Задача о жуке на глобусе / forpes.ru

Главная
Задача о жуке на глобусе

Задача о жуке на глобусе

16.05.2026 18:31

drzewo 16 13000 Источник

Эта задача представляет собой несколько более продвинутую модификацию задач, встречающихся на студенческих олимпиадах по механике. Там обычно вместо шара в кардановом подвесе рассматривается диск на стержне. Интересно также, что основные проблемы в этой задаче начинаются не на уровне динамики, а на уровне кинематики.

Однородный шар радиуса закреплен в кардановом подвесе так, что он может свободно вращаться вокруг своего неподвижного центра . Момент инерции шара относительно любой оси, проходящей через точку , равен .

На шаре сидит жук массы . В начальный момент времени система покоится, затем жук начинает ползти по шару так, что его траектория вычерчивает на шаре окружность радиуса $b,\quad b\le R$ . Придя в исходную точку, жук останавливается.

На какой угол повернулся шар к моменту остановки жука, если сила тяжести отсутствует?

Специалисты по теоретической механике, коих немало на Хабре, наверняка найдут короткое и прямое решение этой задачи, приводящее к явному и красивому ответу. Мы же ограничимся лишь следующими тремя наблюдениями.

Во-первых, мы покажем, что шар останавливается в тот самый момент, когда останавливается жук. Во-вторых, докажем, что ответ задачи совершенно не зависит от конкретного закона движения жука по окружности. Наконец, мы выпишем систему дифференциальных уравнений, из которой численно находится матрица поворота шара, которая, собственно, и определяет угол и ось поворота шара.

Обозначим через время от начала движения жука до его остановки.

Свяжем с шаром декартову систему координат так, чтобы жук двигался в плоскости $z'=h,\quad (h^2+b^2=R^2)$ . Тогда радиус-вектор жука выражается формулой

$\boldsymbol r(t)=h\boldsymbol e'_z+b(\cos\alpha\boldsymbol e'_x+\sin\alpha\boldsymbol e'_y).$

Функция $\alpha=\alpha(t)$ по условию монотонно возрастает на отрезке и такова, что

$\alpha(0)=0,\quad\dot\alpha(0)=\dot\alpha(T)=0,\quad \alpha(T)=2\pi.$

Кинетический момент системы относительно точки , очевидно, сохраняется:

$\boldsymbol K_O=J\boldsymbol\omega+m[\boldsymbol r,\boldsymbol v]=0.\qquad (1)$

Здесь $\boldsymbol\omega$ — угловая скорость шара относительно лабораторной системы координат, а $\boldsymbol v$ – скорость жука.

Поскольку радиус-вектор жука естественным образом задан в системе, связанной с шаром, удобно расписать абсолютную скорость жука по теореме о сложении скоростей:

$\boldsymbol v=\boldsymbol v_r+\boldsymbol v_e,$

где

$\boldsymbol v_e=[\boldsymbol\omega, \boldsymbol r]$

— переносная скорость жука, а

$\boldsymbol v_r=b\dot\alpha(-\sin\alpha\boldsymbol e'_x+\cos\alpha\boldsymbol e'_y)$

— его относительная скорость.

Подставляя эти формулы в уравнение (1) и решая получившееся линейное алгебраическое уравнение относительно вектора $\boldsymbol\omega$ , находим:

$\boldsymbol \omega=-\frac{m}{J+mR^2}[\boldsymbol r,\boldsymbol v_r],\qquad(2)$

где

$[\boldsymbol r,\boldsymbol v_r]= \dot\alpha\big(b^2\boldsymbol e'_z-hb\cos\alpha\boldsymbol e'_x-hb\sin\alpha\boldsymbol e'_y\big).\qquad(3)$

Формула (2) отражает важный факт: в тот момент, когда жук останавливается на шаре, шар тоже прекращает вращение.

По формулам (2) и (3) получаем:

$\boldsymbol\omega= \dot\alpha\boldsymbol w(\alpha),$

где

$\boldsymbol w=-\frac{m\big(b^2\boldsymbol e'_z-hb\cos\alpha\boldsymbol e'_x-hb\sin\alpha\boldsymbol e'_y\big)}{J+mR^2}.\qquad (4)$

И тут начинается самое интересное. Введем лабораторную систему координат так, чтобы при она совпадала с системой .

Через обозначим матрицу размера $3 \times 3$ , которая является решением следующей задачи Коши для матричного дифференциального уравнения:

$\dot X=\dot\alpha (t) XW(\alpha),\quad X(0)=I,\qquad(5)$

где

$W=\begin{pmatrix}0 & -w_z & w_y \\w_z & 0 & -w_x \\-w_y & w_x &0\end{pmatrix},$

а — компоненты вектора $\boldsymbol w$ (см. формулу (4)) в системе .

Смысл оператора $X(t):\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ следующий. Предположим, вектор $\boldsymbol u$ жестко связан с шаром. Его координаты в системе не меняются, а в системе изменяются, поскольку этот вектор поворачивается вместе с шаром. То есть наблюдатель, находящийся в системе , видит зависимость координат вектора $\boldsymbol u$ от времени: $\boldsymbol u=\boldsymbol u(t)$ .

В учебниках по теоретической механике доказывается, что

$\boldsymbol u(t)=X(t)\boldsymbol u(0).$

В этой формуле $\boldsymbol u(t)$ и $\boldsymbol u(0)$ --- это столбцы координат вектора $\boldsymbol u$ в системе в соответствующие моменты времени.

Таким образом, — это матрица поворота шара. В этой матрице и содержится ответ на вопрос задачи.

Сделаем замену переменной $t\mapsto \alpha$ в (5):

$\frac{d}{d\alpha} \tilde X= \tilde XW(\alpha),\quad \tilde X(0)=I.\qquad(6)$

Решением этой системы является матрица $\tilde X(\alpha)$ ; соответственно, искомая матрица поворота шара — это $\tilde X(2\pi),\quad \tilde X(2\pi)=X(T)$ .

Важный вывод из этого наблюдения состоит в том, что матрица поворота шара совершенно не зависит от конкретного закона движения жука $\alpha=\alpha(t)$ .

Маловероятно, что систему (6) можно проинтегрировать в замкнутой форме. Этот вопрос требует отдельного исследования. Однако матрицу поворота шара всегда можно найти численно, решив задачу (6) на интервале $\alpha\in[0,2\pi]$ .

Комментарии (16)

gerbert_MX
16.05.2026 18:37
#29980162
Дайте знать как опубликуют простую изящную формулу для решения этой задачи.
1. drzewo Автор
  16.05.2026 18:37
  #29982462
  Ну вот видите, а вы сомневались :)
  1. gerbert_MX
    16.05.2026 18:37
    #29982576
    да я не сомневался, я просто не понимал как можно проще то. не моя сфера деятельности, но было интересно
    
    drzewo Автор
    16.05.2026 18:37
    #29982600
    На самом деле там ниже в коментах чепуха написана, это я просто иронизировал.

kovserg
16.05.2026 18:37
#29981480
А что мешало рассмотреть момент имульса системы, который сохраняется и равен 0.
```
J*ω1 + m*b^2*ω2 = 0
Δφ1 = -m*b^2/J*Δφ2
```
Или через расстояние s, которое проползёт насекомое по шарику:
```
Δφ1 = s*m*b/(J+m*b^2)
```
1. misha_erementchouk
  16.05.2026 18:37
  #29983388
  Момент импульса системы это уравнение (1). Ваше решение получается когда жук ползет по большому кругу (b = R). В этом случае уравнение (6), действительно, элементарно интегрируется и можно волне обойтись без него. В общем случае, Δφ2и Δφ1 - векторы, зависящие от φ2, который тоже вектор.
  1. kovserg
    16.05.2026 18:37
    #29985580
    Так вы рассмотрите закон сохранения момента импульса вдоль оси симметрии Z’ и потом вдоль перпендикулярных осей X’ и Y’.
    
    misha_erementchouk
    16.05.2026 18:37
    #29986068
    Получится уравнение (4) в заметке и предшествующее ему.

jury-churkin
16.05.2026 18:37
#29981562
Рассмотрим чуть более простую задачу. На гладкой горизонтальной поверхности лежит брусок массой и длиной . Трение между поверхностью и бруском отсутствует. На одном из концов бруска сидит жук массой . Жук начинает ползти к другому концу бруска. Насколько сдвинется брусок относительно поверхности, когда жук доползет до другого конца бруска.

Решение такое. Импульс системы брусок+жук всегда равен нулю. Следовательно, скорости жука и бруска (относительно поверхности) всегда обратно пропорциональны массам (и противоположны). И пройденные расстояния соотносятся также. Обозначим . Тогда расстояние на которое сдвинется брусок равно .

Переходим к оригиналу. Массы переводим в момент инерции, скорости — в угловые, расстояние — в угловые смещения. Тогда $k = J/mb^2, l=2\pi$ . Ответ: $\frac {2\pi}{J/mb^2+1}$
1. Moog_Prodigy
  16.05.2026 18:37
  #29982846
  Напомнило
1. misha_erementchouk
  16.05.2026 18:37
  #29983396
  В задаче с бруском центр масс покоится, что делает ее чуть больше, чем "чуть" более простой.
  1. jury-churkin
    16.05.2026 18:37
    #29983944
    А в оригинале какие силы действуют на центр масс? В смысле, что приводит к тому, что он не покоится?
    
    misha_erementchouk
    16.05.2026 18:37
    #29984418
    Сила реакции подвеса. Центр масс сферы, по видимому, фиксирован, а жук перемещается, следовательно, центр масс системы смещается.
    
    jury-churkin
    16.05.2026 18:37
    #29984720
    После ответа на ваш комментарий выше у меня уже сомнения закрались. Если поставить жука на диск, чтоб он там круги наматывал, то выглядит так, что центр масс системы тоже крутиться начнет.
    
    Что-то я, видимо, не учитываю. Подумаю.
    
    Спасибо за комментарии!
    
    jury-churkin
    16.05.2026 18:37
    #29990170
    Сейчас у меня получается следующее. В случае с жуком на диске ответ остаётся тем же. В нем главное отношение моментов жука и диска.
    
    С шаром всё сложнее, но не сильно. Если жук ползёт по экватору, то ось вращения не меняется и этот случай аналогичен движению на диске. Далее слово экватор использовать не буду, буду называть это большим радиусом.
    
    Главное, из любой точки на шаре жук может ползти по большому радиусу в бесконечном количестве направлений. Или другими словами, жук всегда ползёт по какому-то из больших радиусов. И чтобы описать какую-либо траекторию, жук после каждого шажка решает по какому большому радиусу ползти дальше.
    
    Поэтому, момент инерции жука всегда , а пройденный угол при движении по траектории задачи $2\pi b/R$ .
    
    Однако, моя формула будет давать скалярную сумму углов поворота шара относительно всех осей, вокруг которых шар будет вращаться.
    
    Чтоб ответить на вопрос задачи надо ещё подумать.
  1. Moog_Prodigy
    16.05.2026 18:37
    #29986802
    Делов то правильно белочку подвесить на ниточке.

Задача о жуке на глобусе

Комментарии (16)

drzewo Автор

drzewo Автор