Цикл статей в продолжение «Теории всего» и «Призрака Паули»

Предисловие. Зачем трогать Стандартную модель, если она и так работает

Стандартная модель — самая успешная теория, какую когда-либо строило человечество. Она предсказывает поперечные сечения, спектры частиц, распады, взаимодействия с точностью, которая иногда напоминает издевательство: аномальный магнитный момент электрона совпадает с теорией на десять знаков. И всё же, как только пытаешься понять её до конца, упираешься в стену формул вида

и список полей и взаимодействий в виде большого зоопарка без пояснений. Вот это кварки, вот это лептоны, это глюоны, это W/Z-бозоны, это фотон, вот тут Хиггс. Теперь поверьте, что всё это естественно и иначе нельзя.

Мне такого всегда было мало. После того пути, что проделан через «Теорию всего» — от информационной картины через симметрии и струны к голографии — и через «Призрак Паули» — от антисимметрии через грассмановы переменные к калибровкам и BRST — хочется сделать то же самое со Стандартной моделью: разобрать и собрать заново. Не просто выписать лагранжиан, а показать, почему вообще у нас есть три силы , а не четыре или одна. Как именно из этих трёх симметрий рождаются кварки, лептоны, глюоны, W/Z-бозоны и фотон — как представления групп, а не как животные в зоопарке. Почему Хиггс — не просто шайба с потенциалом, а необходимый элемент, чтобы теория была одновременно и с массами, и с калибровочной симметрией.

Где симметрия ломается квантованием — это аномалии — и как она сама себя чинит. И наконец, где у Стандартной модели дыры — те вещи, которых она не объясняет, но аккуратно формулирует: иерархически разные массы, CP-нарушение, тёмная материя, тёмная энергия.

Этот цикл — продолжение предыдущих. Здесь будут частые отсылки к уже введённому языку: состояния, суперпозиция, принцип Паули, призраки, BRST-формализм. Повторять всё слово в слово не будем, но будем использовать те же принципы. Сначала редукция — разбор понятий и их связи. Потом сборка — как из них сделать живую теорию.

Если первая статья была про то, как квантовая информация превращается в гравитацию, а вторая — про то, как антисимметрия чистит пространство состояний, то эта — про то, как симметрии собирают мир.

Глава 1. От Пуанкаре к внутренним группам: как мир стал цветным

Прежде чем говорить , разберём более простой вопрос. Что вообще значит «частица» в современной физике? И как симметрии превращают то, что мы не можем отличить, в квантовые числа?

Напоминание: частица как представление Пуанкаре

Из «Теории всего» уже вынесен важный факт: свободная элементарная частица — это неприводимое представление группы Пуанкаре.

Группа Пуанкаре — это все преобразования вида «повернуть», «перенести» и «перейти в другую инерциальную систему». Если законы природы инвариантны под этими преобразованиями, то состояние частицы должно трансформироваться под некоторым представлением этой группы.

Два инварианта (казимира) алгебры Пуанкаре определяют базовые характеристики частицы. Первый — — даёт массу . Второй — , где — вектор Паули-Любанского, даёт спин или геличность .

Это уже много. Масса — не просто вес объекта, а характеристика представления. Спин — не просто вращение частицы, а свойство, которое описывает, как состояние частицы реагирует при изменении ориентации в пространстве.

Но группа Пуанкаре сама по себе ещё не знает ничего про заряд, цвет, аромат. Ей всё равно, электрон это или мюон, если у них одинаковая масса (в идеализированном пределе) и спин. Значит, есть ещё внутренние симметрии, которые покрывают эти свойства.

Внутренние симметрии: дополнительные ярлыки, не связанные с координатами

Внутренние симметрии — это такие преобразования, которые не мешают нам жить в том же пространстве-времени, не меняют , но поворачивают состояние в дополнительном внутреннем пространстве (в терминах Стандартной Модели), что соответствует разным типам частиц.

Простейший пример — , глобальный сдвиг фазы . Связанный с ней заряд — электрический заряд. Более сложный — , изоспин: двойка или поворот в своём двухмерном комплексном пространстве, не меняя координаты. Ещё сложнее — , цветная симметрия: три компоненты кварка превращаются друг в друга (кварк меняет "цвет" - в терминах сильного взаимодействия, при обмене глюонами, так реализуется конфайнмент).

Если Пуанкаре занимается геометрией пространства-времени, то занимается геометрией внутреннего пространства квантовых чисел.

Именно совместные представления Пуанкаре и внутренних групп определяют, каким будет поле. Скаляр (спин 0) без внутренних индексов — это бозон Хиггса. Спинор (спин 1/2) в фундаментальном представлении — кварк. Спинор без цвета, но с и — лептон. Вектор (спин 1) в присоединённом представлении — глюон.

Почему именно , а не что-то другое?

Вот здесь вступает в игру то, что уже сделано в предыдущих статьях. Квантовая теория поля должна быть одновременно: локальной (микропричинной), перенормируемой, калибровочной в калибровочных силах. Она должна быть без аномалий — ни одна калибровочная симметрия не должна ломаться на квантовом уровне. Она должна вести себя прилично в ультрафиолете — асимптотическая свобода для сильного взаимодействия, не слишком плохие бета-функции для слабого и электромагнитного.

Если взять все возможные комбинации внутренних групп , подключить к ним разные фермионные и бозонные поля и честно пройтись по перенормируемости, структуре представлений, отсутствию аномалий, то здравые варианты резко сокращаются (у них возникают внутренние протичоречия).

Стандартная модель — это тот случай, который отлично согласуется с экспериментом, не уступает по простоте большинству конкурентов в классе перенормируемых четырёхмерных калибровочных теорий поля и естественно появляется в большом числе струнных и гранд-унификационных сценариев как эффективная группа при низких энергиях (т.е. производная от более простых принципов).

В рамках нашей линии это важно. Не будем пытаться вывести из чистой математики — это пока не умеет никто. Но покажем, как уже выученные принципы — калибровочные симметрии из «Теории всего» и «Призраков Паули», супружеская связь «симметрия ↔ заряд», аномальная цензура «аномалия в калибровке = смерть теории» — сильно сужают пространство вариантов. На этом фоне Стандартная модель перестаёт быть зоопарком, который подкинул эксперимент, и становится одним из немногих возможных устойчивых вариантов.

Пуанкаре × внутренние группы в одном кадре

Соберём картинку. Группа Пуанкаре отвечает за классификацию по массе и спину. Внутренние группы отвечают за цвет, слабый изоспин, гиперзаряд.

Поле Стандартной модели — это объект, на котором действует .

Правый электрон имеет спин 1/2 (спинорное представление Пуанкаре), он синглет по цвету (нет индекса ), синглет по слабому и несёт определённый -гиперзаряд. Левый дублет — тоже спины 1/2, тоже без цвета, но дублет по и с другим гиперзарядом.

Глюон — вектор по Пуанкаре (спин 1), в присоединённом представлении , нейтрален по и . W-бозоны — векторы по Пуанкаре, в присоединённом , после Хиггса смешиваются с и дают , , .

Эта матрица «кто как трансформируется» и есть Стандартная модель в виде списка представлений.

Куда мы пойдём дальше в этой статье

Эта глава заложила фундамент. Напомнила, что частица — это представление Пуанкаре. Показала, что внутренние квантовые числа — это представления внутренних групп. Наметила, почему именно — кандидат, который выдержал давление данных и требований теории.

В дальнейших главах будем шаг за шагом окрашивать эту схему. Глава 2 разберёт каждую из групп , , по-человечески: как выглядит матрица, какие у неё представления, что значит фундаментальное, присоединённое — без всего этого -зоопарка, а через смысл. Глава 3 соберёт калибровочный сектор — глюоны, W/Z, фотон как поля-связи. Глава 4 разберёт фермионный сектор — кварки и лептоны как наборы представлений, поговорит про поколения. Глава 5 введёт бозон Хиггса и покажет, как он даёт массы, не разрушая всех симметрий. Главы 6-8 займутся аномалиями, BRST, ренормгруппой — почему Стандартная модель вообще консистентна.

И всё это — в том же тоне, в котором говорилось про Паули и призраков: меньше лозунгов, больше смысла и связи между уровнями.

Глава 2. Что такое SU(3), SU(2), U(1) и почему именно они красят наш мир

В первой главе договорились: частица — это представление Пуанкаре (масса + спин) и внутренних групп симметрий. В Стандартной модели внутренний каркас — это три группы: .

Это выглядит как священная мантра, но если спросить, что это вообще за штуки, часто приходится нырять в океан матриц с детерминантами и комментариями «ну так надо». Сделаем иначе: разберём каждую из этих групп понятийно, увидим их характер и лишь потом сложим обратно.

Немного общей интуиции: что вообще такое группа SU(N) и U(1)

Группа — это просто набор преобразований с операцией композиции: повороты, сдвиги, умножения на матрицу, всё что угодно. Внутренние симметрии — это группы, действующие во внутреннем пространстве состояний, не трогая координаты .

— это сплошной круг фаз: числа вида , где . — это специальные унитарные матрицы: , .

Проще говоря, — это крутилка фазы, — это крутилка в -мерном комплексном пространстве, сохраняющая длину и объём. Важно, что группа не навешана на пространство-время, а живёт поверх Пуанкаре (независимо от координатной сетки): частица сидит в этом внутреннем пространстве, и действия внутри группы меняют её цвет, изоспин или заряд.

U(1) — один круг, один заряд

Начнём с самого простого: .

Что такое U(1)

Множество комплексных чисел с модулем 1: . Операция — умножение: .

В квантовой механике глобальный фазовый множитель ничего не меняет: все вероятности те же. Но если делаем фазу локальной , включаем калибровочный потенциал и получаем электродинамику.

Заряд как вес представления

Представление — это правило, как состояние получает фазу:

Число — заряд, точнее, определённый вес представления. Если есть два поля , с разными , , они по-разному крутятся под .

Интуитивно: — это группа, у которой все представления одномерны, просто фазочка. Заряды — это частота вращения на этом круге.

SU(2) — математика спина и слабого изоспина

— следующая ступень. Мы уже встречались с ней, когда говорили про спин: — накрытие .

Тут важно различать два уровня. Пуанкаре/вращения в пространстве: спин как представление , действующее на пространственно-временные индексы (спиноры Дирака и так далее). Внутреннее — слабый изоспин: дублеты , и им подобные. Здесь — не координаты в пространстве, а двухкомпонентный вектор во внутреннем пространстве аромата.

Устройство SU(2)

Можно представить как множество матриц вида

Два ключевых представления: фундаментальное — двумерное, где вектор превращается в , и присоединённое — трёхмерное, вектор в пространстве генераторов (как обычный трёхмерный вектор в ). Если не понятно, что такое генератор группы, тогда вам нужна первая статья цикла.

Слабый изоспин как дублет

В Стандартной модели левый лептонный дублет первого поколения

трансформируется как фундаментальное представление по : , где .

То есть и — две компоненты одного внутреннего вектора. По смыслу это напоминает спин-1/2, но теперь речь о вкусах под слабым взаимодействием, а не о пространственных поворотах.

SU(3) — цветовая симметрия

Теперь самый яркий персонаж — . Здесь уже внутренняя трёхмерная комплексная структура: цвета кварков.

Фундаментальное представление и цвет

Фундаментальное представление — это тройка:

где индексы , , — это красный, зелёный, синий цвет в терминах квантовой хромодинамики (КХД, QCD).

Калибровочное поле (глюоны) живёт в присоединённом представлении , у которого размерность : отсюда восемь глюонов. Эти глюоны — носители смены цвета: они перемешивают компоненты , , друг с другом, но так, что сохраняется цветовой заряд в целом.

Почему это калибровочная группа, а не просто внутренний флаг

Как только делаем симметрию локальной (параметр зависит от координаты), появляется существенно новый объект — связь с полями Янга-Миллса, и лагранжиан обогащается термом

где — индексы пространства-времени, а — цветовые индексы.

Глюоны — это кванты этого поля. Они взаимодействуют сами с собой из-за нелинейности полевой силы Янга-Миллса, и именно это делает КХД такой жёсткой: конфайнмент, струнки между кварками, отсутствие свободных цветных объектов.

Почему именно этот набор: две SU(N) и одна U(1)

Теперь главный вопрос: почему такой набор групп, а не другой? Могло бы быть , , без декомпозиции — ведь математика допускает.

Отвечаем честно. Во-первых, перенормируемость и асимптотическая свобода. Нам нужны группы и представления, при которых бета-функции не превращают теорию в дикий ультрафиолет. Неабелева в присоединённом представлении с эффективным набором кварков даёт асимптотическую свободу — это прямо наблюдаемый факт: КХД становится слабосвязанной на кратких расстояниях. Для электрослабого сектора важно, чтобы константы связи не улетали слишком быстро — это отдельная песня про ренормгруппу, о ней ещё поговорим.

Во-вторых, аномалии. Внутренняя симметрия, которая ломается квантованием, делает теорию неконсистентной — нарушается сохранение калибровочного тока, ломается BRST. Стандартная модель удивительно свободна от аномалий, если правильно подобрать представления и числа поколений. Чуть поменяешь — и калибровочные аномалии всплывают. Это очень сильный фильтр.

В-третьих, эксперимент. Похоже, что природа в четырёх измерениях выбрала структуру, где есть очень сильное взаимодействие (КХД, ), есть универсальное слабое () и электромагнитное (), а гравитация — отдельно, как геометрия. На уровне полевой теории это как раз реализуется этим тройным набором.

В более высоких измерениях (струнные теории великого объединения) часто рассматривают большие группы вроде , , . Они при компактификации на наш четырёхмерный мир разваливаются на как подсектор — и там Стандартная модель появляется как эффективная теория. Это делает выбор группы СМ не столь мистическим: она выглядит как низкоэнергетическое лицо более богатой симметрии.

Представления и кто кем является в Стандартной модели

Чтоб не говорить абстрактно, посмотрим, как выглядят поля СМ в виде представлений группы (где — гиперзаряд).

Левый кварковый дублет , то есть фундаментальное представление по , фундаментальное по , с гиперзарядом .

Правые кварки: и .

Левый лептонный дублет .

Правый электрон: .

Хиггс-дублет: .

Гиперзаряды выбираются так, чтобы давал привычные электрические заряды (2/3, -1/3, -1 и так далее) и чтобы аномалии (например, , , смешанные ) обнулялись.

Подробно разберём это в отдельной главе про аномалии, но здесь важно: список представлений и гиперзарядов в СМ — не случайное присваивание, а результат требований симметрии и консистентности.

Куда всё это ведёт

В этой главе упаковали несколько страшных символов в понятные образы. Круг фаз — заряд как частота вращения. — двукамерный слабый изоспин, дублеты лептонов и кварков. — трёхмерное цветовое пространство, глюоны как операторы смены цвета.

Увидели, что выбор группы Стандартной модели обусловлен математическими требованиями (перенормируемость, аномалии) и экспериментом (наблюдаемые взаимодействия).

Дальше в следующей главе будем строить калибровочный сектор СМ: как из этих групп получается лагранжиан глюонов, W/Z и фотона, и как работает Хиггс, чтобы дать массу W/Z, но оставить фотон безмассовым. А потом разберём фермионный сектор (кварки, лептоны, поколения) и аналог принципа Паули в многокомпонентной структуре ароматов.

Глава 3. Калибровочный сектор: как из симметрий рождаются глюоны, W/Z и фотон

Уже договорились: внутренние симметрии Стандартной модели — это . Они крутят цвет, слабый изоспин и гиперзаряд. Но пока это были лишь фигуры речи: вектор в , дублет в , фаза на круге. Сейчас время показать главное: как из требования локальной симметрии по этим группам неизбежно появляются калибровочные поля — глюоны, W/Z и фотон — и как выглядит их лагранжиан.

Калибровочный принцип: локальная симметрия → связь → поле силы

В предыдущих статьях уже выведено для простого . Глобальная фаза ничего не меняет. Если потребовать локальной инвариантности , приходится ввести связь и заменить . Коммутатор даёт поле, а — кинетику этого поля.

То, что работает для , переносится на почти без изменений, просто всё становится матричным. Вместо скаляра — матрица , где — генераторы группы. Вместо одного заряда — вектор в пространстве представлений. Ковариантная производная:

где — константа связи (сильной, слабой, гиперзаряда).

Поле силы:

Кинетический терм в лагранжиане — это энергия поля.

Проще говоря: каждый раз, когда говорим «пусть теория инвариантна при локальных поворотах во внутреннем пространстве», обязаны заплатить: ввести новое поле, которое умеет компенсировать эти повороты. Эти поля и есть глюоны, W/Z и фотон.

Сильное взаимодействие: SU(3) и глюоны

Цветовая группа — . Фундаментальное представление — цветной кварк . Калибровочная связь , где — матрицы (например, матрицы Гелл-Манна). Ковариантная производная:

где — константа сильной связи.

Поле силы (тензор Янга-Миллса):

где — структурные константы .

Лагранжиан глюонов:

Интуитивно: каждый глюон — это калибровочное квантовое возмущение связи по одному из восьми направлений в внутреннем пространстве . Нелинейный терм отвечает за самовзаимодействие глюонов — именно оно делает КХД такой жёсткой: глюоны обладают цветовым зарядом, что позволяет им взаимодействовать друг с другом, и это приводит к конфайнменту — невозможности вытащить кварк в виде свободной частицы (он сразу создаст новые частицы на концах связей прямо из вакуума -- такая вот сильная связь, что энергии хватает, по аналогии с сильным напряжением, которое создает электрон-позитронные пары из вакуума). При этом, при увеличении расстояния между кварками, растет энергия взаимодействия (как-бы натягивается пружина).

Это первый пример чистой теории Янга-Миллса: всё рождается из утверждения «кварки имеют цвет и эта симметрия локальная».

Слабое взаимодействие: SU(2) и W-бозоны

Слабое взаимодействие — это . Левый фермионный дублет (например, лептоны)

трансформируется как фундаментальное представление .

Калибровочное поле:

где — матрицы Паули (генераторы ).

Ковариантная производная:

Авторы теории слабого взаимодействия изначально думали про строгий , но на практике видим не три массовых вектора , а два заряженных и один нейтральный , плюс безмассовый фотон. Это результат смешивания с и механизма Хиггса — об этом будет отдельная глава.

Сейчас важно: отвечает за повороты между и (или и ) в левом секторе. Калибровка даёт три слабых векторных поля. Нелинейные термы в дают самовзаимодействие W-бозонов — слабые процессы с W в петлях, WW-рассеяние и так далее.

Гиперзаряд : ещё одна фаза, но с хитрым смыслом

Помимо , есть — гиперзаряд. Его калибровочное поле обычно обозначают .

Ковариантная производная для фермиона с гиперзарядом :

где — константа гиперзаряда.

Важный момент: электрический заряд выражается через комбинацию (третья компонента слабого изоспина) и гиперзаряда :

Позже, когда введём Хиггс и посмотрим на его вакуумное среднее , окажется, что конкретная комбинация и даёт безмассовый фотон и массивный Z-бозон.

Сейчас запомним: — это сырой гиперзаряд, ещё не фотон. Его выбор (с каким находятся разные поля) — тонкая вещь: он отвечает за правильные электрические заряды и за исчезновение аномалий.

Суммарный калибровочный лагранжиан

Если собрать все три группы, чистый калибровочный сектор Стандартной модели (без материи и Хиггса) выглядит так:

где — поле силы (глюоны), — поле силы (слабые W-бозоны), — поле силы (гиперзаряд).

На этом уровне глюоны безмассовы, слабые калибровочные поля безмассовы, гиперзарядный фотон безмассовый.

Это не то, что видит эксперимент: мы видим массивные W и Z, и один безмассовый фотон. Для согласия с природой нужно сломать до диагональной (электромагнитной) и дать массу W/Z, не трогая глюонов и не разрушая калибровочную структуру. Это работа Хиггса — её разберём в отдельной главе.

Где здесь BRST и призраки в реальной Стандартной модели

В статье про Паули уже видели, как призраки и BRST появляются при фиксации калибровки, как они обеспечивают корректный учёт степеней свободы и сохранение унитарности.

В полной Стандартной модели для каждого из трёх калибровочных факторов (глюоны, W/Z, B) есть свой набор призраков Фаддеева-Попова: , , . В -калибровке лагранжиан содержит термы фиксации и призрачные термы — так же, как в чистых Янга-Миллса и КЭД (квантовой электродинамики, QED), только теперь для трёх групп сразу.

BRST-симметрия, одна, объединяющая все секторы, гарантирует, что физические наблюдаемые не зависят от выбора параметров калибровки , а нефизические поляризации (продольные/скалярные) и призраки уходят в BRST-пары и не появляются в S-матрице.

То есть когда говорим «рассеяние W-бозонов», «приведение к унитарной калибровке», «диаграммы с призраками» — это всё техническая оболочка вокруг того же принципа чистоты, который начинался с антисимметрии Паули и продолжился BRST.

Как калибровки держат структуру взаимодействий

Важно понимать: калибровочная симметрия не только рождает поля, но и жёстко ограничивает допустимые взаимодействия между ними.

Форма кинетических термов и ковариантных производных строго фиксирована требованиями калибровочной инвариантности. Структура трёх- и четырёхвершин глюонов, как они взаимодействуют между собой, — жёсткое следствие . Допустимые взаимодействия между фермионами и калибровочными полями — это то, что входит в : там нет произвольных куплингов, только те, что согласованы с представлениями поля и группой.

В результате огромная часть лагранжиана Стандартной модели фиксируется только требованием симметрии и квантового формализма. Свобода в основном остаётся в численных значениях: константы связей , , ; юкавские матрицы (массы ароматов); параметры потенциала Хиггса.

Именно поэтому важно пройти путь от симметрий к полям: чтобы увидеть, где модель неизбежна, а где есть вопросы к будущей теории всего.

Куда дальше

Эта глава дала понятный рецепт, как локальные симметрии создают глюоны, W/Z и гиперфотон , лагранжиан чистого калибровочного сектора, интуицию того, что W/Z/γ — результат смешивания и Хиггса.

В следующих главах разложим кварки и лептоны по представлениям , поговорим о поколениях, принципе Паули и том, как статистика и симметрии формируют плотную структуру Стандартной модели. Затем аккуратно введём поле Хиггса, его потенциал, вакуумное среднее, разложим , на , , покажем, как массы W/Z/фермионов рождаются так, что калибровка остаётся корректной и BRST не ломается. После перейдём к аномалиям и перенормировке, чтобы показать, почему СМ — не просто «так получилось», а «так дописано, чтобы не развалиться».

Глава 4. Фермионный сектор: как кварки и лептоны вписываются в симметрии

В калибровочном секторе всё было почти геометрией: группы , , , связи, тензоры поля — аккуратная математика симметрий. Но физика — это не только поля-силы, а ещё и те, кто по этим полям бегает: кварки и лептоны.

В этой главе разложим фермионы Стандартной модели по представлениям , покажем, как на них сидит принцип Паули, увидим, как фермионный лагранжиан целиком фиксируется симметриями, и наметим, где остаются большие вопросы — массы, поколения, смешивания.

Кварки и лептоны: зоопарк или таблица представлений?

Стандартная модель описывает кварки: , , , , , — шесть ароматов, каждый в трёх цветах. И лептоны: , , и соответствующие нейтрино , , .

Всё это ещё разбито по поколениям: первое , второе , третье . На вид — чистый зоопарк. Но если смотреть глазами симметрий, это довольно строгая структура. Кварки несут цвет (), левые компоненты несут слабый изоспин (), у всех есть гиперзаряд (), и все они фермионы — спин 1/2, антисимметрия, Паули.

Левые и правые: зачем теории хиральность

Первое, что нужно принять: в Стандартной модели левое и правое не равны.

Левые фермионы входят в дублеты по . Лептоны: , , . Кварки: , , .

Правые фермионы — синглеты по : , , ; , , ; , , .

То есть слабое взаимодействие видит только левую часть. Правая часть слепа к . Это экспериментальный факт — нарушение чётности в слабых распадах — и одновременно глубоко встроенная асимметрия Стандартной модели.

Как фермионы преобразуются под

Уже подготовлен язык представлений. Теперь запишем фермионы как строки в таблице.

Первый лептонный набор

Левый дублет:

Тут по (нет цвета), по (дублет слабого изоспина), — гиперзаряд.

Правый электрон:

В конкретной нормировке Стандартной модели гиперзаряды выбирают так, чтобы

давал привычные заряды: , . Отсюда , .

Первый кварковый набор

Левый дублет:

Здесь — цвет (красный, зелёный, синий), — слабый дублет, — гиперзаряд, выбираемый так, чтобы получились заряды 2/3 и -1/3.

Правые кварки:

И в Стандартной модели: , , .

Эти странные дроби выглядят как магия до тех пор, пока не разберёшь, что они согласованы с формулой и жёстко фиксированы требованиями отмены аномалий — об этом позже.

Аналогичная структура повторяется для второго и третьего поколения, с теми же квантовыми числами, но другим ароматом.

Фермионный лагранжиан: как симметрии фиксируют взаимодействия

Обозначим все фермионные поля (по поколениям) через . Ковариантная производная для любого зависит от того, как оно трансформируется под группой:

Тогда кинетический фермионный лагранжиан:

Важный момент: никаких произвольных объединений здесь нет. Структура полностью фиксируется симметрией — представлениями , , .

То есть: как только выбрали, кто в каком представлении группы живёт, все калибровочные взаимодействия фиксированы. Свобода остаётся только в численных значениях констант , , .

Паули и фермионный газ в Стандартной модели

Каждый фермион — спин-1/2. Значит, всё, что разобрано про принцип Паули, напрямую относится к кваркам и лептонам. Их поля антикоммутирующие. Их спектр Фока устроен так, что каждый квантовый режим (набор , спин, цвет, аромат, , ) может быть занят 0 или 1 раз.

В кварковой материи и в электронном газе это выливается в вырождение Ферми. Электроны в металле заполняют все состояния до уровня Ферми. Нейтронный газ в звёздах поддерживает давление вырождения. Ничего из этого не нужно вводить отдельно: это просто применение антисимметрии и грассмановой структуры.

В Стандартной модели это проявляется везде: в статистике фермионов на коллайдерах, в термодинамике плазмы, в стабильности обычной материи. Не уделяем этому много места в обзорах СМ, потому что это «старый кусок квантовой механики». Но с точки зрения нашего цикла важно видеть: фермионный сектор — это огромная «машина Паули», запущенная на группах Стандартной модели.

Три поколения: структура ароматов

Стандартная модель имеет три поколения фермионов. С точки зрения симметрий все три поколения имеют одинаковые представления . Различия — только в массовых параметрах и смешиваниях (CKM/PMNS).

Это значимая недосказанность Стандартной модели. Почему три, а не два или четыре — экспериментально установлено, но не теоретически объяснено. Почему юкавские матрицы именно такие — масса огромная, маленькая, нейтрино почти безмассовые — вопрос для следующей ступени теории.

В нашем каркасе видим это так: симметрии задают форму фермионного сектора, но численные значения юкавских констант и число поколений остаются входными параметрами Стандартной модели.

В дальнейшем, в разделе про аномалии и ароматы, покажем, что не всё там произвольно: сочетание аномалий и феноменологии жёстко фильтрует допустимые варианты. Но полностью вывести три поколения пока не умеет ни одна теория.

Маленький мостик вперёд: масса, Хиггс и Юкава

Пока фермионы безмассовы:

Как только захотим ввести массу , нужно соединить левый и правый компонент, которые трансформируются по-разному под , и не разрушить калибровочную симметрию.

Это выглядит как невозможная задача, пока не вводим дублет Хиггса , который сам живёт в . Тогда юкавские термы вида

могут быть калибровочно-инвариантны. Когда Хиггс берёт вакуумное среднее , эти юкавские связи превращаются в реальные массы.

То есть уже видно: фермионы не могут получить массу из ниоткуда; им нужна структура (Хиггс + Юкава), согласованная с симметриями. Этот момент — мост от чистой симметрии к реальной физике масс. Ему посвятим следующую главу целиком.

Что унести из этой главы

В концентрате: фермионы Стандартной модели — это спин-1/2 поля, живущие в представлениях . Левый и правый компоненты трансформируются по-разному, что важно для слабого взаимодействия и масс. Их калибровочные взаимодействия полностью фиксируются симметриями — лагранжиан сам зашивает все зарядно-силовые связи. Принцип Паули и грассманова природа этих полей — не отдельный постулат, а структурное следствие прошлого материала. Числа поколений и значения масс/смешиваний — всё ещё открытая территория, но теперь уже на фоне чётко определённой структуры, а не в пустоте.

В следующей главе займёмся Хиггсом: не просто знакомым бозоном массой 125 ГэВ, а понятием спонтанного нарушения симметрии. Покажем, как из получается , как W и Z получают массы, фотон остаётся безмассовым, фермионы приобретают массу через юкавские связи, и как всё это связано с тем же BRST и призрачной гигиеной, чтобы теория не рухнула под весом своей калибровочной избыточности.

Глава 5. Хиггс: как дать массу и не порвать симметрию

Уже собрали калибровочный скелет: три группы , соответствующие им поля-связи — глюоны , слабые , гиперзарядный , и фермионы — кварки и лептоны в своих представлениях.

На этом этапе у нас красивая, симметричная, но неправильная теория. Все калибровочные поля безмассовы. Все фермионы тоже безмассовы — массовый терм ломает калибровку. А природа тычет в лицо W, Z, электрон, u, d, c, s, b, t с конкретными массами.

Нужно решить задачу: как дать массы W/Z и фермионам, сохранив при этом калибровочную структуру и хорошее ультрафиолетовое поведение теории?

Наивный ответ — давайте просто добавим в лагранжиан термы Проки и — не подходит. Для векторов явные ломают калибровочную инвариантность, а вместе с ней перенормируемость и аккуратную структуру поляризаций. Для фермионов не инвариантно под , если левые и правые компоненты трансформируются по-разному — а в Стандартной модели именно так.

Решение оказалось неожиданно изящным: спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса. Разберём это постепенно: сначала на игрушечном примере, затем на реальной электрослабой группе.

Глобальная U(1) и мексиканская шляпа: от симметрии к голдстоуну

Начнём с самой простой ситуации: глобальная -симметрия и комплексный скаляр .

Лагранжиан:

Два случая. Если , минимум потенциала в — классическая сфера без шляпы. Если , минимум не в нуле, а по кольцу: . Это и есть знаменитая мексиканская шляпа.

Второй случай интересен. Симметрия потенциала — вращения — остаётся, но минимум выбирает конкретную точку на кольце. Это и называется спонтанным нарушением симметрии: законы симметричны, но выбранное состояние (вакуум) — нет.

Разложим вокруг точки на кольце:

Подставляем в лагранжиан и смотрим. Поле получает массу — это радиальное колебание, хиггсоподобное. Поле остаётся безмассовым — это фазовое колебание вдоль кольца, голдстоуновский бозон.

Голдстоуновская теорема говорит: у всякой непрерывной глобальной симметрии, которую вакуум спонтанно ломает, должен появляться безмассовый бозон.

Это пока не про W/Z, а про идеологию: можно иметь массу для одной комбинации полей, не ломая симметричный вид уравнений — если неявно сломать сам вакуум.

Локальная U(1): механизм Хиггса в игрушечной электродинамике

Теперь сделаем симметрию локальной: , вводим калибровочное поле , , действуем:

Потенциал всё тот же мексиканский. Когда , получает вакуумное среднее . Разложим, как прежде:

Теперь магия: калибровочная свобода позволяет нам удалить . Делаем локальное преобразование . Фаза исчезает из , а её градиент переезжает в , давая ему массу.

В результате калибровочное поле становится массивным: в лагранжиане появляется . Голдстоуновский бозон исчезает из спектра — он съеден поляризациями : вместо двух поперечных поляризаций безмассового вектора получаем три (добавляется продольная) для массивного. Остаётся одно скалярное поле — это поле Хиггса.

Это и есть механизм Хиггса в абелевой теории: спонтанно нарушаем локальную симметрию, голдстоуновский бозон становится продольной поляризацией калибровочного поля, вектор получает массу, остаётся один физический скаляр.

Хорошие новости: симметрия лагранжиана в смысле BRST/калибровки по-прежнему есть, уравнения имеют приличное ультрафиолетовое поведение, теория остаётся перенормируемой. Плохие — пока это игрушка. В реальности нам нужно сделать это для , чтобы из трёх слабых и получить , и .

Хиггс в электрослабой теории: дублет, который всё меняет

В Стандартной модели Хиггс — это комплексный дублет по , с гиперзарядом :

Выбирают , чтобы обеспечить правильные заряды. Потенциал:

Опять два случая. Если , минимум при , симметрия не нарушена, калибровочные поля безмассовы. Если , минимум на сфере . Выбираем северный полюс:

Это и есть спонтанное нарушение .

Разложим Хиггс вокруг этого вакуума:

после подходящего выбора калибровки — так называемая унитарная калибровка, где голдстоуновские бозоны уже съедены W/Z. Здесь — реальное скалярное поле, будущий физический Хиггс.

Массыи, фотон и смешивание и

До Хиггса кинетический терм для Хиггса и калибровок:

Подставляем . Терм с одним и двумя калибровочными полями даёт матрицу масс для них. После нехитрой алгебры получаем заряженные комбинации:

Нейтральные комбинации — смесь и . Определяем:

где угол Вайнберга .

Массы:

То есть и получают массы, фотон остаётся безмассовым, электрический заряд выражается через , , :

Мы достигли цели: спонтанно нарушив вакуумом Хиггса, сохранили одну несломленную , оставили фотон безмассовым, а слабые векторы сделали массивными, не разрушив калибровочную структуру и перенормируемость.

Массы фермионов: юкавские связи как мост между левыми и правыми

Возвращаемся к фермионному лагранжиану. Калибровочно-инвариантный голый терм:

Массовый терм вида сам по себе не инвариантен под , потому что и трансформируются по-разному. Нужен объект, который соединяет левое и правое, сам будучи в нужном представлении — это и есть Хиггс.

Для одного поколения лептонов юкавский лагранжиан:

Проверка: — дублет по , — дублет по , их тензорное произведение содержит синглет. Гиперзаряды подобраны так, что сумма — значит, терм инвариантен под . Под всё тривиально — лептоны бесцветные.

Когда берёт вакуумное среднее , юкавская связь превращается в:

Аналогично для кварков:

где . После вакуумного среднего:

Вывод: фермионные массы в Стандартной модели — это не отдельные параметры, а юкавские константы, умноженные на одно и то же . Сам факт наличия массы согласован с симметриями только благодаря Хиггсу.

BRST и Хиггс: почему не рушится калибровочная гигиена

Важно понимать: механизм Хиггса не ломает калибровку; он ломает симметрию вакуума, не лагранжиана. BRST-симметрия по-прежнему существует.

Поля W/Z получают массы — но их продольные моды приходят из съеденных голдстоуновских полей. В лагранжиане фиксации калибровки по-прежнему есть призраки слабых и гиперзарядных полей. BRST-заряд строится уже с учётом Хиггса, но всё та же нильпотентная структура () обеспечивает выкидывание нефизических пар.

То есть на уровне физики говорим «симметрия сломана», на уровне формализма (BRST, призраки) — наоборот, всё устроено так, чтобы учёт симметрии был до конца честным, просто она реализуется спонтанно.

Это тонкое, но критически важное различие, особенно для перенормируемости и гравитации.

Что Хиггс объясняет — и чего он не объясняет

Здесь нужно быть честными.

Механизм Хиггса объясняет, почему можно иметь массивные W/Z, не разваливая калибровочную структуру и добросовестную BRST-инвариантность. Почему фотон остаётся безмассовым. Как массу фермионов можно вписать в калибровочную теорию. И почему все массы примерно одного порядка (с поправкой на Юкаву).

Но Хиггс не объясняет, почему юкавские константы именно такие — почему ГэВ, а МэВ. Почему три поколения, а не другое число. Почему сам параметр и имеют такие значения — проблема иерархии. Почему потенциал Хиггса такой, а не иной.

Это те вопросы, где Стандартная модель заканчивается и начинается территория надстроек — теорий великого объединения, суперсимметрии, струн, флейворных симметрий. В рамках нашего цикла позже к ним вернёмся, но сейчас фиксируем: Хиггс решает проблему формы, но не проблемы чисел.

Куда дальше

В этой главе увидели на игрушке идеологию спонтанного нарушения. Перенесли её в реальный : дублет Хиггса, вакуумное среднее, W/Z массивные, фотон безмассовый. Увидели, как фермионы получают массу через Юкаву, не ломая калибровку. Отметили, что BRST и призраки продолжают выполнять свою работу за кадром.

Дальше по плану — аномалии и перенормировка. В следующей главе поговорим про аномалии: когда симметрия, казалось бы, есть в классическом лагранжиане, но исчезает при квантовании — и почему это для калибровок смертельно. Затем — про ренормгруппу: как константы связей Стандартной модели бегут с энергией, как близко они подходят к унификации, и почему это всё подталкивает к идее, что над СМ есть что-то ещё.

Стиль тот же: от понятия к формуле к физическим следствиям к связи с нашим большим каркасом — информация, симметрии, гравитация.

Глава 6. Аномалии: когда симметрия ломается квантованием — и почему Стандартной модели это нельзя

До сих пор симметрии вели себя идеально: объявили , написали калибровочные поля, ввели фермионы и Хиггс, и все эти преобразования выглядели безупречно на уровне лагранжиана. Но квантовая теория поля умеет подбрасывать сюрпризы: симметрия классического действия не обязана пережить переход к квантованию.

Этот эффект называют аномалией. Иногда аномалия — просто любопытная особенность, например, аномальный распад . Но если аномалия заедает калибровочную симметрию — всё, теория рушится: нарушается сохранение тока, BRST отказывается быть нильпотентным, пропадает унитарность.

Стандартная модель замечательна тем, что все опасные аномалии в ней таинственным образом сокращаются — причём это не чудо, а очень жёсткое условие на набор фермионов и их зарядов. Разберёмся, что это значит.

Что такое аномалия в двух словах

Есть два уровня симметрии. Классический: смотрим на лагранжиан , видим инвариантность ; по Нётер — сохранённый ток , . Квантовый: считаем функциональный интеграл , диаграммы Фейнмана, петли — и вдруг обнаруживаем, что консервация тока в среднем ломается:

Это и есть аномалия: симметрия, которая есть в классической формулировке, но нарушается квантовыми поправками, обычно из-за поведения интегралов в ультрафиолете.

Классический, очень важный пример — аксиальная аномалия в КЭД/КХД: классический ток аксиальной симметрии казался сохранённым, но треугольная диаграмма с двумя фотонами даёт

и это реальный физический эффект: .

Такой аномалии можно не бояться, если она касается глобальной симметрии: просто говорим «квантовая теория её ломает». Но для калибровочных симметрий — это яд.

Почему калибровочные аномалии недопустимы

Калибровочная симметрия — это не просто красивый набор преобразований. Она обеспечивает сохранение заряда через тождества Уорда/Славнова-Тейлора, делает уравнения перенормируемыми, обеспечивает унитарность — правильную структуру поляризаций, отсутствие лишних степеней свободы через BRST.

Если калибровочный ток получает аномалию:

то сразу несколько бед. Нарушается инвариантность действия под калибровочными преобразованиями — калибровка больше не симметрия. BRST-заряд перестаёт быть нильпотентным () — теряется чёткое разделение физических и нефизических состояний. S-матрица становится калибровочно-зависимой и, как правило, неунитарной.

Грубо говоря, если векторное калибровочное уравнение перенормировки подтянуло никакой аномалии, теория просто саморазрушается.

Отсюда жёсткое требование: все чисто калибровочные аномалии и смешанные (калибровка-гравитация) аномалии должны точно сокращаться.

Виды аномалий, которые нужно проверять в Стандартной модели

В четырёхмерии основная угроза — треугольные диаграммы: одна вершина — ток исследуемой симметрии, две другие — калибровочные поля. Для набора калибровок возможны следующие комбинации.

— кубическая аномалия гиперзаряда. — две слабые и одна гиперзарядная вершины. — две цветовые и одна гиперзарядная. Смешанные гравитационные: — две гравитационные вершины, одна гиперзарядная. Виттеновская аномалия для : возможна глобальная аномалия, если число слабых дублетов нечётно.

Каждая аномалия — сумма вкладов от всех фермионов. Символически:

где — генераторы соответствующих симметрий (групп Ли) в представлении данного фермиона, включая .

Для безаномальной теории все эти суммы должны точно равняться нулю.

Магия дробных зарядов: аномалии как уравнения на гиперзаряды

Теперь появляется красота: та самая таинственная система дробных гиперзарядов в Стандартной модели — это не что придумал Бог, а решение системы диофантовых уравнений на отмену аномалий.

Пример: рассмотрим один поколенческий набор фермионов СМ. Лептоны: и . Кварки: , и .

Векторные гиперзаряды должны удовлетворять целой системе уравнений. : сумма по всем цветным левым и правым фермионам с соответствующими множителями должна быть нулём. : сумма по всем слабым дублетам равна нулю. : сумма по всем фермионам равна нулю. : сумма по всем фермионам равна нулю. Виттеновская аномалия для : число слабых дублетов должно быть чётным с учётом цвета.

Это целая система уравнений. При рутинной проверке оказывается, что набор

её удовлетворяет. А подавляющее большинство красивых наборов — нет.

И это не утренняя медитация теоретика, это конкретные суммы по представлениям. Смещаешь хоть один гиперзаряд — и какая-нибудь из аномалий перестаёт сокращаться.

Отсюда важный вывод: Стандартная модель — не просто произвольный списочек представлений. Её дробные гиперзаряды — решения уравнений на обнуление аномалий.

Виттеновская аномалия и чётное число дублетов

Есть ещё одна, менее видимая, но критичная проверка — так называемая аномалия Виттена для . Она не треугольная, а глобальная: задаётся топологией группы, и её можно сформулировать так: теория с нечётным числом левых дублетов аномальна.

В Стандартной модели на поколение: кварковых -дублетов три — по одному на каждый цвет, лептонный — один. Итого четыре дублета на поколение. Умножаем на три поколения — всё равно чётно (двенадцать). Виттеновская аномалия не возникает. Если бы число дублетов было нечётным — теория была бы неконсистентна вне ультрафиолета.

Это ещё одна магия Стандартной модели: число поколений и структуру дублетов нельзя менять произвольно. Даже если не требовать специальных вкусных GUT-сценариев, просто соблюдение глобальных и локальных аномалий уже ставит рамки.

BRST и аномалии: формула «нильпотентность ломается ⇒ Q² ≠ 0»

В BRST-языке аномалия говорит следующее. В безаномальной теории полная BRST-симметрия сохранена даже на квантовом уровне: оператор остаётся нильпотентным (), его кохомология задаёт физическое пространство состояний. Аномалия в калибровочной симметрии проявляется как дефект в консервации BRST-тока: . Это приводит к тому, что на квантовом уровне.

Проще говоря: если аномалия есть, то нельзя аккуратно разделить состояние на физическое и нефизическое BRST-проектором. Нефизические моды начинают протекать в физический сектор, и теория теряет унитарность (начинает зависеть от скрытых переменных).

Поэтому смотри, как красиво. Принцип Паули убирал из пространства состояний то, чего там не должно быть — два фермиона в одном состоянии. Призраки и BRST убирали лишнее, связанное с калибровочной избыточностью. Аномалии — это места, где BRST начинает течь; они делают невозможной стандартную гигиену, и поэтому их нужно обнулять.

Стандартная модель — одна из тех редких теорий, где всё это чудесным образом сходится: в ней можно построить или восстановить корректный BRST, потому что все аномалии калибровки убираются в ноль.

Где аномалии — друг, а где — враг

Важно не демонизировать слово «аномалия». Она бывает другом, когда речь идёт о глобальной симметрии. Аксиально аномальный ток в КХД объясняет распад . -аномалия помогает понять, почему такая тяжёлая. Аномалии несут топологическую информацию о вакууме, барионных и лептонных числах.

Но она бывает врагом, когда затрагивает калибровочную симметрию. Ломает сохранение заряда. Нарушает BRST. Делает теорию нефизической - оторванной от реальности.

В Стандартной модели как раз запрещены только те аномалии, которые обязаны быть нулевыми — калибровочные. Остальные допустимы и даже полезны.

Что унести из этой главы

Кратко: аномалия — это несовпадение классической и квантовой симметрий. Для глобальных симметрий это может быть просто особенность или интересный эффект. Для калибровочных симметрий аномалия убивает теорию. Её отсутствие — жёсткое требование к Стандартной модели. Дробные гиперзаряды и структура представлений СМ не случайны; они — решения уравнений на отмену аномалий. BRST — чувствительный детектор аномалий: если , мы не можем корректно построить физическое пространство состояний.

С точки зрения нашего общего каркаса — квантовая информация, симметрии, поля, гравитация — аномалии ещё один уровень структурной цензуры: не все красиво записанные симметрии выдерживают проверку суммой по петлям и требованием унитарности.

В следующей главе логично перейти к ренормгруппе: как калибровочные константы Стандартной модели бегут с энергией, почему КХД становится слабой на малых расстояниях, а электрослабая — наоборот, и почему это заставляет думать, что над Стандартной моделью существует ещё более высокий уровень — теории великого объединения, струны, что-то ещё. То есть как аномалии, BRST и бегущие константы вместе подталкивают к идее, что СМ — эффективная теория, а не конечный ответ.

Глава 7. Бегущие константы: как Стандартная модель рассыпается по шкале энергии

До сих пор описывали Стандартную модель как статичную конструкцию. Вот три группы . Вот калибровочные поля , , . Вот фермионы и Хиггс, вот их представления и заряды. Вот юкавские константы, дающие массы.

Но квантовая теория поля напоминает: числа в лагранжиане зависят от того, при каком энергетическом масштабе вы смотрите. Константы связи плывут с изменением — это и есть ренормгруппа.

С точки зрения физики это означает: Стандартная модель на 100 МэВ и та же СМ на 10 ТэВ — это чуть разные теории, связанные плавной деформацией параметров (из-за того, что Стандартная Модель - эффективная теория поля).

И главное — форма этой деформации говорит очень много. Почему КХД становится слабой на малых расстояниях. Почему электрослабые взаимодействия, наоборот, подбирают вес. И почему, внимательно всматриваясь в формы бета-функций, мы почти видим намёк на унификацию при высоких энергиях — как будто за Стандартной моделью стоит ещё одна, большая симметрия.

Ренормгруппа как масштабный навигатор

В любой квантовой теории поля, когда заворачиваете диаграммы Фейнмана с петлями, возникает вопрос: что делать с ультрафиолетовыми бесконечностями? Стандартный ответ — ренормировка. Вводите некие сырые (bare) параметры , , . Определяете измеряемые величины , , при некотором масштабе — условии нормировки. И всё, что можно измерить, выражается через эти эффективные параметры, зависящие от .

В итоге получается набор уравнений:

Это бета-функции и аномальные размерности.

Интуитивно: ренормгруппа — это способ спросить: «Если я смотрю на мир через микроскоп с другим увеличением, как нужно перенастроить ручки теории, чтобы описывать те же наблюдаемые?» Изменение масштаба энергии — это смена точки зрения; бета-функции говорят, насколько ткани теории чувствительны к этой смене.

Три калибровочные константы: , ,

В Стандартной модели есть три калибровочные константы. — сила цвета (КХД, ). — слабая связь (). — связь гиперзаряда ().

Удобнее говорить о безразмерных альфах:

Они зависят от . Приближённо, на одном петлевом уровне, бета-функции имеют вид:

где коэффициенты зависят от содержания полей — числа фермионов, скаляров — и сверх того от группы.

Ключевой факт. Для (КХД) , поэтому уменьшается при росте . Это асимптотическая свобода: на малых расстояниях кварки взаимодействуют слабо, на больших — связь растёт, и возникает конфайнмент, нет свободных кварков и глюонов. Для и картина обратная при содержимом Стандартной модели: связи растут при увеличении энергии.

Это не абстракция — это измеряемые эффекты. точно измеряется на коллайдерах: её значение на масштабе массы Z — один из самых точных параметров СМ. В электрослабой части зависимости видны в точных измерениях слабых процессов и в астрофизике.

Асимптотическая свобода КХД: почему кварки почти свободны на больших энергиях

Один из красивейших результатов — в КХД убывает логарифмически с ростом . Грубо:

где МэВ — масштаб, на котором связь становится сильной.

Физически: при , то есть при больших энергиях и малых расстояниях, маленькая — кварки ведут себя как почти свободные. Это противоположность наивному ожиданию. При связь становится порядка единицы и больше; там пертурбативный расчёт ломается, и мы видим явление конфайнмента: кварки заперты в адронах.

Это напрямую связано с нелинейной структурой Янга-Миллса — само-взаимодействием глюонов. Калибровочная структура не только задаёт спектр, но и отвечает за очень специфическое поведение сил с масштабом.

Электрослабая часть: плавная смена лица и унификация

Для и бета-функции другие, и их решение говорит, что и растут с увеличением энергии. График — обратных констант — показывает, что три линии сходятся при больших , но в чистой Стандартной модели не в одной точке.

Если нарисовать , , как функции , то на низких энергиях они сильно различаются: сильное взаимодействие явно сильнее, чем электромагнитное. Ближе к - ГэВ линии почти пересекаются.

Это вдохновило классические сценарии теорий великого объединения: предположение, что на очень высоких энергиях есть одна большая группа — например, или — которая при понижении энергии спонтанно ломается до Стандартной модели. А несовпадение линий в чистой СМ — артефакт того, что мы забыли о новых полях, например, суперпартнёрах в суперсимметрии.

В суперсимметричных моделях типа MSSM действительно видно, что унификация трёх констант связи становится красивее: линии пересекаются в одной точке. Это не доказательство, но очень внушительный намёк.

Стандартная модель как эффективная теория

Все эти убегания констант говорят одно: Стандартная модель — это эффективная теория поля, валидная до некоторого масштаба , выше которого появляется новая физика.

Операторы размерности 4 и меньше, перенормируемые — это асимптотически видимые на низких энергиях. Операторы размерности 5 и выше подавлены некоторым масштабом . Например, оператор — вайнберговский оператор размерности 5 — даёт майорановские массы для нейтрино. Операторы с четырьмя кварками или лептонами с дополнительными объёмными факторами — возможные проявления новых взаимодействий.

Если смотреть глазами эффективной теории, СМ — полная в смысле всех операторов размерности , согласованная без аномалий локальная квантовая теория поля с указанной группой симметрий и содержанием полей. Всё, что мы добавляем на масштабе , будет проявляться как малые деформации лагранжиана первичными операторами размерности больше 4.

Ренормгруппа здесь — организатор: она говорит, как новые эффекты просачиваются на низкие масштабы.

Мост к гравитации и теории всего

Здесь естественно вернуться к первой статье — про теорию всего. Там считали гравитацию как эффективную теорию на больших масштабах, вытекающую из требований к перепутыванию состояний и геометрии. Видели, как струны дают ультрафиолетовое завершение гравитации и многих калибровочных моделей.

С учётом ренормгруппы картина обретает полноту. Ниже некоторого масштаба мир действительно описывается СМ + ОТО. Рост констант, особенно в и слабом секторе, плюс поведение гравитационной константы на высоких энергиях указывают на то, что нельзя просто бесконечно продолжать те же законы. Требование самосогласованности — аналог и нулевых бета для сигма-моделей — в струнной и голографической картине может интерпретироваться как новые условия целостности. Не только для гравитации, но и для калибровочного и фермионного контента.

То есть ренормгруппа — не только технический инструмент, но и стрелка компаса, показывающая: вот здесь СМ ещё работает как есть, вот тут — явно просится новое описание.

Что унести из этой главы

В плотном виде. Константы связей Стандартной модели бегут: КХД становится слабой при больших — асимптотическая свобода, а электрослабый сектор наоборот подбирает силу. График показывает почти-унификацию; с дополнительными полями — суперсимметрия, струны — унификация становится более естественной. СМ — эффективная теория, в которой всё выше некоторого масштаба выглядит как поправки, организованные ренормгруппой. Эта перспектива эффективной теории — мост к струнной и голографической картине: там условия конформности и консистентности играют роль ультра-бета-функций, которые заставляют теорию быть целостной при всех масштабах.

Дальше в цикле логично сделать финальную главу именно для цикла про Стандартную модель: собрать воедино симметрии, поля, Хиггс, аномалии и ренормгруппу как единый объект — Стандартная модель как язык симметрий и информации. А потом перейти к следующему блоку: гравитация, космология, тёмная материя и энергия, сингулярности, но уже с опорой на пройденный в цикле путь.

Глава 8. Стандартная модель как язык симметрий (и почему этого всё ещё мало)

Начали этот цикл с довольно простой амбиции: перестать видеть Стандартную модель как случайный зоопарк частиц и посмотреть на неё так же, как смотрели на квантовую механику и призраков — через линзу информации и симметрий.

Сейчас, после семи глав, картинка стала гораздо яснее. Давайте аккуратно её соберём.

Из чего она построена — в одном кадре

Симметрии делятся на внешнюю и внутреннюю. Внешняя — Пуанкаре — отражает структуру пространства-времени: однородность, изотропию, специальную относительность. Внутренняя — — отражает внутреннюю геометрию цвета, слабого изоспина и гиперзаряда.

Поля включают калибровочные: восемь глюонов для цвета , три слабых для , один гиперзарядный для . Фермионы: кварки — шесть ароматов по три цвета, левые дублеты, правые синглеты; лептоны — три поколения, левые дублеты, правые заряженные синглеты. И скаляр — дублет Хиггса .

Структура лагранжиана:

где содержит , — это для всех фермионов, включает , а — юкавские связи вида

На этом уровне всё очень похоже на то, что делали в цикле про теорию всего: вся форма лагранжиана зашита в требования локальной симметрии и квантового формализма.

Что фиксируют симметрии, а что остаётся руками

Отдельно полезно разделить, что жёстко фиксируется и что остаётся параметрами.

Жёстко фиксируется

Группа симметрии, которую мы приняли, определяет вид и количество калибровочных полей и их взаимодействий. Представления фермионов говорят, какие поля есть вообще — дублеты или синглеты, цветные или бесцветные. Калибровочная инвариантность полностью фиксирует форму кинетических и взаимодействующих термов: полностью фиксирован, фиксирован структурой группы.

Отмена аномалий диктует дробные гиперзаряды и структуру поколений. Кубическая , , , гравитационная , виттеновская аномалия для — все эти суммы по представлениям должны равняться нулю, и это сильно режет пространство вариантов.

Механизм Хиггса и требование перенормируемости фиксируют вид потенциала , механизм рождения масс W, Z и сохранения безмассового фотона. BRST-гигиена требует наличия призраков Фаддеева-Попова для каждой группы, структуры лагранжиана фиксации калибровки, разделения физического и нефизического пространства состояний.

Остаётся параметрами

Численные значения трёх калибровочных констант , , или , , . Параметры потенциала Хиггса , — итоговое вакуумное среднее и масса самого Хиггса. Юкавские матрицы для фермионов — массы и смешивания: матрицы для каждого типа (верхние, нижние кварки, заряженные лептоны, возможно нейтрино), их диагонализация даёт спектр масс плюс матрицы CKM (матрица Кабиббо — Кобаяси — Маскавы) и PMNS (матрица Понтекорво — Маки — Накагавы — Сакаты). Тета-угол в КХД для сильного CP-нарушения — в СМ возможен, но наблюдаемо почти ноль, что само по себе проблема. Число поколений — в структуре СМ можно было бы представить и четвёртое поколение, но эксперимент его не видит.

Именно сюда будут приходить любые расширения Стандартной модели: теории великого объединения, суперсимметрия, струны, флейворные симметрии, модели тёмной материи. Две предыдущие статьи — теория всего и призрак Паули — задают общие принципы, по которым эти расширения должны играть.

Как в этом всём живёт принцип Паули и BRST-гигиена

В цикле про Паули и призраков построили общую картину. Фермионы дают антисимметрию, грассмановы поля, ограничение «один квант на состояние», стабильность материи. Калибровки дают призраков Фаддеева-Попова, BRST-оператор, выбрасывание избыточных степеней свободы. Струны дают bc- и βγ-призраков на мировом листе, снова BRST и баланс центрального заряда.

В Стандартной модели всё это происходит одновременно. Фермионный сектор полностью ферми-статистический: Паули держит электронный газ, вырождение звёзд, структуру атомов. Калибровочный сектор BRST-чистый: все калибровочные аномалии обнулены, симметрии честно реализованы. Массовый сектор с Хиггсом встроен так, чтобы калибровочная структура сохранилась в смысле BRST, сама конструкция Хиггса была перенормируемой, вакуум был устойчивым в пределах СМ.

Это невероятно откалиброванный объект. Но через наш язык это перестаёт быть страхом: видим, что Стандартная модель — это просто книга, написанная на алфавите симметрий, с двумя слоями цензуры. Паули-фильтр на фермионы и BRST-фильтр на калибровочную избыточность.

Бегущие константы: намёк на то, что это ещё не конец

Глава про ренормгруппу добавила важный штрих. Симметрии формируют скелет Стандартной модели. Бета-функции показывают, как этот скелет меняется с масштабом. КХД асимптотически свободна; , — наоборот, усиливаются. Три константы почти пересекаются при очень высокой энергии.

Это не доказательство, но сильно подталкивает к мысли: Стандартная модель — не финал, а слой. Над ней, скорее всего, есть ещё более симметричная теория — GUT, струны, что-то иное — которая в низкоэнергетическом лимите выглядит как СМ.

С точки зрения голографической и информационной картинки из первой статьи это логично. При разных масштабах видим разные эффективные геометрии. Перепутывание и структура гильбертова пространства меняются с масштабом. Высокоэнергетический предел может требовать полной струнной, конформной, голографической структурной целостности, а СМ — просто одно её сечение (в определенном диапазоне энергий для нашей конфигурации вакуума - а ведь есть и другие).

Как всё это сшивается с теорией всего и призраком Паули

Если свести три статьи в одну линию.

«Теория всего. From Zero to Hero»: от информации и амплитуд к симметриям, от симметрий к локальным полям, от 2D-CFT к струнам и гравитации, от голографии к формуле «энтропия = площадь + квантовая поправка».

«Призрак Паули»: от неразличимости к фермионам и принципу Паули, от калибровок к призракам Фаддеева-Попова и BRST, от bc/βγ-призраков к струнам, общая идея — структурная цензура состояний.

«Стандартная модель. От симметрий к кваркам»: от Пуанкаре × к глюонам, W/Z, фотону, фермионам, Хиггсу; от BRST и аномалий к строгой консистентности СМ; от ренормгруппы к пониманию СМ как эффективной теории, которую нужно встроить в более общий каркас.

Ядро этих трёх текстов — одно и то же. Информация определяет допустимые формы симметрий и эволюции. Симметрии задают пространство состояний и полей. Квантовый формализм — Паули, BRST, аномалии — выбрасывает лишнее. А дальше уже геометрия и гравитация как эффективный и голографический язык этих внутренних структур.

Что дальше

Уже намечен следующий блок, и это логично. Гравитация и космология — ОТО как эффективная теория поля, горизонты, термодинамика, голография в AdS, попытки дотянуть это до де-Ситтера. Тёмная материя и тёмная энергия в терминах СМ + КТП + информации: тёмная материя как дополнительные поля или секторы, тёмная энергия как космологическая постоянная, энтропийный параметр или флуктуации причинного множества. Сингулярности, Большой взрыв и чёрные дыры — теоремы Пенроуза-Хокинга, информация в испаряющихся дырах, острова и квантовые экстремальные поверхности.

Все три блока — теория всего, Паули-призраки, Стандартная модель — уже подготовили язык для того, чтобы эти вопросы не болтались в воздухе, а ложились в существующий каркас.

В одном абзаце: Стандартная модель по-нашему

Если бы нужно было объяснить Стандартную модель в одну фразу читателю, дошедшему до этого места, я бы сказал так.

Стандартная модель — это не зоопарк, а минимальная квантовая калибровочная теория поля в четырёх измерениях, в которой внутренние симметрии задают структуру и количество полей; калибровочная инвариантность и отсутствие аномалий жёстко фиксируют их представления и взаимодействия; фермионы подчиняются принципу Паули, а лишние калибровочные структуры вычищаются призраками Фаддеева-Попова и BRST; Хиггс даёт массы W/Z и фермионам, не разрушая калибровочную гигиену; и всё это вместе прекрасно описывает мир до масштабов, где начинают себя заявлять гравитация, тёмная материя, тёмная энергия и, возможно, струны.

И вот с этим багажом как раз готовы идти дальше — к гравитации, космологии и тому, что происходит за пределами Стандартной модели, не теряя ни плотности смысла, ни того стиля, который важен для понимания у читателя.

Спасибо, что дочитали до конца статьи, надеюсь вы так же получили порцию дофамина от узнавания чего-то нового или хорошо забытого старого. Формулы, конечно, кусаются, но я старался сделать стиль повествования так, чтобы они смотрелись больше как эстетичные иллюстрации, чем необходимые для понимания части. Еще раз - это самая сложная для понимания область науки за всю историю. Понимать ее основ - это довольно значимое достижение.