Величайшие математические успехи искусственного интеллекта связаны с решениями задач, поставленных неординарным ученым середины XX века. Изучая особенности задач Эрдёша, математики пытаются понять, как искусственный интеллект может изменить остальные области математики.

20 мая 2026 года компания OpenAI сделала заявление, которое потрясло математический мир. Внутренняя модель ИИ — недоступная для широкой публики — нашла контрпример к задаче «единичного расстояния», гипотезе, выдвинутой в 1946 году Полом Эрдёшом, плодовитым венгерским математиком, любившим переезжать с место на место.

Эрдёш сформулировал тысячи вопросов, но этот был особенным: его было просто объяснить, и при этом он отличался большой математической глубиной. Это было первое исторически значимое доказательство, полученное с помощью модели искусственного интеллекта. Хотя модель выдала не окончательный результат — математики‑люди существенно его усовершенствовали в течение нескольких недель — он был новаторским, поскольку использовал идеи из отдаленной области математики, которые ранее никто не применял к этой задаче. И он оказал большое влияние: в течение нескольких дней аналогичные методы уже использовались для решения других важных задач.

Затем 1 августа компания OpenAI объявила, что еще не выпущенная модель под названием Astra добилась 10 дополнительных математических прорывов, в том числе нашла решения еще для трех задач, поставленных Эрдёшем.

Многие математики оценили подобные достижения как фазовый переход в математических возможностях моделей искусственного интеллекта. Эти модели «радикально меняют подход к проведению математических исследований», — отметила Нога Алон из Принстонского университета, которая за свою многолетнюю карьеру решила десятки задач Эрдёша.

Эрдёш и его гипотезы давно увлекают математиков. Он постоянно путешествовал — годами жил на чемоданах, останавливаясь у друзей и практически ничего не имея. Он сыпал задачами в опубликованных статьях и письмах к математикам по всему миру, часто прилагая призовые деньги, которые он выплачивал из собственного кармана первому, кто найдёт решение. Награда могла составлять символические 10 или 25 долларов, а за задачи, которые он считал важными или сложными, могла достигать тысяч. Эрдёш умер от сердечного приступа в 1996 году во время математической конференции в Варшаве, но некоммерческий фонд, базирующийся в Айове, пообещал выплатить обещанные им вознаграждения.

Он был всеми любимой личностью, но при этом и чрезвычайно эксцентричным человеком. Он носил исключительно шелковую одежду и избегал физического контакта с другими людьми. Будучи глубоко циничным по отношению к властям, он раздавал большую часть заработанных денег и доверял управление своими финансами и другими практическими делами своему другу. Он называл Бога «Верховным фашистом» и подпитывал свой неустанный поток математических идей постоянным приемом амфетаминов. Странная ирония истории заключается в том, что предложенные им задачи теперь стали главной испытательной площадкой — и, по сути, серией пиар‑прорывов — для крупнейших и влиятельнейших технологических компаний мира.

Но, по всей вероятности, ничего этого не произошло бы, если бы не английский математик по имени Томас Блум.

Многочисленные встречи

Как и Эрдёш, Блум интересовался как теорией чисел, так и комбинаторикой. В центре его внимания находилась область, называемая арифметической комбинаторикой, которая лежит на пересечении этих двух дисциплин. Получив докторскую степень в 2014 году, Блум зарекомендовал себя как восходящая звезда в этой области, получив престижную стипендию от Британского Королевского общества, позволившую ему работать практически в любом университете, где он хотел. (Сейчас он работает в Манчестерском университете.)

Блум, насколько он себя помнит, всегда восхищался стилем Эрдёша. Но ему всегда было сложно отслеживать, какие задачи были решены, а какие — полностью забыты. Поэтому в начале 2023 года он решил собрать как можно больше задач в один список.

Он создал его для личного пользования. Но «я подумал, что было бы проще, если бы я мог получить к нему доступ, где бы я ни находился», — сказал он; он решил, что «может, стоит создать сайт, в некотором роде рассчитывая, что, возможно, никто им и не воспользуется». Он собрал пару сотен задач и запустил сайт erdosproblems.com. Блум использовал ChatGPT для написания кода на Python, на котором работал сайт, что на тот момент было замечательным достижением для большой языковой модели. Использование такой модели для совместной работы над самими математическими задачами по‑прежнему казалось лишь отдаленной возможностью.

Его цель заключалась не просто в том, чтобы вычеркивать пункты из списка. Он задавался вопросом, сможет ли «современная математика, часто использующая методы, неизвестные Эрдёшу, прояснить многие из этих более непонятных задач», — написал он в посте в блоге. «Тогда у нас останется ядро интересных, сложных задач, которые могут послужить демонстрацией пределов наших знаний».

Блум проделал огромную работу по составлению списка: иногда Эрдёш формулировал задачи неоднозначно или нечетко, и Блум выяснял, какая версия каждой задачи будет наиболее понятной. Он продолжал добавлять задачи на сайт, и постепенно его аудитория росла. В течение 2024 года и первых восьми месяцев 2025 года статус 111 задач из списка был изменён с «открытая» на «решённая» (хотя некоторые из них были решены ещё много лет назад, и изменение их статуса отражало повторное открытие или проверку доказательства).

Затем, в августе 2025 года, некоторые коллеги предложили Блуму добавить функцию комментариев, чтобы люди могли обсуждать интересующие их задачи. Ему удалось сделать это быстро, используя ChatGPT для написания кода. К тому моменту он каталогизировал почти 1 000 задач.

Блум выбрал удачный момент. Он дал возможность единомышленникам общаться друг с другом, и это, по его словам, «реально позволило сформироваться сообществу». В большинстве случаев комментарии появлялись спорадически — к одной задаче мог появиться единственный комментарий, в котором приводился пример или отмечалось, насколько сложной она казалась. Но активность неуклонно росла, и некоторые задачи становились катализаторами тонких математических дискуссий между незнакомыми людьми.

«Том, наверное, так и не осознал этого, но для меня это, честно говоря, изменило жизнь», — сказал Вутер ван Доорн, занимающий четвертое место по количеству комментариев на сайте Bloom. Как и многие, кто стал активно участвовать в жизни сайта осенью 2025 года, ван Доорн не является профессиональным математиком в полном смысле этого слова. Он работает «в компании, которую нанимают другие компании для оказания услуг по поддержке клиентов», как он сам выразился. Но и любителем его тоже не назовешь — десять лет назад он почти получил степень магистра математики в Левенском католическом университете (KU Leuven) в Бельгии. В 2024 году, отчасти вдохновленный тем, насколько способными, по его мнению, становились большие языковые модели (LLM), он взял шестимесячный отпуск, чтобы сосредоточиться на математике. В то время, хотя он и не стремился использовать ИИ, он помнит, как думал: «Сейчас я всё ещё лучше разбираюсь в математике, чем ИИ, но кто знает, как будет через год, два, пять лет? Если я хочу завершить эти проекты и хочу, чтобы они были моими, то сейчас самое время».

Задача 1102

Скажем, что A⊆N обладает свойством P, если для всех n≥1 существует только конечное число a∈A, таких что n+a не содержит квадратов (одинаковых множителей). Скажем, что A обладает свойством Q, если существует бесконечное число n, таких что n+a не содержит квадратов для всех a<n. Насколько быстро должны нарастать последовательности A={a1<a2<⋯}, обладающие свойствами P или Q?

Итак, в октябре 2025 года ван Доорн, к тому времени вернувшийся к своей основной работе, оставил первый комментарий на странице задачи № 1102. В задаче, поставленной Эрдёшом в 1981 году, речь идёт о свойствах множеств «бесквадратных» целых чисел — то есть целых чисел, в которых нет повторяющихся простых делителей. (Например, число 30 является бесквадратным, поскольку раскладывается на множители как 2 × 3 × 5, а 18 — нет, поскольку равняется 2 × 3 × 3; тут цифра 3 повторяется.)

В начале ноября ван Доорн поделился результатами своих исследований, направленных на поиск ответа — который он нашел, не прибегая к ИИ, — в виде комментария на странице задачи.

Позже в тот же день другой комментатор на сайте ответил, заявив, что обнаружил ошибку в рассуждениях ван Доорна. Оба быстро обменялись замечаниями, и ван Доорн убедил своего собеседника в правильности своих выводов. «Теперь я понимаю, как работает ваша аргументация. Отлично!» — ответил другой математик. Этим другим математиком был Теренс Тао, профессор Калифорнийского университета в Лос‑Анджелесе, который, пожалуй, является самым известным из ныне живущих математиков и, бесспорно, одним из самых влиятельных. (Не случайно, когда Тао было всего 10 лет, он пересекся с Эрдёшем.)

Сайт Блума, напоминавший по своему стилю и атмосфере былые времена, становился примером интернета в его лучшем демократическом проявлении. «Вся эта совместная работа была бы невозможна без сайта Тома и раздела комментариев на нем», — сказал ван Доорн. Не имело значения, есть ли у вас постоянная должность или нет, молоды вы или пожилые, учитесь ли вы в престижном университете или вообще учитесь ли в университете. Если вы хотели заниматься математикой и у вас были хорошие идеи, вы могли найти людей для совместной работы.

Но с наступлением зимы — примерно в то же время, когда ван Доорн начал сотрудничать с Терри Тао, — ситуация начала меняться.

Путь к перекрёстку

Кевин Баррето и Лиам Прайс, обоим по 20 с небольшим лет, подружились летом 2025 года на сервере Discord, посвящённом искусственному интеллекту. Баррето в настоящее время учится на бакалавра в Кембриджском университете; Прайс изучал математику в колледже, но бросил учёбу, не закончив её. В декабре, убедившись, что новейшие модели ИИ могут успешно решить некоторые задачи Эрдёша, они начали засыпать их целыми партиями задач. Они довольно рано поняли, что если сказать GPT-5.2, что ответ на задачу неизвестен, он не сможет добиться значительного прогресса, поэтому, как выразился Баррето, они научились «давать ему подсказки очень особым образом, манипулируя им, и заставляя его считать, что задача проще, чем на самом деле».

Задача 333

Пусть A⊆N — множество с нулевой плотностью. Существует ли B такое, что A⊆B+B и |B∩{1,…,N}|=o(N¹/²) для всех больших N?

Они добились того, что, как им казалось, стало их первым триумфом в решении задачи Эрдёша № 333. Ранним утром в Рождество Баррето опубликовал доказательство на сайте Блума, написав: «Насколько нам известно, это первый случай, когда LLM полностью самостоятельно решил задачу Эрдёша, которую ранее не удавалось решить людям». Несмотря на то что задача № 333, посвящённая суммам множеств целых чисел, не была особенно важной, её решение с помощью ИИ всё же казалось значимым.

Однако спустя несколько часов другой пользователь указал, что сам Эрдёш привёл решение задачи № 333 в статье, опубликованной в 1977 году. Баррето признал свою ошибку. «Я официально прошу всех участников сайта уделять больше внимания поиску литературы по задачам, которые в настоящее время обозначены как открытые», — написал он. «Как человеку, который уже дважды попадался на этом, мне очень больно».

Задача 728

Пусть C > 0 и ϵ > 0 — достаточно малые величины. Существует ли бесконечное множество целых чисел a, b, n, таких что a ≥ ϵn и b ≥ ϵn, при которых a!b! ∣ n!(a + b — n)! и a + b > n + C logn?

Не сдаваясь, он и Прайс продолжали работу, и к 4 января 2026 года с помощью GPT-5.2 Pro им удалось найти решение задачи Эрдёша 728 — задачи о том, когда одни числа делятся на другие. На этот раз никто не смог найти ранее опубликованных работ, в которых это уже было доказано. Баррето использовал другой инструмент искусственного интеллекта под названием Aristotle (разработанный стартапом Harmonic), чтобы убедиться в логической целостности доказательства. Нэт Сотанафан, инженер‑программист и единственный участник форума, более плодовитый, чем Блум, Тао и ван Доорн, поручил ChatGPT сформулировать формализованный результат и опубликовал его в Интернете.

Прайс разработал методологию того, как просить LLM решать открытые вопросы. Сначала он просил чат‑бота предложить решение. Затем он вводил это решение в новый экземпляр чат‑бота, прося его проверить работу предыдущего чат‑бота. Он повторял этот процесс до тех пор, пока не получал то, что выглядело как работоспособное решение. (Это перекликается с некоторыми методами, которые компании применяют внутри своих организаций для создания так называемых «харнессов» или «скафолдов» — инструментов, автоматизирующих итерации, которые Прайс выполняет вручную.)

Работы Баррето и Прайса представляют собой лишь небольшую часть из множества задач Эрдёша, которые за последние несколько месяцев были решены искусственным интеллектом, по крайней мере частично. Существует множество причин, по которым именно эти задачи стали столь плодотворной тестовой площадкой для больших языковых моделей. Главная из них заключается в том, что, в целом, задачи Эрдёша относятся к теории чисел, комбинаторике и теории графов — всем тем областям математики, которые оказались более доступными для больших языковых моделей, чем другие. Кроме того, эти задачи значительно различаются по уровню сложности и математической значимости. Такое разнообразие делает их подходящими для зарождающейся технологии, возможности которой также широко варьируются.

«За многие из моих недавних статей в основном следует благодарить ИИ», — сказал ван Доорн. «Идеи, заложенные в них, не были придуманы мной самим». Как и многие участники сайта Эрдёша, ван Доорн воодушевлён тем, как большие языковые модели (LLM) позволяют ему делать больше дел и делать их быстрее. «Если я читаю идею, сгенерированную LLM, я её осмысливаю, пытаюсь понять, упростить и обобщить», — сказал он. Он использует ИИ, чтобы лучше понимать математику.

Не все придерживаются этого стандарта. «Большая проблема заключается в том, что ИИ широко используется людьми, которые не являются математиками, не обладают глубокими математическими знаниями и не способны проверить полученные результаты», — сказал Блум. «Им нравится действовать быстро: они просят свой ИИ проверить результаты, и эта практика набирает всё большие обороты. Мы видим всё больше таких статей объёмом от 100 до 200 страниц, которые люди публикуют. „Я доказал эту теорему; я заставил ИИ сгенерировать доказательство, проверить его и написать статью“. Но ни один человек этого не читал, и никто не собирается это читать. Сейчас это огромная проблема».

Задача 1196

Верно ли, что для любого x, если A⊂[x,∞) — примитивное множество целых чисел (то есть никакие разные элементы A не делятся друг на друга), то ∑a∈A1aloga<1+o(1), где член o(1) стремится к 0 при x→∞?

По собственной оценке Прайса, у него недостаточно математических знаний, чтобы проверить решения, которые он в конечном итоге извлекает из LLM. Но с помощью Баррето ему удалось найти математиков, обладающих достаточными знаниями и готовых проверить эти результаты. И Прайс, и Баррето являются соавторами вместе с Тао, Джаредом Дукером Лихтманом из Стэнфордского университета и другими выдающимися математиками статьи, опубликованной в мае 2026 года, в которой решена задача Эрдёша № 1196 — один из их наиболее значимых результатов. (Проблема № 1196 касается возможного размера так называемых примитивных множеств — наборов целых чисел, таких как {2, 5, 9, 21}, в которых числа не делятся друг на друга.)

Блум был удивлен тем, что, несмотря на пристальное внимание со стороны OpenAI, Google DeepMind и ряда стартапов, большинство новых результатов было получено любителями и студентами, использующими общедоступные модели большого языкового обучения (LLM), а не корпоративными лабораториями, работающими с более совершенными внутренними моделями.

Но ситуация изменилась несколько недель спустя, 20 мая 2026 года, когда OpenAI объявила о решении одной из самых известных задач Эрдёша — задачи о единичном расстоянии.

Многочисленные расставания

В первые месяцы 2026 года крупные технологические компании начали видеть перспективу в сайте erdosproblems.com. Как пояснил Лихтман: «У Эрдёша было более 1000 статей. Они были разрозненными». Один институт в Венгрии собрал отсканированные изображения многих из этих статей, но никто не собрал все задачи. «Найдя такой единый репозиторий, доступный любому, исследовательские лаборатории поняли, что он может стать эффективным эталоном».

В январе команда из 24 исследователей под руководством Google DeepMind опубликовала статью, в которой сообщалось о решении четырёх задач и обнаружении старых, забытых решений ещё девяти задач после «систематической оценки с помощью Gemini 700 гипотез, помеченных как „нерешённые“ в базе данных задач Эрдёша, составленной Блумом». В мае отдельная команда DeepMind из 21 исследователя объявила, что их «наиболее способный агент самостоятельно решил 9 из 353 нерешенных задач Эрдёша, при этом затраты на решение каждой задачи составили несколько сотен долларов». (На момент публикации этой статьи база данных Блума содержит 565 решенных задач и 652 открытых, но команда DeepMind сузила свой поиск до задач, сформулированных в терминах формальной логики.)

Кроме того, 20 мая компания OpenAI опубликовала решение задачи о расстоянии между точками, а также запись в блоге с объяснением проделанной работы и сопутствующую статью, в которой девять математиков мирового уровня прокомментировали правильность доказательства и важность проделанной работы (а также представили упрощённую версию результата, доступную для понимания широкой аудитории). Математики в целом считали, что гипотеза Эрдёша — о том, сколько равномерно распределенных точек можно разместить на плоскости — верна. К всеобщему удивлению, внутренняя модель OpenAI нашла контрпример. Для этого она обнаружила сложный способ использования инструментов из области математики, называемой алгебраической теорией чисел. Как написал Яков Цимерман из Университета Торонто в сопроводительной статье: «Это действительно впечатляющая работа. … Это, безусловно, внушающая уважение конструкция».

В той же статье Тим Гоуэрс из Кембриджа и Коллежа де Франс написал: «Если бы эту статью написал человек и представил в журнал „Annals of Mathematics“, а меня попросили бы высказать краткое мнение, я бы без колебаний рекомендовал её принять. Ни одно из предыдущих доказательств, сгенерированных ИИ, даже близко не подходила к этому».

В качестве автора статьи, в которой было представлено оригинальное решение, было указано просто «OpenAI».

Позже, используя методы, схожие с теми, которые модель ИИ применила к задаче о единичном расстоянии, группа из четырёх математиков, в том числе Блум, опровергла одну из версий другой давней гипотезы Эрдёша. Гипотеза «сумма‑произведение» гласила, что если имеются множества чисел, то либо их сумма, либо их произведение должны расти быстро. Математики нашли множество действительных чисел, для которых и сумма, и произведение растут медленнее, чем ожидалось. Гипотеза для целых чисел остаётся нерешённой.

Чтобы понять, какое влияние ИИ окажет на математику и математиков, нужно не только обратить внимание на его наиболее важные результаты, но и проанализировать, как он меняет повседневную практику решения обычных задач. Нога Алон, математик из Принстона, подсчитал, что за свою карьеру он решил несколько десятков задач Эрдёша. Теперь он перестал пытаться. «Как только ИИ начал их решать, в этом больше нет смысла», — сказал он. Терри Тао отошел от сообщества, занимающегося задачами Эрдёша, чтобы сосредоточиться на выполнении своей работы.

Ван Доорн, который пока что продолжает работать по основной специальности в компании, занимающейся обслуживанием клиентов, отметил, что большие языковые модели (LLM) «явно лучше меня думают и решают математические задачи. Я не иду ни в какое сравнение с современными системами ИИ». Однако он добавил: «Доказательства, которые я в конечном итоге пишу, проще, более общие и легче читаются для других людей, чем то, что придумал ChatGPT». ИИ, бесспорно, повысил его продуктивность, и он по‑прежнему получает от этого удовольствие. «Если вы хотите играть на фортепиано, вы же не наймете машину, которая играет лучше вас. Вы будете играть на фортепиано, потому что вам нравится играть на фортепиано. Мне нравится размышлять о числах, заниматься математикой, писать статьи. Я не собираюсь нанимать машину для написания статей, которая будет делать это за меня».

Для ван Доорна радость заключается в том, чтобы осмысливать ответы, которые он получает от LLM. «В последнее время я много занимаюсь математикой благодаря сообществу, занимающемуся задачами Эрдёша. Раньше я делал всё сам, в одиночку мучился в своей комнате. Не знаю, как это произошло, но сейчас люди обращаются ко мне и говорят: „У меня есть такая идея. Не хочешь присоединиться ко мне и поразмышлять над ней?“»

Растущие возможности ИИ упростили решение головоломок для таких людей, как Прайс или ван Доорн, имеющих меньшую математическую подготовку, в то же время сделав эти головоломки менее интересными для таких людей, как Алон, посвятивших всю жизнь их изучению.

Тем не менее, «многие, а возможно, и большинство хороших математиков будут использовать ИИ», — сказал Алон. Он отмечает, что ряд первоклассных математиков покинули академическую среду, чтобы работать в компаниях, занимающихся ИИ, не только потому, что им за это хорошо платят, но и потому, что «возможно, именно там сейчас происходит самое интересное». В июле 2026 года, в тот же день, когда Цимерман был удостоен медали Филдса — высшей награды в области математики, — он объявил, что покидает академическую среду, чтобы устроиться на работу в OpenAI.

В чем заключается задача о равном расстоянии между парами точек?

Предположим, вы хотите расположить точки на плоскости так, чтобы образовать пары точек, расстояние между которыми одинаково. Как можно создать максимальное количество таких пар?

Если расположить точки так, чтобы они образовывали многоугольники, такие как квадраты и пятиугольники, вы получите столько же пар, сколько у вас точек.

Но если разместить точки в виде решетки, можно создать значительно больше равноудаленных пар.

Эрдёш выдвинул гипотезу, что добиться значительно лучшего результата невозможно. На протяжении 80 лет математики в целом считали, что он был прав.

Но Эрдёш ошибался. Компания OpenAI обнаружила закономерность (подобную показанной ниже), которая при заданном количестве точек позволяет получить больше пар, чем решетка.