Ультрафинитизм — философию, которая отвергает бесконечность, — долго считали математической ересью. Но он же помогает делать открытия в математике и за её пределами. 

Дорон Цайльбергер — математик, который уверен: у всего есть конец. Как ограничены мы сами, так ограничена и природа, а значит, и числа. Выгляните в окно: там, где другие видят непрерывный мир, который неумолимо течёт от мгновения к мгновению, Цайльбергер видит Вселенную, которая тикает, как часы. 

Для Цайльбергера вера в бесконечность подобна вере в Бога. Это заманчивая идея: она льстит интуиции и помогает осмыслить самые разные явления. Но наблюдать бесконечность мы не можем, а значит, не можем и сказать, что она такое. Уравнения задают прямые, которые уходят за край доски, — но куда? Доказательства пестрят многозначительными многоточиями. Эти уравнения и доказательства, по словам Цайльбергера — постоянного профессора Ратгерского университета и известного специалиста по комбинаторике — «очень уродливы» и ложны. Это «полная чепуха», — сказал он, выдыхая каждый слог хриплым голосом человека, который устал повторять одно и то же.

С практической точки зрения от бесконечности можно отказаться, утверждает он. «Она вам на самом деле не нужна». Например, можно построить матанализ без бесконечности, вовсе отказавшись от бесконечно малых и пределов. Кривые кажутся гладкими, но на деле они слегка шершавые, как мелкая наждачка. А компьютеры прекрасно обходятся конечным числом знаков. (Свой компьютер Цайльбергер назвал Шалош Б. Эхад и указывает его соавтором статей.) Если отказаться от бесконечности, пропадёт лишь та математика, которой «вообще не стоило заниматься», — говорит Цайльбергер.

Большинство математиков сказали бы прямо противоположное — что это Цайльбергер несёт полную чушь. И дело не только в том, что бесконечность удобна и естественна для описания Вселенной. Представление о множествах чисел — например, целых — как о реальных бесконечных объектах лежит в самом основании математики: оно заложено в её базовых правилах и допущениях.

Даже те математики, которые не считают бесконечность реальной сущностью, признают, что последовательности, фигуры и другие объекты могут расти неограниченно. Две параллельные прямые теоретически тянутся бесконечно; к концу числовой прямой всегда можно добавить ещё одно число.

Цайльбергер не согласен. Для него важно не то, возможно ли что-то в принципе, а то, осуществимо ли это на практике. На практике это означает, что сомнительна не только бесконечность, но и чрезвычайно большие числа. Рассмотрим «число Скьюза», e⁷⁹ . Это исключительно большое число, и никто никогда не смог записать его в десятичной форме. Так что же мы можем сказать о нём? Целое ли оно? Простое ли? Может, это и вовсе не число.

Отсюда очевидный вопрос: где же тогда предел? Цайльбергер не может ответить. Никто не может. И это первая причина, по которой многие не принимают его философию — ультрафинитизм. «Когда впервые рассказываешь кому-то об ультрафинитизме, это звучит как шарлатанство — что-то вроде „по-моему, существует наибольшее число“», — сказал Джастин Кларк-Доан, философ из Колумбийского университета.

«Многие математики считают это предложение просто абсурдным», — сказал Джоэл Дэвид Хэмкинс, теоретик множеств из Университета Нотр-Дам. Об ультрафинитизме не принято говорить за ужином в математическом обществе. Им занимаются единицы — можно сказать, ультраконечное число людей. Ещё меньше убеждённых сторонников вроде Цайльбергера, готовых выкрикивать свои взгляды в пустоту. Дело не только в том, что ультрафинитизм идёт против течения. Он предлагает принципиально более узкую математику, в которой некоторые важные вопросы уже нельзя даже задать.

И всё же это даёт Хэмкинсу и другим немало поводов для размышлений. В каком-то смысле ультрафинитизм — более реалистичная математика. Она точнее учитывает, что люди способны построить и проверить, а возможно, и лучше описывает физическую Вселенную. Мы привыкли считать пространство и время бесконечно протяжёнными и бесконечно делимыми. Но ультрафинитисты возразят, что наука всё чаще ставит эти допущения под сомнение — так же, как сказал бы Цайльбергер, когда-то она поставила под сомнение существование Бога.

«Картина мира, которую мы строим, должна быть честной от начала до конца», — говорит Кларк-Доан. В апреле 2025 года он собрал экспертов на редкую конференцию, посвящённую ультрафинитизму. «Если вещей может быть лишь конечное число, лучше пользоваться математикой, которая не исходит из того, что их бесконечно много». По его мнению, «это, безусловно, должно быть частью философии математики». 

Но чтобы математики отнеслись к ультрафинитизму всерьёз, его сторонникам сначала нужно договориться о предмете разговора. Рассуждения, которые Хэмкинс называет «пустой болтовнёй», нужно превратить в строгую теорию. Математика держится на формальных системах и общих правилах. У ультрафинитизма ничего подобного нет.

Одно дело решать проблемы по частям. Совсем другое — переписывать логические основы самой математики. «Я не думаю, что ультрафинитизм отвергают из-за веских аргументов против него, — сказал Кларк-Доан. — Просто считают, что это безнадёжно».

Цайльбергер же готов пожертвовать идеалами ради математики, которая неряшлива по своей природе — как и мир.  Он скорее человек мнений, чем фундаментальных теорий: на его сайте их перечислено 195. Однажды, говорит он, математики оглянутся и увидят, что этот чудак, как и те, кто в древности ставил под сомнение богов и суеверия, был прав. «К счастью, еретиков больше не сжигают на костре». 

Диссидентская математика

Аристотель рассматривал бесконечность как нечто, к чему можно стремиться, но чего никогда не достичь. Эта «потенциальная» бесконечность господствовала тысячелетиями.

Но в конце XIX века Георг Кантор и другие математики показали, что бесконечность действительно может существовать. Подход Кантора заключался в том, чтобы рассматривать ряд чисел, например целых, как полное бесконечное множество. На этом подходе выросла теория множеств Цермело–Френкеля — фундамент математики, которым математики пользуются и сегодня. Кантор показал, что бесконечность — реально существует. Более того, бесконечности бывают разных размеров. Сравнивая эти бесконечности и оперируя ими, математики могут доказывать удивительные истины, которые на первый взгляд кажутся не имеющими никакого отношения к бесконечности. Высшими бесконечностями всерьёз занимаются немногие, но «сегодня почти каждый математик — актуалист», то есть признаёт актуальную бесконечность, говорит Хэмкинс. Её существование принимают по умолчанию.

Однако эта основа современной математики с самого появления вызывает ожесточённые споры. Во-первых, если принять ключевое допущение о бесконечности, можно получить странные парадоксы: например, теорема Банаха–Тарского, согласно которой становится возможным разрезать шар на пять частей и использовать их для создания пяти новых шаров, каждый из которых имеет объём, равный объёму первого.

Другое возражение носит более философский характер. Через несколько десятилетий после открытий Кантора некоторые математики заявили: нельзя просто объявить, что математическая структура существует, — это нужно доказать, мысленно её построив. В этой «интуиционистской» философии, например, π — не столько число с бесконечной непериодической десятичной записью, сколько обозначение алгоритма, который порождает его цифры.

Но интуиционизму достаточно, чтобы построение было возможно в принципе: актуальную бесконечность он запрещает, а потенциальную допускает. Некоторых математиков это не устроило. Их по-прежнему смущали число Скьюза и другие числа, настолько большие, что их невозможно было записать. И поэтому они стремились довести интуиционистские идеи до крайности.

«Если спросить, какие числа существуют с этой точки зрения, ответ будет такой: только те, что мы можем построить на практике, а не только в теории», — сказала Офра Магидор, философ из Оксфордского университета.

Новая версия интуиционизма, учитывающая эти практические ограничения, оформилась в 1960–1970-х годах благодаря работам Александра Есенина-Вольпина, советского математика и поэта.

Есенин-Вольпин был известен прежде всего как политический диссидент: за антисоветскую деятельность его не раз отправляли в психиатрическую больницу. Когда в 1970-х советские власти вынудили его эмигрировать, он поселился у Рохита Париха, логика из Городского университета Нью-Йорка. Там он работал над теорией, которая отвергала не только потенциальную бесконечность, но даже очень большие числа — те, которые человек не способен построить в уме.

Логик Харви Фридман однажды попросил Есенина-Вольпина определить критерий, по которому число становится слишком большим. Дано выражение типа 2ⁿ: при каком значении n числа перестают существовать? Было ли 2⁰ на самом деле числом? А как насчёт 2¹, 2² итак далее, до 2¹⁰⁰? Есенин-Вольпин ответил на каждое число по очереди. Да, 2¹ существовало. Да, 2² существовало. Но каждый раз он ждал дольше, прежде чем ответить. Диалог грозил растянуться до бесконечности.

Так Есенин-Вольпин наглядно показал свою мысль. Как позже сформулировали Парих и другие, предел для чисел задают ресурсы, которые нужны, чтобы доказать их существование: время, память компьютера, физическая длина доказательства. «Большинство ультрафинитистов считают, что граница между конечным и бесконечным размыта по самой своей природе», — сказал Кларк-Доан.

По мнению Есенина-Вольпина, условие может быть истинным для n и для n + 1 — пока в какой-то момент не перестанет быть таковым. Ребёнок растёт и растёт, пока однажды не перестанет быть ребёнком. Указывать точный момент не обязательно. Важно, что он где-то есть.

Работы Есенина-Вольпина призывали создать математику нового типа, которая в каком-то смысле терпит нечёткость. Ультрафинитисты подхватили его идеи и ищут способы превратить эту расплывчатую, граничащую с абсурдом математику в прочную теорию. 

Управление кризисом

Однажды утром в 1976 году математик из Принстона Эдвард Нельсон проснулся и пережил кризис веры. «На миг я ощутил всепоглощающее присутствие того, кто обличил меня в гордыне — в вере в реальное существование бесконечного мира чисел, — вспоминал он десятилетия спустя. — И я остался как младенец в колыбели, который может лишь считать на пальцах».

У математики есть базовые правила — аксиомы.. Нельсон знал, что даже самые элементарные аксиомы, позволяющие выполнять простые арифметические операции, содержат предположения о бесконечности — например, что мы всегда можем прибавить 1 к числу, чтобы получить новое. Он хотел начать с нуля и построить систему правил, в которой бесконечности нет вовсе. Какой была бы математика, выстроенная только на таких аксиомах?

Оказалось, что эта теория поразительно слаба. Нельсон изучал различные наборы аксиом, исключающих бесконечность, и обнаружил, что, если взять любой из них и попробовать выполнить простейшие арифметические действия, невозможно доказать что-то столь простое, как утверждение, что a + b всегда равно b + a. Даже возведение в степень выполнялось уже не всегда:  можно было построить число 100 или 1000, но не 100^1000. Один из самых мощных методов в арсенале математика — метод, известный как индукция, который гласит, что если можно доказать истинность утверждения для одного числа, то оно должно быть истинным для всех чисел, — был полностью утрачен.

Нельсон увидел в этой слабости проблеск истины. Он надеялся доказать, что привычные, более сильные аксиомы арифметики — аксиомы Пеано, допускающие бесконечность, — порочны в своей основе и ведут к противоречиям. «Я верю, что многое из того, что сегодня считается в математике доказанным, будет опровергнуто», — сказал он однажды.

Однако Нельсону не удалось их опровергнуть. В 2003 году он заявил, что использовал свои более слабые аксиомы, чтобы обнаружить противоречие в аксиомах Пеано, но этот громкий результат был быстро опровергнут. 

Более ограниченная арифметика Нельсона, а также связанные с ней формы нестандартной арифметики, разработанные Парихом и другими, пригодились в теоретической информатике, где пытаются понять, что алгоритмы могут эффективно доказать, а что нет. Идеи ультрафинитистов переформулировали в терминах вычислительной эффективности и применили для изучения того, на что способны алгоритмы.

Упражнения на терпение

В апреле 2025 года на конференцию в Колумбийском университете, посвящённую отказу от бесконечности, съехалась разношёрстная компания. Среди участников были физики, философы, логики и математики. Были убеждённые ультрафинитисты вроде Цайльбергера, специалисты по теории множеств, верящие во всевозможные бесконечности, и просто любопытствующие. По воспоминаниям организатора Кларка-Доана, конференция стала «испытанием терпения для всех».

Стало ясно: к универсальной теории ультрафинитизм продвигается с трудом, отчасти потому, что у движения нет ни общей чёткой цели, ни единого взгляда на то, какой должна быть его логика. Может быть, зацикливаться на базовых правилах, как Нельсон, — не лучший путь. «Я думаю, это пустая трата времени», — сказал мне Парих. «Нужно использовать формализм как бинокль и уделять больше внимания тому, что вы видите. Если начнёте изучать сам бинокль — вы проиграли».

Цайльбергер рад видеть вещи сквозь (возможно, искажённое) увеличительное стекло, даже если приходится жить там, где бесконечность жива и здорова. Строить математику без бесконечности с нуля он не собирается. Он идёт сверху вниз. Возьмём, например, математический анализ, который изучает поведение вещественных чисел и функций. Цайльбергер называет его «вырожденным случаем» дискретного анализа (который изучает поведение отдельных объектов, а не непрерывных). По его словам, непрерывную прямую вещественных чисел можно заменить «дискретным ожерельем» — числами, которые отстоят друг от друга на крошечные, но не бесконечно малые расстояния. А затем переписать на этой основе дифференциальное исчисление и дифференциальные уравнения, которые превращаются в «разностные», и вычистить из них даже неявные следы бесконечности. И хотя результат может выглядеть менее элегантным, чем классическая математика, он, по словам Цайльбергера, прекраснее: он отражает физическую реальность такой, какова она, по его убеждению, на самом деле.

Для Жана Поля ван Бендегема, философа математики из Брюссельского свободного университета, путь к ультрафинитизму начался не с чисел, а с геометрии в начальной школе. Учитель провёл на доске прямую, которая якобы уходила в бесконечность. «Куда?» — спросил тогда ван Бендегем. Если правый конец уходит бесконечно далеко в одну сторону, а левый — в другую, встретятся ли они в итоге? Или за краями доски прячутся разные бесконечности? Учитель велел ему не задавать лишних вопросов. 

Ван Бендегем, который впоследствии стал ведущим специалистом по ультрафинитистской логике, обратился к геометрии, в которой у линии или кривой есть ширина, а сама она конечна и делится на конечное число частей. Её можно разбить на точки — крошечные, но не бесконечно малые. Всё, что строится из таких точек, линий и кривых, тоже конечно, и получается дискретный аналог классической геометрии. Возможности этих инструментов пока ограничены, но последние несколько десятилетий их подробно изучают. И не только ради ультрафинитизма: чтобы построить конечную физику, нужно понимать, какую форму имеют вещи.

Хотя мы часто представляем физическую Вселенную как бесконечно обширную и бесконечно делимую, сами физики ставят под сомнение это предположение. Существуют фундаментальные ограничения — например, планковская длина, которую иногда называют «пикселем Вселенной». На меньших масштабах само понятие расстояния теряет смысл. А бесконечности в уравнениях физики обычно считают проблемой, от которой хочется избавиться. «Предсказывать, чего ждать во Вселенной, которая растёт без границ, повторяет саму себя и так далее, оказывается очень, очень трудно», — говорит Шон Кэрролл, физик из Университета Джонса Хопкинса, который пробовал строить  финитистские модели квантовой механики. «Большинство космологов справляются с этим просто: делают вид, что проблемы нет».

Для Николаса Гизина, квантового физика из Конструкторского университета в Бремене (Германия) и Женевского университета, интуиционистская математика — способ по-новому взглянуть на одну из главных загадок физики: на больших масштабах поведение физических систем детерминировано, предсказуемо. Но в квантовой области царит случайность: частица может находиться сразу в нескольких квантовых состояниях, а при измерении непредсказуемо «выбирает» одно из них. Физики уже целый век пытаются понять, откуда берётся это расхождение. 

По мнению Гизина, всё дело в ошибочном допущении. Исследователи негласно исходят из того, что с момента рождения Вселенной квантовое состояние частицы можно задать с бесконечной точностью — вещественными числами с бесконечным количеством знаков. Но опираться на вещественные числа, считает Гизин, — ошибка. Если вместо этого использовать интуиционистскую математику, то становится ясно, что детерминизм — лишь следствие того, что мы приписываем системам нереалистично точную информацию. Тогда поведение крупных систем естественным образом становится неточным и непредсказуемым, а граница между классическим и квантовым мирами стирается. Идея заинтересовала других физиков — в том числе потому, что она может помочь разрешить парадоксы, связанные с такими явлениями, как Большой взрыв.

При этом потенциальную бесконечность в аристотелевском смысле Гизин не отменяет: информации во Вселенной может становиться всё больше, но бесконечно точной она станет лишь через бесконечное время. «А это не имеет ничего общего с реальностью», — говорит Гизин. Главное, что бесконечность больше не принимается по умолчанию. 

Такие возражения со стороны физики обычно приводят математиков-ультрафинитистов в восторг: в них видят доказательство того, что их математика точнее описывает реальность. На конференции 2025 года Кэрролл выступил с докладом о том, бесконечна ли Вселенная или, как он выразился, «просто очень велика». Но бремя доказательства, предупреждает он, по-прежнему лежит на тех, кто сомневается в бесконечности. Если бы удалось экспериментально доказать, что Вселенная конечна, даже самые ярые сторонники высших бесконечностей, скорее всего, остановились бы и задумались. Хотя и тогда специалисты по теории множеств вправе сказать, что здесь пути физики и математики просто расходятся, а бесконечность живёт в каком-то более широком, платоновском смысле.

А вот если эти эксперименты доказали обратное — что бесконечность существует в природе, — у ультрафинитистов было бы гораздо меньше возможностей для маневра. «Трудно было бы оставаться ультрафинитистом, если бы в реальном мире нашлись бесконечности», — сказал Кэрролл. 

Поиск общего языка

По мнению Кэрролла, ультрафинитисты плохо продвигают свой продукт.

В математике лучшей рекламой, вероятно, стала бы стройная теория вроде той, что искал Нельсон. Это был бы набор формальных правил наподобие тех, на которых стоит современная математика, — без бесконечности, но достаточно мощный, чтобы на нём строить полезную математику.

По словам Кларка-Доана, недостатка в идеях нет, хотя, возможно, не хватает аспирантов, готовых рискнуть карьерой на самом её старте ради этих идей. Встречу в Нью-Йорке он считает признаком перемен: людям хватает любопытства, чтобы взглянуть на эти идеи ещё раз, и они уже не так боятся осуждения коллег.

Но большинства математиков всё это не касается. Формальные теории, охватывающие математику целиком, их не интересуют. Им важно то, что работает: решать конкретные задачи и строить доказательства. Фундаментальные вопросы — существуют ли числа за пределами физической реальности? Математику изобретают или открывают? — кажутся им немного неловкими — такими вещами математики занимаются, только когда однажды просыпаются в кризисе.

Однако математик-практик вполне может найти общий язык с Цайльбергером: того доводы теоретиков множеств и философов тоже не волнуют. Его метод — беспощадный прагматизм: разобрать математику по частям и спросить, что из этого действительно нужно. Возможно, говорит он, мы слишком много предполагали, слишком привыкли принимать бесконечность по умолчанию, поверили в иллюзии. Не нужно объявлять себя ультрафинитистом, чтобы получить от этого удовольствие и добавить этот взгляд в меню честных вариантов.

Цайльбергер любит цитировать собственные слова из документального фильма BBC 2010 года — своих, как он считает, 15 секунд славы. «Бесконечность может существовать, а может и нет; Бог может существовать, а может и нет, — сказал он. — Но в математике не должно быть места ни для бесконечности, ни для Бога». Так он заочно отвечал Хью Вудину — ведущему специалисту по теории множеств и одному из самых бесстрашных исследователей высших бесконечностей. Вудин сказал, что ему жаль Цайльбергера: тот не способен взглянуть на небо и ощутить красоту бесконечного пространства. «Мне жаль его: ему нужен опиум бесконечности, чтобы жить дальше, — говорит Цайльбергер. — В деревьях и в земле столько красоты. Незачем обращаться к вымыслу».

«Так что мы жалеем друг друга», — говорит он. Каждый — о том, что другой заперт в мире веры, которую сам себе выбрал. 

Автор перевода @arielf

НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:
-15% на заказ нового VDS — HABRFIRSTVDS.

Положение об акции