивалентны. Эта инвариантность намекает на существование минимальной длины $R_{min}=\sqrt{2}α′$ , и её можно обобщить на большее число дополнительных измерений и более сложную топологию, чем просто произведение окружностей.

Этот феномен часто приводят в поддержку утверждения, что струны «видят» пространство-время иначе, чем точечные частицы — мысль, особенно подчёркиваемая Горовицем и соавторами в их исследованиях операционального определения сингулярностей пространства-времени в теории струн [59], [60].

II. S-дуальность: эта концепция восходит к старой гипотезе Монтонена и Оливе [61] о том, что электромагнитная дуальность в свободной от источников электродинамике имеет аналог в неабелевых теориях Янга–Миллса: физика в режиме сильной связи описывается слабосвязанной «дуальной» теорией, фундаментальные объекты которой можно отождествить с солитонными возбуждениями исходной теории. Полная реализация этой идеи требует введения суперсимметрии, и лишь относительно недавно появилось убедительное подтверждение того, что такие пары теорий Янга–Миллса (с суперсимметрией) действительно существуют.

Недавно возникло оживлённое обсуждение идеи, что аналогичный феномен может проявляться и в теориях струн. В частности, имеются обоснованные заявления [64], [65], что сильный предел теории суперструн типа II в десяти измерениях эквивалентен теории супергравитации в одиннадцати измерениях — дуальность, естественным образом связанная с появлением протяжённых объектов размерности выше единицы («мембран») [66].

Такие идеи привлекательны по двум причинам:
(i) они открывают реальную возможность изучать высокоэнергетические (физически интересные, но иначе мало доступные) пределы этих теорий;
(ii) они позволяют предположить, что многообразие технически жизнеспособных суперструнных теорий не так обескураживающе велико, как казалось ранее, — важный шаг к укреплению общей достоверности суперструнной программы.

III. Зеркальная симметрия: это ещё один механизм, посредством которого две, казалось бы, совершенно разные теории струн могут оказаться физически эквивалентными. Основные результаты получены в контексте пар многообразий Калаби–Яу, которые можно непрерывно деформировать друг в друга через операцию, включающую конифолдные сингулярности. С физической точки зрения эти сингулярные точки отождествляются с безмассовыми чёрными дырами. В итоге теории струн с разными компактификациями можно рассматривать как части одного гладко связного множества, несмотря на существенные различия в топологической структуре дополнительных измерений.

Все эти результаты убедительно показывают, что классические представления о пространстве и времени неприменимы на планковской длине. Действительно, новые результаты в теории струн прекрасно согласуются с общей идеей, высказанной ранее, что пространство-время — не фундаментальная категория физики, а лишь нечто, применимое в «феноменологическом», грубо-описанном смысле.

На более техническом уровне эти новые идеи намекают, что лагранжевы методы теории поля (в виде действия Полякова (22)) приближаются к границе своей области применимости и должны быть заменены, например, более алгебраическим подходом к построению теории, в котором меньшее внимание уделяется лежащей в основе классической системе полей.

5. Структурные вопросы, касающиеся квантовой теории

5.1 Ключевой вопрос

Центральный вопрос состоит в том, способна ли современная квантовая теория справиться с требованиями квантовой гравитации. Эта проблема имеет несколько аспектов. Один из них — концептуальные трудности квантовой космологии; другой — возможность того, что само пространство-время должно быть «квантовано» каким-то образом — идея, которая, по-видимому, доводит нынешний формализм квантовой теории до предела как технически, так и концептуально.

Часто отмечалось, что инструменталистские наклонности копенгагенской интерпретации неприемлемы в контексте квантовой космологии. Гораздо предпочтительнее был бы формализм, в котором понятие «измерения», трактуемое как операция, внешняя по отношению к самой теории, не играло бы фундаментальной роли.

Разумеется, даже вне космологических соображений уже много лет ведутся серьёзные дискуссии о поиске более «реалистичной» интерпретации квантовой теории. Две такие программы — это подход де Бройля–Бома [69-72] и подход «декогерентных историй» [73] активно исследовались в последние годы именно на предмет их применимости к квантовой космологии.

С технической точки зрения, все основные современные подходы к квантовой гравитации — программа евклидовой квантовой гравитации, схема Аштекара и теория суперструн — используют, в широком смысле, стандартные идеи квантовой теории. В частности, как уже обсуждалось выше, они опираются на по существу классическое представление о пространстве и времени, что, по-видимому, является необходимым условием для применения стандартного квантового формализма.

Это поднимает важнейший вопрос: можно ли адаптировать квантовую теорию так, чтобы она учитывала идею, что само пространство-время (а не только метрический тензор) подвержено квантовым эффектам? Без сомнения, это одна из самых интригующих задач для исследователей в области квантовой гравитации.

5.2 Квантование пространства-времени

Некоторые из возникающих здесь проблем становятся очевидными, если попытаться «квантовать» само пространство-время по аналогии с тем, как квантуют, скажем, гармонический осциллятор или атом водорода. Конечно, такая попытка может оказаться изначально неверной — например, понятие «квантовой топологии» может иметь смысл только в грубо-описанном (coarse-grained) смысле, как часть иерархии, подобной изображённой на Рисунке 1. Тем не менее, полезно подумать о типах проблем, которые возникают при попытке активного квантования пространства-времени — если не ради результата, то хотя бы для того, чтобы увидеть, насколько шатким оказывается само понятие «квантования» заданной классической структуры.

Один из подходов к квантованию пространства-времени — метод «суммы по многообразиям», используемый в евклидовой программе, как в уравнении (19). Другой — рассматривать пространственную топологию как своего рода каноническую переменную [47]. И ещё есть идеи использовать дискретные причинные множества [46], [74] или некоммутативную геометрию [32] и ей подобные конструкции.

Размышляя над этими и другими схемами квантования пространства-времени, можно выделить две главные проблемы:

Во-первых, сложная математическая структура, такая как дифференцируемое многообразие, появляется на вершине иерархической цепочки структур. Необходимо решить, на каком уровне этой цепочки следует вводить квантовые идеи.

Во-вторых, одну и ту же математическую структуру часто можно поместить в несколько различных иерархических цепочек, и тогда нужно выбирать, какую из них использовать.

Две цепочки, ведущие к (M,γ)

Например, если — лоренцева метрика на пространстве-времени , то пара естественным образом вписывается в цепочку:

множество точек пространства-времени → топология → дифференциальная структура → (M,γ) (25)

Здесь самый низкий уровень (т.е. левая часть) — просто множество «голых» точек пространства-времени (мощности континуума), затем на нём вводится топологическая структура, потом — структура дифференцируемого многообразия (возможная лишь для очень специальных топологий), и, наконец, задаётся лоренцева метрика, дающая окончательную пару .

Можно вставить и дополнительные промежуточные звенья: например, переход «дифференциальная структура → » можно разбить как

дифференциальная структура → причинная структура → (M,γ) . (26)

Совершенно иная схема возникает, если воспользоваться тем фактом, что дифференцируемое многообразие однозначно определяется алгебраической структурой своего коммутативного кольца гладких функций . Кольцо — это сложная алгебраическая структура, которую можно разложить в иерархию подструктур разными способами. Таким образом, альтернативная цепочка к (25) выглядит так:

множество → абелева группа → векторное пространство → F(M) → (M,γ) . (27)

5.3 Три режима квантования

Для любой заданной иерархической цепочки, лежащей в основе конкретной классической математической структуры, существует по крайней мере три различных способа, каким можно ввести квантовые идеи [75].

1. Горизонтальное квантование

Под этим я подразумеваю активное квантование одного уровня цепочки при фиксированной структуре всех нижележащих уровней. Таким образом, квантовые флуктуации происходят внутри фиксированной классической категории.

Например, в контексте первой цепочки (25) большинство подходов к квантовой гравитации фиксируют множество точек пространства-времени, его топологию и дифференциальную структуру — квантуется только метрика (что естественно, поскольку в классической ОТО только метрика является динамической переменной).

Примером может служить первый этап (18) евклидовой программы; другой пример — каноническое квантование трёхмерной метрики $g_{ab}(x)$ (с пространством вместо пространства-времени). Более смелой была бы схема, в которой множество M и топология фиксированы, но квантуется дифференциальная структура (16). Или — как в уравнении (19) — квантовые флуктуации могут быть ограничены только теми топологиями, которые допускают структуру дифференцируемого многообразия.

(16) Персиваль [76] недавно применил идеи "диффузии первичных состояний" для квантования дифференциальной структуры пространства-времени.

Таким образом, при использовании первой цепочки (25) естественно говорить о «квантовой геометрии», «квантовой топологии» и т. п. Однако если применить вторую цепочку (27), квантование внутри уровня приводит к рассмотрению, например, алгебраического подхода к общей теории относительности, разработанного Герохом [77] («эйнштейновы алгебры») и их некоммутативных аналогов [78]. Именно идея некоммутативной версии кольца стала одним из мотивов для работ Конна по некоммутативной геометрии [32].

2. Просачивание эффектов (Trickle-down effects)

Этот режим относится к ситуации, предвосхищённой Уилером в его ранних идеях о квантовой топологии, согласно которым крупные квантовые флуктуации в квантованной метрике $g_{ab}(x)$ могут вызывать изменения пространственной топологии. Таким образом, активное квантование на одном уровне «просачивается» вниз, порождая квантовые эффекты на более низких уровнях иерархической цепочки.

Другой пример — гипотеза Пенроуза [79], согласно которой в квантовой гравитации более адекватным является проективное представление структуры пространства-времени. В такой картине точка пространства-времени отождествляется с совокупностью всех нулевых лучей, проходящих через неё. Квантование метрики пространства-времени тогда индуцирует квантовые флуктуации в траекториях нулевых лучей, которые перестают пересекаться в одной точке. Таким образом, квантовые флуктуации на верхнем уровне цепочки (25) «просачиваются» вплоть до самого низа — и само понятие «точки пространства-времени» приобретает квантовые неопределённости.

3. Трансцендентное квантование (Transcendental quantisation)

Время от времени отдельные смельчаки выдвигали предположение, что полная теория квантовой гравитации требует пересмотра основ самой математики. Типичный аргумент таков: обычная математика основана на теории множеств, а некоторые аспекты последней — например, понятие континуума — в конечном счёте уходят корнями в наше классическое восприятие пространства. Однако это восприятие отражает лишь классический мир, и, следовательно, мы внедряем в математические структуры, используемые во всей физике, классические идеи по ошибке.

Эту категориальную ошибку можно исправить, лишь начав думать квантово-механически с самого начала — то есть искать «квантовые аналоги» привычных категорий классической математики.

Как именно это можно реализовать (17), вовсе не очевидно.

(17) Недавние примеры такого типа мышления можно найти в книге Финкельштейна [79] и статье Краузе и Френча [80].

Один из подходов — утверждать, что классическая логика и теория множеств тесно связаны (утверждение определяет (и определяется) классом всех объектов, для которых истинно). Тогда следовало бы начать с формальной структуры квантовой логики и попытаться вывести из неё своего рода «небулеву теорию множеств».

Такое преодоление классических категорий — идея увлекательная, но и крайне радикальная. И, если говорить откровенно, с точки зрения карьеры, вряд ли стоит вступать на этот путь до получения пожизненной должности!

5.4 Сокращение состояния, вызванное общей теорией относительности

Совершенно иной взгляд на адекватность стандартной квантовой теории — идея, что проблема сокращения волнового пакета сама по себе требует введения общей теории относительности [81-83]. Эта позиция часто связана с представлением, что пространство-время — «окончательный классический объект» и, следовательно, не подвержено квантовым флуктуациям (18). Это прямо противоположно взглядам, рассмотренным в предыдущем разделе.

(18) Однако Роджер Пенроуз, один из главных сторонников этой точки зрения, колебался
между идеей о том, что (i) суперпозиции пространственно-временных пространств никогда не возникают; и (ii) суперпозиции могут возникать, но они распадаются за очень короткое время — идея, которая сама по себе сталкивается с проблемой времени (частного общения).

Подход к проблеме сокращения, основанный на ОТО, привлекателен по нескольким причинам:

(i) гравитация — единственное универсальное взаимодействие, которое заведомо присутствует при всех физических процессах;
(ii) гравитационные эффекты возрастают с размером объектов, а именно в макроскопических системах запутанные квантовые состояния особенно проблематичны.

С технической точки зрения, большинство конкретных реализаций такого сценария используют варианты теорий «спонтанного сокращения», подобных тем, что были предложены Гирарди, Римини и Вебером [84], а также Пирлом [85]. Недавним примером является работа Пирла и Сквайреса [86], содержащая также обширную библиографию.

Как и во многих других идеях, обсуждавшихся в этой статье, ключевой вопрос состоит в том, должно ли вызванное гравитацией сокращение вводиться в теорию изначально, или оно может «возникнуть» феноменологически в рамках иерархии, подобной изображённой на Рисунке 1.

6. Куда мы идём?

Хочу подвести итоги предыдущих рассуждений, поразмышляв о том, как может выглядеть будущая теория квантовой гравитации, особенно в том, что касается обращения с базовыми категориями пространства и времени.

A. Желательные свойства новой теории на фундаментальном уровне

На фундаментальном уровне (или, по крайней мере, на том уровне «башни» на Рисунке 1, до которого я готов дойти в своих размышлениях), будущая теория квантовой гравитации может обладать следующими чертами:

Не будет фундаментального использования континуума.
В общем виде это запрещает использование любых множеств, мощность которых превышает счётную. В частности, это исключает континуум точек пространства-времени. Более того, само понятие «точки пространства-времени», вероятно, вообще не должно появляться на фундаментальном уровне.
Интерпретация теории на фундаментальном уровне не должна включать инструменталистских идей, подобных тем, что используются в копенгагенской интерпретации. В частности, нельзя задействовать внешних «наблюдателей» — сознательных или иных.
Квантовые аспекты теории не будут основаны на использовании гильбертовых пространств, даже над конечными полями. Эта идея отражает старый взгляд Бора: волновая функция системы относится не к самому объекту, а лишь к диапазону возможных результатов измерения определённой наблюдаемой величины. В последние годы эта позиция возрождалась рядом авторов — в частности, Ровелли [87], Крейном [57] и Смолиным [58] в контексте разработки реляционного подхода к квантовой теории.
Следствие «нет наблюдателя ⇒ нет гильбертова пространства» логически необязательно, но мне оно кажется весьма привлекательным.

Что должно заменить гильбертово пространство? Сейчас я склоняюсь к алгебраическим структурам, ранее использовавшимся в квантовой логике — в частности, к ортоалгебрам и мануалам [88]. Это хорошо согласуется с интерпретационной схемой, основанной на подходе «согласованных историй» [89],[90].

B. Возникающая (эмержентная) структура на феноменологическом уровне

В логике, представленной на Рисунке 1, перечислю теперь некоторые черты, которые могут возникать из фундаментальной структуры в феноменологическом смысле:

Континуум пространства-времени.
На определённом этапе должны возникнуть привычные идеи непрерывного пространства-времени — возможно, через механизм «алгебры локальных областей», описанный ранее.
Стандартная квантовая теория.
Формализм стандартной квантовой теории также должен возникать в соответствующем пределе. Это включает привычный математический аппарат гильбертовых пространств, но, возможно, дополненный «голографической гипотезой»: гильбертово пространство состояний для физики в ограниченной области пространства-времени конечномерно (при условии, конечно, что понятия «области пространства-времени» и «ограниченности» имеют смысл на данном феноменологическом уровне).

Меня также сильно привлекает идея о том, что редукция волнового пакета связана с общей теорией относительности. Однако, в рамках обсуждаемого здесь типа теории, это, вероятно, имело бы «феноменологический» характер, а не входило бы в число фундаментальных составляющих теории.
Теория квантовой гравитации.
То, что мы сегодня называем «теорией квантовой гравитации», также должно появляться на феноменологическом уровне — после того как возникнут и стандартная квантовая теория, и общая теория относительности. Если исходить из нашего нынешнего понимания, то эта эффективная квантовая гравитация, вероятно, будет включать нелокальную, возможно, струноподобную, структуру.

Последнее замечание поднимает интригующий вопрос: можно ли рассматривать теорию суперструн и подход на основе петлевых переменных в каноническом квантовании как разные режимы (или фазы) одной и той же более фундаментальной структуры?
Эта захватывающая возможность — один из главных мотивов (19) недавней работы Смолина [68], [63], направленной на установление связи между каноническим квантованием и топологической квантовой теорией поля. Центральный вопрос здесь — можно ли придать суперсимметрии значимую роль в программе Аштекара.

(19) Частное общение

C. Ключевые вопросы

Ясно, что при любом построении подобной структуры возникают два ключевых вопроса:

Что именно является фундаментальной структурой теории, а что возникает как «эффективная» структура на феноменологическом уровне?
Насколько радикальными должны быть наши усилия по построению полной теории квантовой гравитации? В частности, нужно ли искать «квантовые аналоги» категорий обычной математики?

Первый вопрос позволяет классифицировать возможные теоретические рамки. Второй — самый фундаментальный из всех: он касается самой сути задачи: найти правильные «строительные блоки» для теории, венчающей «башню» феноменологических приближений. Главная трудность — выбрать среди множества возможностей те, что действительно ведут к физически содержательной теории.

Как показывает нынешняя практика, импульс, набранный такими подходами, как программа Аштекара, теория суперструн и евклидова программа, настолько велик, что каждый из них, вероятно, будет развиваться и в обозримом будущем, продолжая давать новые идеи для более радикального решения проблемы квантовой гравитации.

С другой стороны, возможно, ни одна из нынешних программ не идёт по верному пути, и тогда нам нужно искать подсказки где-то ещё. Чего нам, конечно, не хватает — это чётких эмпирических данных, которые заставили бы нас кардинально изменить подход. Это возвращает нас к вопросу, поставленному в самом начале: можно ли вообще найти экспериментальные тесты, способные разрешить множество неясностей, окутывающих квантовую гравитацию?

Главное препятствие, конечно, — это простой аргумент из размерного анализа: эффекты квантовой гравитации проявляются при энергиях порядка $E_P≈10^{28}$ эВ, что далеко за пределами возможностей реальных экспериментов. Однако существуют и более тонкие возможности:

Непертурбативные эффекты, такие как ультрафиолетовое обрезание в квантовой теории поля, вызванное квантовой гравитацией.
Следует учитывать не только количественные, но и качественные свойства теории — примеры этого обсуждаются в недавней работе Смолина [91].
Теория может дать неожиданные предсказания. Например, Хокинг [51] в этом сборнике обсуждает рождение виртуальных чёрных дыр и их возможную связь с исчезновением угла в КХД.
Физика непосредственно после Большого взрыва может стать важной испытательной площадкой. Например, Хокинг [92] предположил, что анизотропии реликтового излучения берут начало в квантовых флуктуациях около основного состояния Хартла–Хокинга [93]; в то время как Грищук [94] пытается объяснить те же явления через свои исследования сжатых состояний гравитонов.

Таким образом, ситуация с экспериментальной проверкой не безнадёжна. Но мы должны постоянно стремиться улучшать её, чтобы исследования в квантовой гравитации не превратились в современный аналог средневековых споров о том, сколько ангелов может поместиться на кончике иглы. Скатиться в вечные споры без экспериментального подтверждения — серьёзная угроза на этом крайнем рубеже современной теоретической физики!

Благодарности

Я благодарен за полезные обсуждения и переписку с Джимом Хартлом, Гэри Горовицем, Карелом Куча́ром, Ли Смолиным, Келли Стелле, Аркадием Цейтлиным и Стивом Вайнштейном. Особую благодарность выражаю Стиву Вайнштейну за его содержательную критику нескольких предварительных версий настоящей статьи.

Ссылки

1. S.W. Hawking. Particle creation by black holes. Comm. Math. Phys., 43:199–220, 1975.

2. E. Jacobson. Thermodynamics of spacetime: The Einstein equation of state. 1995. gr-qc/9504004.

3. N. Bohr and L. Rosenfeld. Zur frage der messbarkeit der elektromag netischen feldgrossen. Kgl. Danek Vidensk. Selsk. Math.-fys. Medd., 12:8, 1933.

4. L. Rosenfeld. On quantization of fields. Nucl. Phys., 40:353–356, 1963.

5. D.N. Page and C.D. Geilker. Indirect evidence for quantum gravity. Phys. Rev. Lett., 47:979–982, 1981.

6. K. Fredenhagen and R. Haag. Generally covariant quantum field theory and scaling limits. Comm. Math. Phys., 108:91–115, 1987.

7. B.S. DeWitt. Quantum theory of gravity. I. The canonical theory. Phys. Rev., 160:1113–1148, 1967.

8. K. Kuchaˇr. Time and interpretations of quantum gravity. In Proceedings of the 4th Canadian Conference on General Relativity and Relativistic Astrophysics, pages 211–314. World Scientific, Singapore, 1992

9. C.J. Isham. Canonical quantum gravity and the problem of time. In In tegrable Systems, Quantum Groups, and Quantum Field Theories, pages 157–288. Kluwer Academic Publishers, London, 1993.

10. P.A.M. Dirac. The theory of gravitation in Hamiltonian form. Proc. Royal Soc. of London, A246:333–343, 1958.

11. R. Arnowitt, S. Deser, and C.W. Misner. The dynamics of general rel ativity. In L. Witten, editor, Gravitation: An Introduction to Current Research, pages 227–265. Wiley, New York, 1962.

12. C.J. Isham. Conceptual and geometrical problems in quantum grav ity. In H. Mitter and H. Gausterer, editors, Recent Aspects of Quantum Fields, pages 123–230. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

13. K. Kuchaˇr. Canonical quantum gravity. In R.J. Gleiser, C.N. Kozameh, and O.M. Moreschi, editors, General Relativity and Gravitation, 1992, pages 119–150. IOP Publishing, Bristol, 1993.

14. J.A. Wheeler. Geometrodynamics and the issue of the final state. In C. DeWitt and B.S. DeWitt, editors, Relativity, Groups and Topology, pages 316–520. Gordon and Breach, New York and London, 1964.

15. J.A. Wheeler. Superspace and the nature of quantum geometrodynam ics. In C. DeWitt and J.W. Wheeler, editors, Batelle Rencontres: 1967 Lectures in Mathematics and Physics, pages 242–307. Benjamin, New York, 1968.

16. C.W. Misner. Quantum cosmology I. Phys. Rev., 186:1319–1327, 1969.

17. H. Everett. Relative state formulation of quantum mechanics. Rev. Mod. Phys., 29:141–149, 1957.

18. J.A. Wheeler. Assessment of Everett’s “relative state” formulation of quantum theory. Rev. Mod. Phys., 29:463–465, 1957.

19. R. Penrose. Twistor theory. J. Math. Phys., 8:345–366, 1967.

20. R. Feynman. Acta Physical Polonica, XXIV:697, 1963.

21. B.S. DeWitt. Dynamical Theory of Groups and Fields. Wiley, New York, 1965.

22. B.S. DeWitt. Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory. Phys. Rev., 160:1195–1238, 1967.

23. S. Mandlestan. Feynman rules for the gravitational field from the coordinate-independent field theoretic formalism. Phys. Rev., 175:1604 1623, 1968.

24. L. Fadeev and V. Popov. Feynman rules for Yang-Mills theory. Phys. Lett., 25B:27–30, 1967.

25. R.F. Streater and A.S. Wightman. PCT, Spin and Statistics, and All That. Benjamin, New York, 1964.

26. C.J. Isham, R. Penrose, and D.W. Sciama. Quantum Gravity: A Second Oxford Symposium. Clarendon Press, 1981.

27. G.W. Gibbons and M.J. Perry. Black holes and thermal Green functions. Proc. Royal Soc. of London, A358:467–494, 1987.

28. M. Gell-Mann and J. Hartle. Classical equations for quantum systems. Phys. Rev., D47:3345, 1993.

29. J.B. Hartle and S.W. Hawking. Wave function of the universe. Phys. Rev., D28:2960–2975, 1983.

30. C.J. Isham, R. Penrose, and D.W. Sciama. Quantum Gravity: An Oxford Symposium. Clarendon Press, 1975.

31. M.H. Goroff and A. Sagnotti. The ultraviolet behavour of Einstein grav ity. Nucl. Phys., B266:709–736, 1986.

32. A. Connes. Non Commutative Geometry. Academic Press, New York, 1994.

33. A.E.F. Djemai. Introduction to Dubois-Violette’s noncommutative dif ferential geometry. Int. J. Theor. Phys.,

34:801–887, 1995. 34. P. Gibbs. The small-scale structure of space-time: A bibliographical review. 1995. hep-th/9506171.

35. P. van Nieuwenhuizen. Supergravity. Physics Reports, 68:189–398, 1981.

36. E. Prugovecki. Principles of Quantum General Relativity. World Scien tific, Singapore, 1995.

37. L.J. Garay. Quantum gravity and minimum length. Int. Jour. Mod. Phys. A, 10:145–165, 1995.

38. A. Ashtekar. New variables for classical and quantum gravity. Phys. Rev. Lett., 57:2244–2247, 1986.

39. C. Rovelli and L. Smolin. Loop space representation of quantum general relativity. Nucl. Phys., B331:80–152, 1990.

40. S. Carlip. Lectures on (2+1)-dimensional gravity. 1995. Lectures given at the First Seoul Workshop on Gravity and Cosmology, February 1995; gr-qc/9503024.

41. A. Ashtekar and J. Stachel. Conceptual Problems of Quantum Gravity. Birkh¨auser, Boston, 1991.

42. R.H. Brandenberger. Nonsingular cosmology and Planck scale physics. In Proceedings of the International Workshop on Planck Scale Physics, India 1994. World Scientific, Singapore, 1995.

43. T.S. Fradkin and A.A. Tseytlin. Renormalizable asymptotically free quantum theory of gravity. Phys. Lett., 104B:377–381, 1981.

44. A.A. Tseytlin. Black holes and exact solutions in string theory. In Pro ceedings of the International School of Astrophysics; Erice, September 1994. World Scientific, Singapore, 1995. hep-th/9410008.

45. R.D. Sorkin. Posets as lattice topologies. In B. Bertotti, F. de Felice, and A. Pascolini, editors, General Relativity and Gravitation: Proceedings of the GR10 Conference. Volume I, pages 635–637. Consiglio Nazionale Delle Ricerche, Rome, 1983.

46. R.D. Sorkin. Finitary substitute for continuous topology. Int. J. Theor. Phys., 30:923–947, 1991.

47. C.J. Isham. An introduction to general topology and quantum topology. In H.C. Lee, editor, Physics, Geometry and Topology, pages 129–190. Plenum Press, New York, 1990.

48. H-J. Matschull. On loop states in quantum gravity and supergravity. Class. Quan. Grav., 11:2395–2410, 1994.

49. H-J. Matschull. New representation and a vacuum state for canonical quantum gravity. Class. Quan. Grav., 12:651–676, 1995.

50. R. Jackiw. Quantum modifications to the Wheeler-DeWitt equation. 1995. gr-qc/9506037.

51. S.W. Hawking. Virtual black holes. 1995. hep-th/9510029.

52. J.D. Bekenstein. The quantum mass spectrum of a Kerr black hole. Lett. Nuov. Cim., 11:467–470, 1974.

53. L. Smolin. The Bekenstein bound, topological quantum field theory and pluralistic quantum cosmology. 1995. gr-qc/9508064.

54. G. t’Hooft. Dimensional reduction in quantum gravity. 1993. gr qc/9310006.

55. L Susskind. The world as a hologram. J. Math. Phys., 1995. hep th/9409089.

56. J.W. Barrett. Quantum gravity as topological quantum field theory. J. Math. Phys., 1995. to appear; gr-qc/9506070.

57. L. Crane. Clocks and categories: Is quantum gravity algebraic? J. Math. Phys., 1995. to appear; gr-qc/9504038.

58. L. Smolin. Linking topological quantum field theory and nonperturbative quantum gravity. J. Math. Phys., 1995. gr-qc/9505028.

59. G. Horowitz and A. Steif. Spacetime singularities in string theory. Phys. Rev. Lett., 64:260–263, 1990.

60. G. Horowitz and A.A. Tseytlin. Exact solutions and singularities in string theory. Phys. Rev., D30:5204–5224, 1994.

61. C. Montonen and D.I. Olive. Magnetic monopoles as gauge particles? Phys. Lett., B72:117–120, 1977.

62. N. Seiberg and E. Witten. Electric-magnetic duality, monopole conden sation, and confinement in N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory. Nucl. Phys., B426:19–52, 1994.

63. D.I. Olive. Exact electromagnetic duality. In Proceedings of the Trieste Conference on Recent Developments in Statistical Mechanics and Quan tum Field Theory, April 1995, 1995. hep-th/9508089.

64. C.M. Hull and P.K. Townsend. Unity of superstring dualities. Nucl. Phys., B438:109–137, 1995.

65. E. Witten. String theory dynamics in various dimensions. Nucl. Phys., B443:85–126, 1995.

66. M.J. Duff and K.S. Stelle. Multimembrane solutions of D = 11 super gravity. Phys. Lett., B253:113–118, 1991.

67. A. Strominger. Massless black holes and conifolds in string theory. Nucl. Phys., B451:96–108, 1995.

68. B.R. Greene, D.R. Morrison, and A. Strominger. Black hole conden sation and the unification of string vacua. Nucl. Phys., B451:109–120, 1995.

69. E.J. Squires. Quantum theory, relativity, and the Bohm model. Annals of New York Academy of Sciences, 755:451–463, 1995.

70. C. Callender and R. Weingard. The Bohmian model of quantum cos mology. In D. Hull, M. Forbes, and R.M. Burian, editors, PSA 1994: Proceedings of the 1994 Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association; Volume One. Philosophy of Science Association, East Lans ing, Michigan, 1994.

71. A. Blaut and J.K. Glikman. Quantum potential approach to quantum cosmology. 1995. gr-qc/9509040; to appear in Class. Qu. Grav.

72. A. Valentini. On the Pilot-Wave Theory of Classical, Quantum and Sub quantum Physics. Springer-Verlag, Berlin, 1996.

73. J. Hartle. Spacetime quantum mechanics and the quantum mechanics of spacetime. In B. Julia and J. Zinn-Justin, editors, Proceedings on the 1992 Les Houches School, Gravitation and Quantisation, pages 285–480. Elsevier Science, 1995.

74. R.D. Sorkin. Spacetime and causal sets. In J.C. D’Olivo, E. Nahmad Achar, M. Rosenbaum, M.P. Ryan, L.F. Urrutia, and F. Zertuche, edi tors, Relativity and Gravitation: Classical and Quantum, pages 150–173. World Scientific, Singapore, 1991.

75. C.J. Isham. Prima facie questions in quantum gravity. In J. Ehlers and H. Friedrich, editors, Canonical Relativity: Classical and Quantum, pages 1–21. Springer-Verlag, Berlin, 1994.

76. I.C. Percival. Quantum space-time fluctuations and primary state diffu sion. Proc. Royal Soc. of London, 1995. to appear; quant-ph/9508021.

77. R. Geroch. Einstein algebras. Comm. Math. Phys., 25:271–275, 1972.

78. G.N. Parfionov and R.R. Zapatrin. Pointless spaces in general relativity. 1995. gr-qc/9503048.

79. D.R. Finkelstein. Quantum Relativity. Springer-Verlag, Berlin, 1995.

80. D. Krause and S. French. A formal framework for quantum individuality. Synthese, 102:195–214, 1995.

81. F. K´arolyh´azy, A. Frenkel, and B. Luk´acs. On the possible role of gravity in the reduction of the state vector. In R. Penrose and C.J. Isham, edi tors, Quantum Concepts in Space and Time, pages 109–128. Clarendon Press, Oxford, 1986.

82. P. Pearle. Models for reduction. In R. Penrose and C.J. Isham, edi tors, Quantum Concepts in Space and Time, pages 84–108, Oxford, 1986. Clarendon Press.

83. R. Penrose. Gravity and state vector reduction. In R. Penrose and C.J. Isham, editors, Quantum Concepts in Space and Time, pages 129–146. Clarendon Press, Oxford, 1986.

84. G.C. Ghirardi, A. Rimini, and T. Weber. Unified dynamics for micro scopic and macroscopic systems. Phys. Rev., D34:470–491, 1986.

85. P. Pearle. Combining stochastical dynamical state-vector reduction with spontaneous localization. Phys. Rev., A39:2277–2289, 1989.

86. P. Pearle and E. Squires. Gravity, energy conservation and parameter values in collapse models. 1995. quant-ph/9503019.

87. C. Rovelli. Relative quantum theory. 1995. hep-th/9403015.

88. D.J. Foulis, R.J. Greechie, and G.T. R¨uttimann. Filters and supports in orthoalgebras. Int. J. Theor. Phys., 31:789–807, 1992.

89. C.J. Isham, N. Linden, and S. Schreckenberg. The classification of deco herence functionals: an analogue of Gleason’s theorem. J. Math. Phys., 35:6360–6370, 1994.

90. C.J. Isham. Quantum logic and decohering histories. In T. Tchrakian, editor, Theories of Fundamental Interactions. World Scientific Press, Singapore, 1995.

91. L. Smolin. Experimental signatures of quantum gravity. 1995. gr qc/9503027.

92. S.W. Hawking. The Nature of Space and Time. 1993. Lectures given at the Newton Institute, Cambridge.

93. J.J Halliwell and S.W. Hawking. Origin of structure in the universe. Phys. Rev., D31:1777–1791, 1985.

94. L.P. Grischuk. Statistics of the microwave background anisotropies caused by the squeezed cosmological perturbations. 1995. qc/9504045