Данная заметка продолжает тему популярной гипотезы.
Если интересно, то начало от 27.12.2024 здесь:
https://habr.com/ru/articles/870220/ (ru)
https://habr.com/ru/articles/870404/ (en)
Среди прочего, там была высказана мысль, что окончательное доказательство должно быть сторонним по отношению к алгоритму Коллатца. Именно такое доказательство, почему алгоритм сходится к 1 и никогда не расходится, появилось. Новая статья опять, извините, mustread, как для профессионалов, так и любителей гипотезы Коллатца. Опубликована 26.09.2025 на сайте Academia.edu.
Однозначное доказательство и расширение гипотезы Коллатца
https://www.academia.edu/144161052 (ru)
A distinct proof and extension of the Collatz conjecture
https://www.academia.edu/144160827 (en)
Статья (12 страниц) с картинками (8 штук). Для быстрого понимания логика доказательства выделена в отдельный раздел на одну страницу. Коротко суть отражена в аннотации: «Представлено доказательство от противного гипотезы Коллатца на основе конструктивно-топологического подхода с использованием средних геометрических свойств структур сети, порожденной алгоритмом 3n+1. Ключевое противоречие выявлено методом «конструктивной индукции» и связано с обнаруженным инвариантом — «делимостью сети». Доказательство переносимо и на другие алгоритмы, что дало основание сформулировать расширение оригинальной гипотезы на алгоритмы типа Коллатца, но с операцией деления на любое целое число, не только 2.» Еще короче: доказано, что расходимость алгоритма запрещена.
В результате нет ничего неожиданного, это должно было случиться раньше. Но мешала, как представляется, исходно неудачная концептуализация гипотезы Коллатца как задачи о поведении числовых последовательностей. Более адекватной оказалась ее трактовка как задачи об устройстве соответствующей сети.
Комментарии (12)
Wosk1947
27.09.2025 13:05Я не математик, и большую часть статьи сходу понять у меня не получается, но финал доказательства у меня вызывает вопрос. Вы утверждаете, что некая метрика D у бескорневой подсети должна быть строго меньше 3.5. А средний D по всем подсетям ~4. И это вы считаете противоречием, которое доказывает гипотезу от противного. Но вы сравниваете среднее значение со строгим - если среднее D ~ 4, это не значит, что какое-то из них не может быть меньше 3.5, разве нет?
mbok Автор
27.09.2025 13:05Дело в том, что противоречат две оценки (гипотетическая и реальная) делимости D для одной сущности - бескорневой подсети.
Причина Вашего недопонимания в этом месте "средний D по всем подсетям" - в статье подобного нет. Есть D по любой подсети.
wataru
27.09.2025 13:05Стандартный тест: если заменить 3n+1 на 5n+1, что именно в вашем доказательстве сломается? Потому что для этой модификации есть нетривиальные циклы, не содержащие 1. Прямо в первой сотне чисел - они руками даже находятся на бумажке.
Более того, в статье вроде как утверждается, что для 5 гипотеза верна:
5n−1/2 — аналог алгоритма Коллатца: единственный корень (1).
Что абсолютно не верно.
Так что где-то у вас в рассуждениях косяки.
mbok Автор
27.09.2025 13:05Косяков нет. Просто Вы невнимательны:
страница 9
"при a = 5 противоречия не возникает"
Это значит, у алгоритмов 5n−1/2 и 5n+1/2 запрета на бескорневую подсеть нет.
Доказательство работает - делает правильный вывод о присутствии расходимости.страница 11
5n−1/2 — аналог алгоритма Коллатца: единственный корень (1). Наличие
одного корня делает обязательным корневое дерево, критерий разрешает
бескорневую подсеть, последовательности в корневом дереве сходятся, в
бескорневой подсети расходятся.
5n+1/2 — 3 циклических корня (1, 3), (13, 83, 33), (17, 27, 43). Наличие
трех корней делает обязательным 3 корневых дерева, критерий разрешает
бескорневую подсеть, последовательности в корневых деревьях сходятся, в
бескорневой подсети — расходятся.5n−1/2 — аналог алгоритма Коллатца по единственности корня.
wataru
27.09.2025 13:05Перечитал статью. Косяки есть:
Сходимость любого алгоритма типа Коллатца гарантирована в случае
односвязной сети с единственным корнем.Не гарантированна а эквивалентна. Это просто переформулировка гипотезы.
Напомним постановку задачи по итогу первой статьи [1]. У алгоритма
Коллатца единственный корень 1, порожденный тривиальным циклом.У вас еще первая статья с ошибками в доказательстве. Там как раз все аргументы ложатся на 5n+1 точно так же как для 3n+1. То, что никто пока перебором нетривиальные цикл для 3n+1 не нашел - не является математическим доказательством.
И аргументы вида "наиболее благоприятным для существования циклов является значение D = ±1". Не доказательство, что при |D| != 1 циклов нет, а просто "наиболее благоприятное". Я вам к прошлой статье контр-пример ваших аргументов даже привел (при D != 1 циклы есть в 5n+1 например), вы на него так и не ответили по существу: https://habr.com/ru/articles/870220/#comment_27724232
В этой статье вы рассматриваете односвязность сети, если типа единственный корень уже доказан. Но и односвязность вы тут не доказали.
Темп прогрессии Az при любом конечном стартовом ключе n1 монотонно убывает с ростом числа шагов
Ну, допустим, но только потому что мы зачем-то кроень z-ой степени извлекаем.
Расчетная проверка для алгоритма 3n+1 показывает, что делимость сети Δ вначале волатильна, затем дрейфует с затуханием вблизи 4 (см. Рис. 4
Расчетная проверка - это не "однозначное" доказательство. Так-то расчетная проверка для чисел до 10^18 а то и больше показала, что они все сходятся в 1. Но гипотеза Коллатца все еще считается не доказанной.
Поэтому без ущерба для сути можно принять, что делимость сети равна 4
Нет. 4 - это средняя делимость всех чисел. Но бесконечная нисходящая сеть может проходить только по каким-то особенным числам и иметь делимость как угодно отличающуюся от 4.
А из сохраняющегося неравенства делаем вывод, что нарушающая гипотезу Коллатца бескорневая подсеть должна иметь среднюю делимость D < 3.5, и эту оценку можно ужесточать вплоть до 3+, увеличивая длину цепочек.
Да, и вы пока нигде не доказали, что таких нет.
Далее вы почему-то переходите от этих цепочек к их обратным, что вообще-то не то, чтобы эквивалентно, и пытаетесь доказать, что уж там-то делимость достигает примерно 4.
Далее, основа аргумента - что строки типа альфа и бета чередуются и вроде как поэтому среднее близко к 4, ведь среднее по всем альфа - 3 а по бета - 7. Но! А что если внутри этих типов строк все не равномерно и среди альфа 2^1 встречается сильно чаще чем должно, а в бета - 2^2. Тогда среднее будет (2+4)/2 = 3, если именно эти делители доминируют.
Вам чтобы передел найти надо доказать вероятности всех делиетей, а не групп альфа и бета.
Другим «убийственным» аргументом в пользу существования инварианта
является наша Таблица для алгоритма 3n+3Таблица - не доказательство в математике. Я вам могу привести таблицу: 3 - простое, 4 - не простое, 5 - простое, 6 - не простое, 7 - простое, 8 - не простое. Эта таблица "убийственно" доказывает, что все нечетные числа, больше 1 - простые.
mbok Автор
27.09.2025 13:05Не собираюсь разбирать всю эту мешанину. Это бесполезно.
Первая статья не содержала в названии слова "доказательство",
она была о новом подходе, с демонстрацией его продуктивности.Строго гипотеза Коллатца верна, если корень 1 единственный.
Именно это написано в новой постановке задачи - см. страницу 9.Выискивая "косяки", Вы даже не поняли главного в новой статье:
независимо от того сколько корней и какие корни у алгоритма,
доказано, что все алгоритмы этого типа сходятся к своим корням,
если выполнен критерий a<Δ(c), запрещающий бескорневую подсеть.wataru
27.09.2025 13:05Т.е. статья, озаглавленная "Однозначное доказательство и расширение гипотезы Коллатца" не является доказательством собственно гипотезы? А лишь доказывает одну ее часть в предположении, что вторая ее часть верна?
доказано, что все алгоритмы этого типа сходятся к своим корням, если выполнен критерий a<Δ(c)
Не доказано же. Я вам указал на проблему. Конкретно, не верно вот это утверждение:
Единственное возможное объяснение для D < 3.5 — перераспределение в пользу бескорневой подсети «плохих» указателей с наименьшей делимостью 2^1
Нет, не единственное. Можно оставить количество 2^1 неизменным и увеличить количество 2^2 за счет всех остальных, которые еще больше. Тогда среднее станет меньше.
Более того, вы не доказали, что нет перераспределения в пользу 2^1, вы лишь доказали, что совокупно 2^1,2^3,2^5,... дают половину вхождений, как и должны. То, что внутри между собой они не перераспределены вы не доказали.
mbok Автор
27.09.2025 13:05Вот на последний вопрос действительно стоит ответить.
Дело в том, что мы имеем дело с сетью. Чтобы было понятнее,
придется загрузить картинку - визуализацию сети 3n+1/2.Любой ключ (нечетное число) принадлежит какой-то подсети и неизбежно
вовлекает в ту же подсеть ВСЕ другие ключи, на которые ведет
вся серия указателей (четные числа 3n+1) в его строке.
Серия указателей дает ряд делителей (2 типа - альфа и бетта).
Обе сущности ассоциированы одному ключу и НЕРАЗРЫВНЫ.
Поэтому перераспределение делителей в строках невозможно.
Перераспределяться между разными подсетями могут только
строки целиком - они же ключи, серии указателей, ряды делителей.
wataru
27.09.2025 13:05Не собираюсь разбирать всю эту мешанину.
А вообще обидно. Я, вот, не поленился вашу мешанину разобрать. Потрудитесь и вы.
Sixshaman
Лучше бы задачу Антигидры рассмотрели.
И легче Коллатца, и принесёт пользу — поможет найти значение BB(6).