Загадка магнитной подвески / forpes.ru

Главная
Загадка магнитной подвески

Загадка магнитной подвески +83

30.11.2025 16:48

haqreu 61 24000 Источник

Знаете, что такое мендосинский двигатель? Это демонстрационный солнечный моторчик, левитирующий благодаря магнитам — красивый, простой и по‑настоящему познавательный. Такой мотор можно сделать с помощью самых простых инструментов, поэтому это замечательный проект для любого любителя.

Ротор установлен на подшипниках малого трения: в оригинале это было стеклянный цилиндр, подвешенный на двух иголках, а в современных версиях используется магнитная подвеска.
Двигатель бесколлекторный: солнечные панели на роторе подают напряжение на катушки, намотанные на якорь. Электромагнитное взаимодействие между полем, создаваемым катушкой, и полем магнитов на статоре создаёт крутящий момент. Когда свет попадает на повёрнутый к источнику солнечный элемент, тот запитывает одну катушку. Ротор проворачивается, солнечная панель уходит из-под направленного света, и на её место приходит следующая. Так якорь вращается непрерывно, пока есть свет. Это крайне элегантное решение, которое любой может реализовать дома. Но давайте сосредоточимся на магнитной подвеске.

Если вам кажется, что вы уже читали эту статью лет десять назад - вам не кажется. Это вторая версия, причёсанная и с более строгими выкладками.

Мендосинский двигатель и теорема Ирншоу

Мы располагаем пару фиксированных магнитов на статоре так, чтобы магнит, установленный на оси ротора, находился в локальном минимуме магнитного потенциала в радиальном направлении — то есть удерживался от боковых (радиальных) смещений.

Если повторить эту конфигурацию на обоих концах ротора, то мы получим радиальную удерживающую силу для оси, но при этом система окажется аксиально (вдоль оси) неустойчивой: ротор свободно скользит вдоль направления оси. Лёгкое касание вертикальной опоры добавляет недостающую аксиальную поддержку, сохраняя при этом почти нулевое трение, так что система ведёт себя как подшипник малого трения.

Но почему же во всех мендосинских двигателях есть эта небольшая боковая опора для оси?

Эта боковая пластинка выглядит не слишком… элегантно, что ли? Логично захотеть ротор, который полностью висит в воздухе, без какой-либо опоры. Оказывается, это невозможно — но я, конечно, не единственный, кто мечтает о полностью магнитной подвеске. Вот, например, цитата с одного форума:

On a Mendocino Motor why does one side float free while the other has a tip to a wall? I know the question might sound trivial but I have worked up the idea why not use the same magnets used to levitate as a counter force on both sides of the shaft? I attached a very rough jpg of what I mean. the green magnets at the end of the shafts is what im referring to. is there some theory or law preventing this?

И ещё одна цитата:

What would happen if the base magnets were spaced and oriented like in this drawing? Would it give it stability in the axial plane, and do away with the mirror requirement?

Иными словами, люди по всему миру пытаются избавиться от боковой опоры. Сам я учился так себе, и невозможность создать полностью магнитную подвеску тоже была для меня неочевидной. За чашкой чая я спросил коллег: «Почему это вообще невозможно?» — и знаете что? Для них это тоже не было очевидным!

Никто на вышеприведённых форумах не дал по-настоящему ясного объяснения. Максимум — ссылались на какую-то теорему Ирншоу, не самую простую для восприятия. Она гласит:

Всякая равновесная конфигурация точечных зарядов неустойчива, если на них кроме кулоновских сил притяжения и отталкивания ничто не действует.

Понятно? Мне — не очень. Допустим, я соглашусь, что речь идёт о зарядах, а не магнитах.
Но что дальше? Давайте проведём несколько мысленных экспериментов!

Первый мысленный эксперимент

Когда что-то непонятно, я начинаю рисовать. Давайте представим себе двумерную электростатическую систему. Вообразим четыре фиксированных единичных заряда, расположенных по вершинам квадрата, и свободный заряд в центре квадрата. Что-то вроде этого:

Может ли быть так, чтобы свободный заряд не находился в устойчивом равновесии? Ведь интуитивно, куда бы он ни сместился, он приближается к одному из фиксированных зарядов, и сила отталкивания должна расти! Давайте нарисуем карту потенциальной энергии свободного заряда. Вооружимся википедией:

Электрический потенциал , создаваемый точечным зарядом на расстоянии от заряда, равен $f = k \frac{q}{r}$ , где — диэлектрическая проницаемость вакуума.

Если ваши знания физики примерно на моём уровне (довольно скромные), давайте сфокусируемся сначала на понятии потенциал. Потенциал — это способность точки в пространстве сообщить энергию заряду. Чем выше потенциал, тем больше энергии будет иметь помещённый туда заряд.

Хорошая аналогия — гравитация. Представьте холм: его высота — гравитационный потенциал. Мяч на склоне холма имеет потенциальную энергию, и сила, действующаяя на мяч, определяется направлением уклона. Потенциал — скаляр: он показывает сколько энергии хранится в точке, а сила получается из градиента потенциала — это наклон энергетического «ландшафта».

Во всех моих мысленных экспериментах все коэффициенты либо 0, либо 1. Поэтому заряд и коэффициент равны единице. То есть, потенциал от одного заряда вычисляется формулой .

Чтобы построить карту потенциала системы четырёх зарядов, я напишу несколько строчек питона:

def f(a, b, x, y): # electric potential due to a point charge located at a,b
    return 1 / np.hypot(x - a, y - b)

Потенциал всей системы — сумма потенциалов точечных зарядов

def F(x, y):       # electric potential due to 4 point charges
    return f( 1,  1, x, y) + \
           f(-1,  1, x, y) + \
           f( 1, -1, x, y) + \
           f(-1, -1, x, y)

Ну а теперь просто нарисуем график скалярного поля $F(\vec x)$ :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 300),
                   np.linspace(-2, 2, 300))
plt.contourf(X, Y, np.clip(F(X, Y), None, 5))
plt.show()

Вот график (я вырезал небольшие области вокруг зарядов, где потенциал уходит в бесконечность):

Поле $F(\vec x)$ можно рассматривать как карту высот. Пунктир — изолинии высоты, жёлтые стрелки — направления наискорейшего спуска.

Легко видеть, что в центре графика находится область притяжения, зона, из которой ни одной жёлтой стрелки не выходит. Если мы слегка сдвинем наш свободный заряд из центра, его энергия увеличится, поэтому он вернется обратно в центр. Следовательно, начало координат - это точка стабильного равновесия.

И что же? Теорема Ирншоу опровергнута? Нет - просто у меня кривые руки, это я допустил ошибку. И многие люди сделали бы ту же ошибку, что и я (я проверил). Задумайтесь на пару секунд: где именно я ошибся?

Исправляем ошибку

Ошибка в том, что в двумерном мире потенциал точечного заряда равен не , а $f = -\log r$ . Формула относится к трёхмерной электростатике. Поверьте мне пока на слово — чуть позже мы выведем это строго. Тогда код должен выглядеть так:

def f(a, b, x, y): # electric potential due to a point charge located at a,b
    return -np.log(np.hypot(x - a, y - b))

def F(x, y):       # electric potential due to 4 point charges
    return f( 1,  1, x, y) + \
           f(-1,  1, x, y) + \
           f( 1, -1, x, y) + \
           f(-1, -1, x, y)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 300),
                   np.linspace(-2, 2, 300))
plt.contourf(X, Y, np.clip(F(X, Y), None, 5))
plt.show()

И график получается совершенно другим:

Теперь видно: никаких локальных минимумов нет. В центре седловая точка, то есть неустойчивое равновесие. Стоит заряду сместиться хоть на микрон — и он убежит. Теорема Ирншоу торжествует.

Что же случилось с формулой потенциала?

Когда я увидел противоречие с теоремой Ирншоу, я понял, что допустил ошибку, и начал дебажить мой мысленный эксперимент. В какой-то момент я понял, что у меня нет другого выбора, кроме как обратиться к уравнениям Максвелла.

Школьные уроки физики были давно забыты, и мне больше не приходилось сталкиваться с ними ни в университете, ни в дальнейшей жизни. Оказалось, что эта тема не такая уж и сложная, особенно если нас интересует только электростатика!

Лично я не электрик, я сантехник. Я представляю себе электрическое поле как текущую жидкость:

Линии поля (показанные желтыми стрелками) — это потоки воды.
Заряд — это источник/сток, который создает или поглощает поток.
Потенциал - ландшафт, вода течет вниз по склону.

В нашем случае нам нужны два (из четырех) уравнения Максвелла.

Фарадей: нет вихрей, только градиентный поток

Фарадей говорит, что изменяющиеся магнитные поля создают вихри в электрическом поле.
Но в электростатике ничего не меняется во времени, поэтому вихрей нет.
Это означает, что «вода» никогда не закручивается в воронки — она только течет, потому что гравитация тянет ее вниз по рельефу (см. желтые стрелки).

Математически, для любого безвихревого векторного поля $\vec E$ в любой односвязной области существует скалярный потенциал , такой что $\vec E = - \nabla f$ .
Подводя итог, Фарадей сказал, что в статическом случае электрическое поле (желтые стрелки потока) можно найти как направление вниз по потенциальному ландшафту.

Гаусс: закон сохранения потока

Закон Гаусса - это локальный закон сохранения. Он гласит, что если внутри области нет заряда, то общий электрический поток через границу области равен нулю.

Если представить поле в виде потока воды, то положительный заряд — это кран, отрицательный заряд — это сток. Нулевой заряд в области означает, что всё, что в неё втекает, должно вытекать (нет накопления).

Математически мы говорим, что в любой точке дивергенция электрического поля равна заряду в этой точке:

$\nabla \cdot \vec{E} = q.$

Соединим оба закона

Давайте подставим $\vec E = -\nabla f$ в закон Гаусса:

$\nabla \cdot \vec E = \nabla \cdot (-\nabla f) = -\Delta f = q.$

Тогда $\Delta f = -q$ , это уравнение Пуассона. Если в области нет зарядов, то . Тогда Пуассон превращается в Лапласа $\Delta f = 0$ .

Оказывается, что в 2D функция $\frac{1}{r}$ имеет ненулевой лапласиан.Чтобы вывести правильную функцию потенциала, нам нужно решить уравнение Лапласа.

Если вам интересно, то вот тут я даю подробный вывод решения:

Электрический потенциал точечного заряда в двумерном пространстве

В 2D, $\Delta f(r) = f''(r) + \frac1r f'(r)$ , так что $\Delta f = 0$ можно переписать как

$f''(r) + \frac{1}{r} f'(r) = 0.$

Чтобы решить это уравнение, давайте перепишем левую часть в форме производной произведения:

$f''(r) + \frac{1}{r} f'(r) = \frac{1}{r} \big( r f'(r) \big)'.$

Таким образом, наш диффур преобразовывается следующим образом:

$\frac{1}{r} (r f'(r))' = 0 \quad\Rightarrow\quad (r f'(r))' = 0.$

Чтобы получить , достаточно дважды проинтегрировать уравнение:

$\begin{align} (r f'(r))' = 0 \quad&\Rightarrow\quad r f'(r) = A,\\ f'(r) = \frac{A}{r} \quad&\Rightarrow\quad \boxed{f(r) = A \ln r + B}, \end{align}$

где и константы.

В качестве проверки правильности наших выкладок мы также можем проверить, получим ли мы потенциал Кулона для трехмерного случая (да, получим):

Вывод кулоновского потенциала в 3D

В 3D уравнение Лапласа для радиальной функции это

$\Delta f = f''(r) + \frac{2}{r} f'(r) = 0, \quad r>0.$

Обратите внимание, что тут вылезла двойка, которой не было в двумерном случае. Если вам интересно, откуда она взялась, добро пожаловать под спойлер:

Лапласиан радиальных функций в n-мерном пространстве

Пусть $\vec{x}=(x_1,\dots,x_n)$ . Определим $r:=|\vec x|$ . Тогда градиент $\nabla f$ можно записать как

$\nabla f = f'(r)\,\nabla r = f'(r)\,\frac{\vec{x}}{r} = f'(r)\,\hat{\vec r},$

где $\hat{\vec r}=\vec{x}/r$ единичный радиальный вектор.

Лапласиан - это дивергенция градиента:

$\Delta f = \nabla\cdot\Big(f'(r)\,\hat{\vec r}\Big).$

Продифференцируем произведение:

$\nabla\cdot\Big(f'(r)\,\hat{\vec r}\Big) = f''(r)\,\hat{\vec r}\cdot\nabla r + f'(r)\,\nabla\cdot\hat{\vec r}.$

Но ведь $\hat{\vec r}\cdot\nabla r = \dfrac{\vec{x}}{r}\cdot\dfrac{\vec{x}}{r}=1$ , то есть, первый член равен . Для второго члена мы можем обратить внимание на то, что дивергенция единичного радиального вектора в $\mathbb R^n$ это $\nabla\cdot\hat{\mathbf r}=\frac{n-1}{r}$ . Подставляем одно в другое, получим

$\boxed{\Delta f = f''(r) + f'(r)\frac{n-1}{r}}.$

Как и раньше, запишем левую часть как производную произведения:

$f''(r) + \frac{2}{r} f'(r) = \frac{1}{r^2} \big( r^2 f'(r) \big)'.$ $\begin{align} (r^2 f'(r))' = 0 \quad&\Rightarrow\quad r^2 f'(r) = A,\\ f'(r) = \frac{A}{r^2} \quad&\Rightarrow\quad \boxed{f(r) = \frac{A}{r} + B}, \end{align}$

где и константы.

Подводя итог, кулоновский потенциал точечного заряда действительно следует из уравнения Лапласа.

Возвращаемся к моей ошибке

Если использовать кулоновскую формулу в двумерном пространстве, это фактически приводит к ситуации, когда пространство на самом деле трёхмерное, но движение зарядов каким-то внешним образом ограничено в одной плоскости. В таком случае очевидно, что можно создать устойчивую конфигурацию. Например: возьмите картонную трубку, поставьте её вертикально и положите магнит на дно. Затем поместите другой магнит внутри трубки, чуть выше первого. Верхний магнит будет находиться в равновесии: трубка препятствует горизонтальному движению и переворачиванию, а вдоль вертикальной оси сила тяжести уравновешивается магнитным отталкиванием.

Теорему Ирншоу следует применять лишь совместно с кулоновским законом в трёхмерном пространстве или в пространстве любой размерности, но с правильным потенциалом для этой размерности. Под «правильным» я понимаю тот потенциал, который действительно следует из уравнений Максвелла в заданном пространстве.

Теорема Ирншоу

Подытожим, что мы узнали из уравнений Максвелла: в области, свободной от зарядов, электрический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta f = 0$ .

Такие функции называются гармоническими, и у них есть важное свойство: они не могут иметь локальных максимумов или минимумов внутри области — только на её границе.
Физически это означает, что потенциал выглядит как идеально натянутая резиновая плёнка: без внешнего воздействия внутри неё не могут появиться ни ямки, ни выступы.

Свободный заряд, помещённый в электростатическое поле, мог бы находиться в равновесии только в точке, где электрическая сила равна нулю, то есть в точке локального минимума потенциальной энергии. Но поскольку потенциал электростатического поля не имеет локальных минимумов, то и потенциальная энергия отдельного заряда не может иметь локальных минимумов. Следовательно, статические электрические поля не могут удерживать заряженную частицу в устойчивом равновесии.

Поздравляю — мы только что доказали теорему Ирншоу для одного точечного заряда.
Но что насчёт более сложных систем? Коллеги предложили мне ещё один мысленный эксперимент.

Зафиксируем два заряда и создадим движущееся тело — невесомый, нерастяжимый стержень с зарядами на концах:

Интуитивно кажется: если слегка сдвинуть палочку влево или вправо, один её конец приблизится к фиксированным зарядам, и они оттолкнут его, возвращая систему в исходное положение. Похоже на устойчивость. Где же подвох? Давайте нарисуем электростатический потенциал двух фиксированных зарядов:

def F(x, y):       # electric potential due to 2 point charges
    return f(0,  2, x, y) + \
           f(0, -2, x, y)

Вот график электрического потенциала нашей системы:

Как отрисовать потенциальную энергию нашего стержня, заряженного на обоих концах?
Электрический потенциал — это характеристика поля, он задаёт для каждой точки пространства потенциальную энергию на единицу заряда. То есть, если поместить в это поле заряд , то его реальная потенциальная энергия будет равна $P(\vec x) = q\,F(\vec x)$ .

Напомню, что во всех моих мысленных экспериментах коэффициенты равны либо 1, либо 0, поэтому для одного заряда графики электрического потенциала и его потенциальной энергии совпадают.

Для системы из двух зарядов ситуация немного меняется. Если два точечных заряда находятся в точках $\vec x_1, \vec x_2$ , и есть внешний электростатический потенциал , то полная потенциальная энергия системы равна

$P(\vec x_1, \vec x_2) = q_1\,F(\vec x_1) + q_2\,F(\vec x_2).$

То есть потенциальная энергия стержня — это сумма потенциальных энергий его зарядов
(при этом я игнорирую взаимную кулоновскую энергию между самими зарядами, поскольку они соединены жёстким стержнем).

Стержень имеет три степени свободы (две на параллельный перенос и одну вращательную), поэтому в полном пространстве координат график был бы слишком сложен.
Для простоты я игнорирую вращения и разрешаю только параллельный перенос.
Построим потенциальную энергию стержня, который не может вращаться (я выбрал его центр в качестве опорной точки):

def P(x, y):
    return F(x + 2, y) + \
           F(x - 2, y)

И вот его график:

Мы видим, что энергия стержня имеет четыре пика (каждый конец стержня «натыкается» на каждый из двух фиксированных зарядов). Как и ожидалось, при движении по горизонтали потенциальная энергия растёт, поэтому стержень убежит по вертикали :)

Так и должно быть, ведь полная энергия системы — это сумма потенциальных энергий каждого заряда. Мы знаем, что потенциальная энергия каждого заряда — гармоническая функция. А сумма двух гармонических функций тоже гармоническая… А это значит, что потенциальная энергия любого заряженного тела (не только нашего стержня!) не может иметь локальных минимумов в статическом электрическом поле.

Заключение

Когда речь заходит об электромагнитных полях, то людей, не работавших с физикой плотно, интуиция часто подводит. Мозг нас обманывает, рисуя картины минимумов энергии. К сожалению, это не так, и создать мендосинский двигатель без боковой опоры представляется затруднительным.

Однако ещё не всё потеряно. Теорема Ирншоу (если мы сделаем усилие и вообще применим её к магнитам) применима только системам неподвижных постоянных магнитов. Поэтому:

Мы можем попытаться создать динамическое магнитное поле
Диамагнетизм и всякие сверхпроводники также не входят в рамки теоремы Ирншоу
Подвижные вообще и вращающиеся в частности тела также не рассмотрены, наиболее известный пример левитрон.

Мечта всё ещё реальна — но уже без той чистой простоты конструкции.

Историческая справка: аргументы, связанные с теоремой Ирншоу, сыграли важную роль в доказательстве того, что чисто электростатическая модель материи не может объяснить стабильность атомов, опровергнув раннюю идею о материи, состоящей из статических зарядов, удерживаемых на месте. Это способствовало переходу к планетарной (Резерфорда-Бора) модели и, в конечном итоге, к квантовой механике.

Комментарии (61)

Dr_Faksov
30.11.2025 17:10
#29185124
Не совсем понял - ротор аксиально неустойчив в обе стороны оси? Проще говоря - опора нужна с определённой стороны или всё равно?
1. haqreu Автор
  30.11.2025 17:10
  #29185136
  Опора стоит так, что ротор самую малость сдвинут из положения (неустойчивого) равновесия в её сторону. То есть, ротор стремится убежать в направлении опоры, и так получается устойчивая конструкция.
  
  Такую опору можно сделать с любой из двух сторон.

liutas4x4
30.11.2025 17:10
#29185128
"Всё уже украдено до нас:"

https://www.skf.com/group/products/magnetic-bearings-and-systems
1. haqreu Автор
  30.11.2025 17:10
  #29185140
  Это системы с активным контролем магнитного поля.
  1. liutas4x4
    30.11.2025 17:10
    #29185204
    Да. А иначе и не выйдет. Я знавал джипера из Минска, который хотел перейти на магнитную подвеску. Он с SKF что-то начал делать, но я уехал и не в курсе хватило ли ему запала, денег и бортовой сети для проекта.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29185236
    Ну собственно статья о том, что иначе не выйдет ;)
    
    pvvv
    30.11.2025 17:10
    #29188080
    в статике, а у уже раскрутившегося ротора с ненулевым моментом импульса, этот самый момент не даст сразу же свалиться и на какое-то время пожалуй можно заменить упор на пару отталкивающихся магнитов.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29188092
    Хм, не понял вас. Рисунок можете привести? Вращающееся тело сопротивляется изменению оси вращения, но совершенно не сопротивляется параллельному переносу, а тут направление неустойчивости именно осевое.
    
    pvvv
    30.11.2025 17:10
    #29188306
    Если в месте аксиального упора оси заменить на пару отталкивающихся магнитов (как на "неправильных" рисунках в статье, только с одной строны + небольшое аксиальное смещение чтобы оно в одну сторону упиралось), то в статике, насколько я понимаю, ротор упадёт не вниз параллельно оси, а попробует убежать влево/вправо, ну или может вниз (в зависимости от расстояния между "вертикальными" магнитами, "крутизной" их потенциальной ямы поперёк и длиной рычага до места упора), но в любом случае вроде бы не параллельно, а с наклоном оси, которому вращение ротора как раз должно помешать и несколько это неустойчивое равновесие застабилизировать, временно.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29188396
    Ага, в целом идея понятна. Ну левитрон существует, я не зря его упомянул, так что не исключено, что вращающаяся система может быть стабильной. Надо будет попробовать нарисовать, хоть и это мерзкое занятие - трёхмерные поля рисовать.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29188908
    Не получится. Вот плоский срез трёхмерного магнитного поля. Ось просто соскользнёт с магнитного "упора".
    
    Может быть, если здоровый кольцевой магнит взять для упора, то и получится левитрон воспроизвести, но как я и говорил, вся эта заморока убьёт красоту лаконичности, да и то, что в статике не будет работать, тоже красоты не добавляет :(
    
    pvvv
    30.11.2025 17:10
    #29189012
    ну так её и без магнитного упора, когда она просто упирается в стенку механически, поперёк никто не держит, кроме "стенок" двух ям в {0,0} и {0,+10}.
    
    а с магнитным упором можно сделать яму упора более пологой и большим расстоянием до него так, чтобы для ухода вбок оси энергитически выгоднее было бы наклониться (повернуться вокруг z) а не смещаться параллельно, чему и помешает вращение ротора.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29189134
    [зануда вкл] Трение упора очень даже держит [зануда выкл] :)
    
    Заколотите вот это в сайхаб:
    
    pvvv
    30.11.2025 17:10
    #29189482
    красный "ротор" из двух магнитов, зеленый "статор" толкает его вверх с 10Н, и за счёт того что сдвинут по оси на 1мм также выталкивает вдоль оси z -2.67Н. синий стопор с противоположной полярностью соосно просто толкает обратно с теми же 2.67Н.
    
    силы уравновешены, но если посмотреть на моменты то ось они хотят повернуть по вокруг Х, то есть приподнять около стопора.
    
    Если ротор на совсем небольшой угол повернуть вокруг Х и посчитать опять, сила вдоль оси немного вырастет, момент останется. то есть ось поднимет около "стопора", и протолкнёт вперёд так что магнит ротора примагнитится сверху на стопор, который в противоположную сторону намагничен, а с другой стороны второй магнит ротора продвинется вперёд упадёт вниз и примагнитится к одному из зелёных магнитов. Но для этого оси надо повернуться, а если, достаточно раскрутив ротор, запретить поворачиваться, то одним только параллельным смещением не убежать
    
    Трение упора очень даже держит
    
    не, оно всё равно будет работать даже если плоскость упора наклонить немного, хотя если бы там всё держалось именно на трении, а не магнитных силах (воон те две ямы посередине между магнитами на картинке выше) при малейшем перекосе ось сразу же по этой наклоннённой плоскости "укатилась" бы при вращении.
    
    Заколотите вот это в сайхаб:
    
    ну так получилось же в результате. даже с один магнитом
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29189534
    О, какая красивая картинка! То есть, действует опрокидывающая сила. Вкупе со вращением мы получим силу, поворачивающую якорь вокруг оси Y. Нам достаточно потенциальной ямы в конкретно этом примере, чтобы ей противостоять?
    
    ну так получилось же в результате. даже с один магнитом
    
    Ну я про это и говорю.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29190548
    Что-то мне говорит, что упадёт якорь в вашей конфигурации. Не получается там стабильной прецессии оси, как мне кажется.
    
    pvvv
    30.11.2025 17:10
    #29190588
    ну от величины момента импульса наверное всё-таки зависит, а вот не получатся ли там совсем безумные обороты для этого в данной геометрии, тут уже аккуратно считать надо.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29190658
    Угловая скорость прецессии прямо пропорциональна опрокидывающему моменту и обратно пропорциональна моменту инерции и угловой скорости собственного вращения ω нашего якоря.
    $\Omega = \frac{M}{I \omega}$
    Какую бы мы ни взяли $\omega$ , скорость прецессии будет ненулевой, то есть, якорь неизбежно поведёт в сторону. Свалится он.
    
    pvvv
    30.11.2025 17:10
    #29190914
    У магнитной ямы некая "жесткость" поперёк всё же есть, и опрокидывающий момент, повёрнутый поперёк и вращая ротор вокруг вертикальной оси не прям обязательно должен быть сильнее. Для каких-то достаточно больших $\omega$ вероятно возможна прецессия с отклонением на совсем небольшой угол вокруг оси вращения, чтобы при этом из ямы не выпадать.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29191414
    Тут дело в том, что встретив боковое сопротивление, ось начнёт задираться вверх из-за того же гироскопического момента. А отклонить её в другую сторону, а затем вниз, некому. Не вижу я стабильной траектории прецессии.
    
    pvvv
    30.11.2025 17:10
    #29192706
    в стороны мешают отклонять стенки магнитной ямы, вверх со стороны противоположной "стопору" гравитация, а вот чтобы он наверх не убежал со стороны "стопора" возможно его форма должна быть посложнее с какой-нибудь локальной ямой. В статье про горизонтальный левитрон конфигурация не такая простая
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29192776
    Да, я про это и говорю, что ваша конфигурация, скорее всего неустойчива (не факт, это надо по-настоящему моделировать), но должна существовать устойчивая.
    
    В горизонтальном левитроне, как мне кажется, конструкция слишком сложная из-за того, что они хотели сохранить волчок от вертикального.
    
    Кстати, любопытный момент: левитрон (я про коммерческий продукт) нужно постоянно калибровать, он перестаёт парить от простой смены температуры. На него надо добавлять шайбы (идут в комплекте), самая лёгкая из которых составляет всего 0.3% от массы волчка.
    
    pvvv
    30.11.2025 17:10
    #29193514
    да, было бы удивительно если абсолютно от балды нарисованная конфигурация оказалась абсолютно стабильной.
    
    по температуре у неодимовых магнитов до 0.1% на градус намагниченность может зависеть, а уравновешивать гравитацию дипольными полями ~1/r^3, в которых силы dE/dr ~ B^2/dr ~1/r^7 развлечение то ещё.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29193540
    Ну, хоть примерно понятно, в какую сторону копать, если вдруг кому-то захочется такое. Спасибо за обсуждение!
    
    Readme
    30.11.2025 17:10
    #29195136
    Вообще, при наличии гравитации не понятна причина, почему может не работать конструкция с "магнитной стенкой". Рассмотрим предельный случай: в сторону подпорки продлим невесомую ось ротора до условной бесконечности, а на конце соорудим наивную конструкцию с невесомыми отталкивающимися магнитами:
    
    SN NS===NS------NS SN SN SN SN 1 2
    
    Правая часть рисунка — не что иное, как повернутый на 90° левитрон, но если вертикальному левитрону нужно вращение для избежания опрокидывания, то лежащий должен стабилизироваться моментом оси: вниз его тянет гравитация, вверх возвращает момент от подвеса #2, к "стенке" его прижимает ротор, а к-нам/от-нас его стабилизируют те же моменты обоих подвесов, которые не дают горизонтально развернуться ротору.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29195156
    Теорема Ирншоу применима для всех систем с законом обратных квадратов, куда входит электростатика, магнитостатика и гравитация.
    
    Сумма гармонических функций - гармоническая функция. Любая комбинация постоянных гравитационных, электрических и магнитных полей не может удержать тело в устойчивом положении.
    
    Как я и сказал в самом конце, интуиция не-физиков обманывает :)

15432
30.11.2025 17:10
#29185868
Да тут ещё и проблема невозможности разделить магнитный диполь свою лепту вносит. Добавь магнит с другого боку - и вся хрень захочет развернуться
1. haqreu Автор
  30.11.2025 17:10
  #29185874
  Неа, не вносит ничего диполь (в магнитостатике). Это та же сумма гармонических функций.

haqreu Автор
30.11.2025 17:10
#29185912
У меня опять скопились приглашения. В нынешней ситуации они мало кому нужны, но если вдруг кому надо, выдам десять штук первым, кто попросит.
1. Igor_omsk
  30.11.2025 17:10
  #29186224
  Добрый день. Не отказался бы от приглашения.
1. alex00888
  30.11.2025 17:10
  #29186242
  Буду признателен
1. badtrips
  30.11.2025 17:10
  #29186264
  Добрый день! Будьте добры и мне.
1. NightlyRevenger
  30.11.2025 17:10
  #29186344
  Добрый день, и мне если можно
1. eliseykalad
  30.11.2025 17:10
  #29186430
  Буду рад
1. dmitry14
  30.11.2025 17:10
  #29186534
  Доброе утро! Буду очень признателен
1. DOHC
  30.11.2025 17:10
  #29186548
  Добрый день. Был бы признателен за приглашение.
1. rusl002
  30.11.2025 17:10
  #29186696
  Доброе утро. Был бы очень признателен за приглашение.
1. JIexa21
  30.11.2025 17:10
  #29186964
  Не помешало бы
1. takkenname
  30.11.2025 17:10
  #29187062
  Можно и мне, пожалуйста?)
1. ZanyXDev
  30.11.2025 17:10
  #29187096
  Добрый день был бы очень признателен.
  QT5/QMl разработчик, пишу эмуляторы всяких странных, старинных вычислительных систем

dmitry14
30.11.2025 17:10
#29186528
UPD: не в ту ветку

Vlad-sl
30.11.2025 17:10
#29186628
Доброе утро.

Я тоже не откажусь от приглашения. Если еще осталось.

VT100
30.11.2025 17:10
#29186682
Ну, за сантехников!

nnutts
30.11.2025 17:10
#29188464
А вы бы не подсказали, как починить вот такой после падения и полного разъёба на составляющие? Не удаётся его слабансировать снова...

Скрытый текст
1. NickDoom
  30.11.2025 17:10
  #29189058
  Рапидом снять и станет видно, куда перевес… дальше нано-капли пластилина, скорее даже «испачкать», чем «налепить». Причём хайли лайкли фэйс будет в одну сторону перекошен, а жепЪ в другую :( Но вообще НАСТОЛЬКО неформальное общение тут не принято, хотя даже я периодически получаю за любовь к крепкому словцу, когда оное считаю хорошо отвечающим ситуации.

fossfusion
30.11.2025 17:10
#29188842
Статью не читал. Приходите когда создадите жидкий нож, которым можно резать пиво. Я о таком с детства мечтаю
1. NickDoom
  30.11.2025 17:10
  #29194548
  Я боюсь того пива, кое гидроабразивным резаком резать надобно О_О
  
  Пиво оное бухают Демолишеры на Вулканусе, и из карбида вольфрама состоит оное по большей части О_О

NickDoom
30.11.2025 17:10
#29189078
Хотел кармы добавить, а уже добавлял :) Ну хоть статье плюс — наконец-то наглядное объяснение, где именно там подстава. Теперь даже я понял :)

Получается, что мы должны в статике торчать на подшипнике, а когда появляется запас энергии для работы активного балансира (массу раскрутили) — можем отправляться в полностью самостоятельный полёт? Там можно продольно организовать точку околонулевого неустойчивого равновесия, чтобы тратить на активном балансире околонулевую энергию, или он в любом случае будет жрать больше любого подшипника? Ну, а когда энергия кончается — вываливаться из неё в одну сторону либо в другую, подшипники пусть с обеих сторон будут.

И идея с волчком мне тоже понравилась, хорошо бы это оказалось реально. Неустойчивое равновесие поперечно (лежим краем на каком-то кольце), разогнались — повисли по центру и обманули теорему (которая рассматривает только статику). Но есть у меня опасения, что про динамику вылезет какая-то другая теорема, ещё зловреднее.
1. haqreu Автор
  30.11.2025 17:10
  #29189140
  https://habr.com/ru/articles/971304/comments/#comment_29189134
  1. NickDoom
    30.11.2025 17:10
    #29189278
    Да-да, я про эту ветку. Не понял, правда, чем дело закончилось — туплю, как гвоздь бензопилу.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29189324
    Фундаментальных препятствий к существованию динамически стабильного солнечного двигателя нет. Только громоздко и неудобно получится.
    
    NickDoom
    30.11.2025 17:10
    #29189472
    можно сделать яму упора более пологой и большим расстоянием до него так, чтобы для ухода вбок оси энергитически выгоднее было бы наклониться (повернуться вокруг z) а не смещаться параллельно, чему и помешает вращение ротора
    
    То есть это не получилось такое, что вращение ротора мешает повернуться, но просто создаёт «салазки», по которым он всё равно параллельным смещением выпадет, пусть и не по самой энергетически низкой траектории?
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29189486
    С конкретно предложенной конструкцией - чёрт его знает, считать надо. Но в целом возможность есть.
    
    NickDoom
    30.11.2025 17:10
    #29189568
    Ну, скажем так — не выявлено пока фундаментального запрета на создание :)
    
    Я про весь класс «с гироскопической стабилизацией», если что. С «берём часть энергии на работу умного подвеса» и так понятно, что ответ «можно». И дополнительный вопрос «может ли энергия быть бесконечно малой, если мы держимся бесконечно близко к точке неустойчивого равновесия» (в смысле, что такая точка там есть, при том, что по другим степеням свободы равновесие устойчивое, пока мы там болтаемся в эпсилон-окрестности этой точки) — как я понял, тоже «да, может».

gres_84
30.11.2025 17:10
#29193108
Все-равно не понимаю. Ведь в системе есть сила тяжести, поэтому теорема Ирншоу в чистом виде не применима.
1. haqreu Автор
  30.11.2025 17:10
  #29193306
  Она применима для всех систем с законом обратных квадратов, куда входит электростатика, магнитостатика и гравитация.
  1. gres_84
    30.11.2025 17:10
    #29196152
    Полез разбираться, и только хуже стало.
    
    Во-первых, теорема Ирншоу верна для СИСТЕМЫ зарядов. То есть, если вы закрепили все заряды, кроме одного, ничто не мешает ему быть в равновесии.
    
    Во-вторых, двумерный потенциал, конечно, хорошо, но реальность трехмерна. Я вот уверен, что если в центр равномерно заряженной сферы поместить заряд, он будет в равновесии.
    
    haqreu Автор
    30.11.2025 17:10
    #29196180
    Я вот уверен, что если в центр равномерно заряженной сферы поместить заряд, он будет в равновесии.
    
    Ага. А знаете, почему? Потому что внутри равномерно заряженной сферы (не шара!) электрическое поле нулевое :)
    
    gres_84
    30.11.2025 17:10
    #29199072
    Ну хорошо, по второму пункту согласен, убираем. Хотя это контринтуинтивно, конечно.
    
    Но как мы можем применять теорему Ирншоу, если у вас в системе куча дополнительных сил, которые удерживают все заряды, кроме центрального?

Robotfm
30.11.2025 17:10
#29195158
Да... Я в свою очередь тоже наступил на эти грабли. Но потом, как мне кажется, разобрался в достаточной степени в магнитной левитации. В статье же Автор допустил одну, но довольно фундаментальную ошибку, из-за которой все дальнейшие рассуждения бессмысленны. Он пытается представить магнитное поле в качестве взаимодействия электростатических зарядов, что неверно, так как постоянный магнит НЕ электростатический заряд и не магнитный. И вообще магнитных зарядов не существует. Что же тогда постоянный магнит? Это вихревое (замкнутое само на себя) магнитное поле, возникающее в результате движения заряженных частиц в атомах и атомарных решётках. Фундаментальное отличие этого поля от магнитных зарядов в том, что они замкнуты! ЗАМКНУТЫ ДРУГ НА ДРУГА МАГНИТНЫМИ ЛИНИЯМИ! Именно поэтому невозможно левитировать предмет только постоянными магнитами. Я пробовал (до того, как разобрался). Напечатал сферу из пластика и равномерно распределил по ней магниты северным полюсом наружу. Положи такую сферу в центр полусферы с магнитами, направленными севером к сфере и получишь профит... думал я. Но это не так! Магнитные линии создают МЕЖДУ МАГНИТАМИ на сфере виртуальный южный полюс, которым благополучно и примагничиваются к полусфере. Более того! Можно примагнитить магнит прямо к пластику на сфере! И он будет держаться на ней, как на настоящем полюсе. Если представить магнит как источник замкнутых магнитных линий, то многое недопонимание происходящего исчезает само собой.
1. haqreu Автор
  30.11.2025 17:10
  #29195174
  С точки зрения математики, электростатические и магнитостатические поля себя ведут одинаково. Единственное, что магнитных монополей не существуют, нужны диполи. В электростатике эквивалентом являются пары зарядов разного знака.
  
  Статические электрические и магнитные поля безвихревые, если мы говорим про математику.

Загадка магнитной подвески +83

Мендосинский двигатель и теорема Ирншоу

Первый мысленный эксперимент

Исправляем ошибку

Что же случилось с формулой потенциала?

Фарадей: нет вихрей, только градиентный поток

Гаусс: закон сохранения потока

Соединим оба закона

Возвращаемся к моей ошибке

Теорема Ирншоу

Заключение

Комментарии (61)

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор

haqreu Автор