В предыдущей части была рассмотрена предыстория комплексных чисел: от их первого открытия до понимания и умения их широко использовать в науке прошли сотни лет. Комплексные числа впервые возникли как артефакт вычислений в работе Кардано 1545-го года и вплоть до конца XVIII века их статус оставался нестабильным, шли научные дискуссии об уместности их употребления и интерпретации.

Современные изложения теории комплексных чисел выглядят «магически» и непонятно для многих людей именно потому, что, как правило, разрыв между непониманием XVIII века и теориями XIX века не покрыт. Сначала предлагается изучить основы теории комплексных чисел в том виде, в которой они были сформулированы в середине XVIII века, а потом сразу делается скачок к теориям, созданным в середине XIX века.

Ключевой шаг понимания мнимых единиц, сделанный человечеством в начале XIX века присутствует только в виде готовой векторной интерпретации комплексных чисел, которая дается без всякого пояснения, откуда и зачем она взялась, и что же она объясняет. Интерпретация есть, а смысла за ней нет. Концептуальные проблемы, связанные с комплексными числами, не только не решаются с помощью нее, но и даже не ставятся.

В итоге получается изложение теории, которое невозможно понять: сначала вводится бессмысленный символ, который в квадрате дает минус единицу, затем без всякой мотивировки вводится комплексная плоскость, которая делает происходящее еще более запутанным, а после и вовсе происходит какая-то магия: вдруг возникают тригонометрические формулы и степени, которые «доказываются» с помощью формул Тейлора. Проблема с этими «доказательствами» не только в том, что они ничего не объясняют, но и в том, что они вообще ничего не доказывают, потому что использование формул Тейлора для функций комплексного переменного требует доказательства множества теорем комплексного анализа, которые сами основаны на теории комплексных чисел.

Конечно, можно изложить все аккуратно, следуя подходу через формулу Тейлора, но так почти никогда не делается в учебных курсах и учебниках, да и к тому же такой подход выглядит очень странным: формулы, которые были выведены математиками за много лет до появления комплексного анализа, требуют для своего вывода изложения чуть ли не всего семестрового курса этого комплексного анализа. Причем из этого курса требуется аккуратно изъять все факты и теоремы, использующие эти формулы, а затем пройтись по нему заново, вставив их на пропущенные места, и тщательно проследить, чтобы нигде не возникал замкнутый круг. На практике никто этого не делает: в учебниках, где вводят комплексные числа, соответствующая теория используется без доказательств (но создается видимость, будто бы там все строго). Даже в учебниках по теории функций комплексного переменного обычно используют логические круги в доказательствах, что является жульничеством. Получается, что это все ошибочно и с логической точки зрения, и с исторической, и с концептуальной. Неудивительно, что потом студенты путаются и не понимают.

Можно провести эксперимент — дать студентам задание объяснить этот парадокс

Даже большинство студентов старших курсов МФТИ, которые изучили полный курс комплексного анализа и множество учебных предметов, использующих комплексные числа и функции комплексного переменного, не смогут его объяснить. Что же говорить про другие вузы и тем более, например, техникумы и матшколы: во многих других местах этот парадокс не смогут объяснить не только все студенты, но и их преподаватели.

Даже математик Эйлер, который не понимал комплексных чисел и потому считал их настоящим внерациональным чудом, а в формулах, связанных с ними, видел доказательства бытия Бога, и тот умел более-менее грамотно объяснять такие парадоксы формально (не понимая их, однако, на уровне смысла). А современные студенты и многие преподаватели не умеют этого делать, потому что их обманывали во время обучения.

В этой статье мы разберемся, наконец, с геометрическим смыслом комплексных чисел, который легко разрешает все эти парадоксы, а в следующей — с самими парадоксами Эйлера: как их не могли решить великие математики и как их легко решила геометрия.

Остальные части

Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I / Хабр

---

План серии статей

ЧАСТЬ I: Рождение ереси

Скрытый текст

Глава 1. Приглашение к бунту.

Глава 2. Кардано и софизм в формуле.

Глава 3. Бомбелли и алгебра «сомнительных» вещей.

Глава 4. Целый век путаницы и непонимания: Эйлер против Безу.

Глава 5. Кризис понимания: что такое число?

Глава 6. Крах упорядоченного мира.

ЧАСТЬ II: Спасение пришло из геометрии

Скрытый текст

Глава 7. Искать не на прямой, а на плоскости.

Глава 8. Комплексные числа и векторы: триумф наглядности.

Глава 9. Мания умножения чисел: это не формула, а геометрия подобия.

Глава 10. Тригонометрия как сущность умножения комплексных чисел.

Глава 11. Комплексные числа доказывают теоремы планиметрии.

Глава 12. Удивительный трактат об инверсиях и сфере Римана.

ЧАСТЬ III: Формула, объединившая математику

Скрытый текст

Глава 13. Приключения логарифмов и степеней отрицательных чисел.

Глава 14. Величайшая формула Эйлера:

Глава 15. Единство всех элементарных функций.

ЧАСТЬ IV: Универсальный закон алгебры, геометрии и анализа

Скрытый текст

Глава 16. Формула Эйлера в любой ассоциативной алгебре.

Глава 17. Классификация однопараметрических подгрупп Ли.

Глава 18. Три сестры: все двумерные вещественные алгебры.

Глава 19. Операторный формализм: ряд Тейлора как экспонента сдвига.

ЧАСТЬ V: Алгебраическая суперсила

Скрытый текст

Глава 20. Основная теорема алгебры.

Глава 21. Комплексные числа как матрицы.

Глава 22. Теорема Фробениуса и иные числовые системы.

ЧАСТЬ VI: Мнимое царство объективной реальности

Скрытый текст

Глава 23. Язык колебаний и волн.

Глава 24. Квантовая механика комплексной реальности.

Глава 25. От фракталов до шифров.

ЧАСТЬ VII: Философия понимания

Скрытый текст

Глава 26. Что мы поняли о числах?

Глава 27. Практика — критерий истины.

Глава 28. Генетический подход против онтодидактического.

Глава 29. Манифест.

Глава 30. Эпилог: восхождение по лестнице познания.

---

ЧАСТЬ II: Спасение пришло из геометрии

Глава 7. Искать не на прямой, а на плоскости.

7.1. Философский смысл поиска эквивалента.

Прежде чем перейти непосредственно к теме, предвижу некоторые возражения на обвинения в жульничестве и сразу отвечу на них. Часть таких возражений возьму у chatGPT, он достаточно неплохо их сформулировал тут:

На это я могу ответить следующим образом:

1. Такую строгую цепочку построить можно, но почему-то обычно не строят. И я знаю почему: подобное построение подрывает видимую простоту теории и провоцирует к заданию студентами лишних вопросов. А курсы построены специально таким образом, чтобы студенты могли легко выучить и сдать, не задаваясь такими вопросами.

2. Сам указанный путь (определить экспоненту, синус и косинус просто рядами) выглядит подгонкой под ответ, потому что непонятно, почему их так можно определить, а главное, почему такое определение совпадает с пониманием этих функций в обычном смысле (ответ на этот вопрос требует как раз изучения семестра ТФКП).

3. Возникает очень сложный вопрос, а что такое степень в комплексной области, как она определяется и почему именно так, который непосредственно не вытекает из определения степени и формального определения комплексных чисел. В учебниках по ТФКП вы найдете, конечно, готовый ответ на вопрос, что это такое, но не почему.

4. Тут ЛЛМ врет — это не скрытые условия применимости обычных алгебраических операций, а появление совершенно новых алгебраических операций, которые расширяют обычные. В результате снова возникает замкнутый круг: расширение обычных алгебраических операций осуществляют через формулу Эйлера, а для того, чтобы ввести формулу Эйлера, требуется расширить алгебраические операции: совершенно никак не обосновывают, почему и в каком смысле комплексная экспонента, определяемая как формальный ряд, является возведением в степень.

Последний вопрос — совершенно не праздный. Ведь в курсе мнимые экспоненты возникают задолго до определения степенной функции комплексного переменного, но при этом они используются не только как формальные ряды, но и как степенные функции.

Потерянную в современных учебниках простую логику изложения и понимания комплексных чисел можно найти в истории математики. Этим мы сейчас и займемся.

В конце прошлой статьи было указано на 7 этапов развития понятия, которые были выделены математиком и философом Яновской (это известная ученица Колмогорова, основатель и руководитель семинара и журнала по философии математики при МГУ, она известна в мире больше всего как человек, который оцифровал, перевел в печатный вид и глубоко проанализировал рукописи Маркса по математике) из книг и рукописей Маркса. Рассмотрим их подробнее и наложим их на историю комплексных чисел:

По Яновской, понимание нового математического объекта возникает при достижении им пятой формы, которая называется особенной эквивалентной формой понятия.

Суть этой формы заключается в том, что у нового объекта находится точный эквивалент (или эквиваленты) среди хорошо известных и изученных старых математических объектов, а множество старых объектов рассматриваются как представители нового объекта (например, рассматриваются множество разных объектов, которые удовлетворяют тем же аксиомам, что и комплексные числа, и, возможно, еще некоторым другим).

Самая эта цепь из 7 определений является разворачиванием диалектики относительного и эквивалентного, которое, по Яновской, обеспечивает понимание и гибкое использование понятия. Относительное тут понимается как выражение нового математического объекта с помощью старых, а эквивалентное — как выражение старых объектов через новый. Яновская рассматривает эти две вещи как диалектические противоположности, взаимодействие между которыми создает понимание и развитие математики.

У самого Маркса эта диалектика представлена в виде триады:

• Простая форма (первые три по Яновской)

• Развернутая форма (четвертый и пятый по Яновской)

• Всеобщая форма (шестой и седьмой по Яновской)

Простая форма соответствует этапу первых, изолированных примеров и/или интуитивных догадок, когда новую структуру нащупывают через частные аналогии.

Развернутая форма соответствует качественно новому этапу: новый объект выражает себя через множество эквивалентов в виде старых объектов. В случае комплексных чисел это:

• геометрическая интерпретация (разберем в этой статье, а также покажем в части III, как она решает и объясняет все парадоксы комплексных чисел)

• алгебраическая интерпретация (разберем в части IV)

• матричная интерпретация (разберем в части IV)

Всеобщая форма соответствует полю комплексных чисел .

Обращу также внимание на то, что у самого Маркса фактически встречается четвертая стадия, которую не включила Яновская в свой список, да и сам Маркс вынес ее за пределы триады. А именно, разворачивая таким способом понятие стоимости в «Капитале», Маркс не останавливается на описании всеобщей формы стоимости, а идет дальше и описывает денежную форму стоимости. Сам Маркс описывает переход следующим образом:

Всеобщая эквивалентная форма есть форма стоимости вообще. Следовательно, она может принадлежать любому товару. С другой стороны, какой-либо товар находится во всеобщей эквивалентной форме (форме III) лишь тогда и постольку, когда и поскольку он, как эквивалент, выталкивается всеми другими товарами из их среды. И лишь с того момента, когда такое выделение оказывается окончательным уделом одного специфического товарного вида, — лишь с этого момента единая относительная форма стоимости товарного мира приобретает объективную прочность и всеобщую общественную значимость.

Специфический товарный вид, с натуральной формой которого общественно срастается эквивалентная форма, становится денежным товаром, или функционирует в качестве денег. 

Проще говоря, на всеобщей форме понятия всё не заканчивается. Следующим шагом является выделение такой особенной формы, которая срастается с всеобщей таким образом, что отношение всеобщего и особенного переворачивается, так что новое всеобщее понятие становится частным случаем особенной формы.

Такой переход мы осуществим в части V, в главе 22: ровно точно такую же роль, как для стоимости у Маркса играют деньги, для комплексных чисел играют алгебры Клиффорда. В алгебрах Клиффорда мнимые единицы определяются, с одной стороны, без потери общности, а, с другой стороны, как важный частный случай этих алгебр. Это особая интерпретация комплексных чисел, которая сохраняет всё богатство общей формулировки.

В этой терминологии проблема современного преподавания теории комплексных чисел заключается в том, что от простой формы переходят сразу к всеобщей, минуя развернутую, используя последнюю лишь в качестве «интерпретации», но не эквивалента.

Этот подход как раз и заключается в том, чтобы преподавать сразу «от аксиом». Математик Арнольд очень метко и удачно сказал по этому поводу, что такой подход обладает всеми теми же преимуществами и недостатками, что и воровство перед честным трудом.

На практике, впрочем, недостатков больше. Например, часто в учебниках появляются логические круги и умалчивают о некоторых трудностях, чтобы так было проще излагать. Элементы развернутых форм попадают в учебник в виде иллюстраций и интерпретаций, но без смысла, лежащего за ними. А еще нередко смешивают всеобщую форму с развернутой, искажая тем самым смысл, стоящий за всеобщей формой. В случае комплексных чисел это:

• попытки определять поле как векторы на плоскости (а это лишь интерпретация).

• попытки определять поле как расширение поля , что, конечно, бывает удобно для систем компьютерной алгебры, но это лишь одна из конструктивных моделей.

• попытки определять поле как «множество пар» или матриц.

Каждая подобная модель — частный, «особенный» взгляд. Сущность комплексного числа как бы дробится между этими представлениями:

• точка или вектор на плоскости (a, b)

• упорядоченная пара вещественных чисел (a, b) с особыми правилами

• матрицы вида [[a, -b], [b, a]]

• элементы фактор-кольца

Понимание по Яновской заключается тут в следующем. Комплексные числа, пройдя стадию «особенных эквивалентов» (множества частных моделей), обретают всеобщую форму . Их каноническое представление a + bi перестаёт быть всего лишь удобной записью, и становится знаком всеобщего эквивалента, который обозначает класс изоморфных ему моделей и позволяет гибко переключаться между ними, не теряя сути понятия.

Дополнение из личной философии.

У меня есть своя собственная философская теория, которая объясняет, почему в этой диалектике есть несовпадение с общей «триадной» логикой. Она заключается в том, что в гегелевском диалектическом движении третья категория триады всегда является определением второй категории через первую. В данном случае всеобщая форма является простым выражением развернутой формы.

Но всегда есть четвертый элемент, выражение первой категории через вторую. В данном случае это развернутое выражение простой формы. Тогда в ряд Яновской надо добавить восьмой элемент, чтобы завершить всю логическую цепочку:

• относительная форма понятия;

• эквивалентная форма понятия;

• случайная форма понятия:

• развернутая относительная форма понятия;

• особенная эквивалентная форма понятия;

• полная форма понятия;

• всеобщая форма понятия.

• конкретно-всеобщая форма понятия

Таким образом, вся эта система выглядит так.

На первой стадии понятие определяется лишь через другое, уже известное понятие.

На второй стадии уже известное понятие определяется как эквивалент нового.

На третьей стадии случайное отношение между двумя понятиями закрепляется как элементарная форма их связи. 

Эти три стадии образуют одну стадию простой формы понятия.

На четвертой стадии понятие раскрывается через множество других понятий, образуя целую систему относительных определений. 

На пятой стадии образуется множество эквивалентов и среди них выделяется один наиболее удачный (иногда несколько, как в случае комплексных чисел), который становится особенным, общепринятым эквивалентом.

Четвертая и пятая стадия образуют одну стадию развернутой формы понятия, причем на четвертой стадии разворачивание происходит путем определения нового через старое, а на пятой стадии разворачивание происходит путем определения старого через новое.

На шестой стадии все особенные эквиваленты объединяются в единую систему, в которой каждое понятие находит своё место. Эту стадию можно понимать как диалектический синтез развёрнутой относительной и особенной эквивалентной форм.

На седьмой стадии понятие абстрагируется от всех своих конкретных проявлений и само становится всеобщим эквивалентом, возвращаясь к некоторой простой форме (в нашем случае это аксиоматическое определение поля комплексных чисел).

Шестая и седьмая стадия завершают триаду и являются всеобщей формой понятия. В ней всеобщий эквивалент, полученный на седьмой стадии, может быть выражен через любой особенный эквивалент из системы особенных эквивалентов, полученных на шестой стадии.

Я же добавляю в эту систему восьмую стадию, которая означает возврат к относительной форме через всеобщий эквивалент. Комплексное число теперь определяется не как самостоятельное поле, а как элемент алгебры Клиффорда или другого объемлющего его объекта, который может быть получен генетическим обобщением комплексных чисел, так что комплексное число может быть рассмотрено как простой случай более богатого объекта.

Генетическое обобщение в отличие обычного обобщения увеличивает не только объем понятия, но и его содержание. Математики такие обобщения обычно называют расширениями. Много содержательных примеров подобных расширений чисел описывал в своей книге «Обобщение чисел» Понтрягин. В текущем цикле статей различные расширения комплексных чисел будут подробно рассмотрены в V части.

Примечание.

Термин генетическое обобщение впервые ввел советский философ Ильенков, занимаясь критикой классической теории обобщения и теории «семейных сходств» Витгенштейна. Оно было заимствовано у него советскими психологами и стало обозначать формирование понятий через воспроизведение процесса возникновения предмета. И это было близко к пониманию самого Ильенкова, хотя он и не определил его предельно четко.

В моей же интерпретации, как можно увидеть, генетическое обобщение определяется куда более узко. Под ним я понимаю расширение понятия. Один и тот же пример подобного приводят Гегель и Кузанский, рассматривая порождение многоугольников из треугольника, и как следствие этого треугольник как подлинно всеобщую фигуру. Гегель писал:

«Напротив, треугольник есть первая фигура, истинно всеобщее, которое встречается также и в четырехугольнике и т.д., как сведенная к простейшей определенности фигура. Таким образом, с одной стороны, треугольник стоит в одном ряду с квадратом, пятиугольником и так далее, но с другой стороны и в этом сказывается великий ум Аристотеля, – он есть подлинно всеобщая фигура»

У Кузанского то же самое описывается как «развертывание».

Если же сопоставлять с Марксом, то у него этому соответствует построение надстроек над деньгами, расширение понятия денег сложными финансовыми инструментами.

Важно отметить, что это не «очередной виток диалектической спирали», а именно что неограниченное усложнение денежной формы. В этой предложенной мною «тетрадной диалектике» развитие может идти не только вдоль спиралей, но и через четвертые элементы, которые предоставляют безграничные возможности появления нового, потому что первое через второе в триаде не может быть полностью определено, так как первая категория всегда богаче второй по своему содержанию.

Например, после фиксации всеобщего эквивалента дальнейшее развитие не обязано означать новый виток «формы стоимости». Скорее возникает неограниченная серия надстроек над денежностью: деньги сохраняют роль универсального знаменателя, а усложняются способы обращения, платежа и фиксации требований — то есть растёт число уровней опосредования, не отменяя самого принципа денежной формы».

У Маркса же наблюдаются оба уровня развития. Проще говоря, он не только добавляет более сложные инструменты, но ещё и производит смену категории:

• деньги как деньги,

• деньги как капитал (Д–Т–Д′),

• процентный капитал,

• фиктивный капитал и кредитная система.

Думаю, следует обратить внимание на то, что здесь тоже 4 этапа, а не 3. Я бы мог тут углубиться и разобрать еще и это, показав тут свою «тетрадную логику», но это было бы слишком большим отвлечением от темы комплексных чисел: для объяснения моей логики разворачивания понятия комплексных чисел уже написано достаточно.

7.2. Тернистый путь через парадоксы.

Напомним кратко историческую линию развития комплексных чисел, которая ведет к появлению полной теории.

Парадокс Кардано: препятствие и путь к пониманию.

Появление комплексных чисел связано с парадоксом Кардано. Напомню:

в уравнении все три корня вещественные, но формулы Кардано дают:

Этот парадокс сыграл двоякую роль. С одной стороны, он долгое время служил препятствием к пониманию комплексных чисел, с другой стороны — попытки решения именно этого парадокса и привели к построению теории комплексных чисел и анализа.

Бомбелли: новый формализм, но решения еще нет.

Следующий шаг делает математик Бомбелли.

1. Он вводит вычислительную форму (фактически );

2. Фиксирует правила сложения/умножения для таких выражений;

3. Показывает механизм «взаимоуничтожения» мнимых частей при сложении сопряжённых выражений — то есть объясняет, почему из комплексных промежуточных шагов может выйти вещественный корень.

4. Не умеет извлекать кубические корни из комплексных чисел в общем случае, но прекрасно работает с множеством частных примеров.

Декарт и Валлис: от «фикции» к геометрии знака минус.

Декарт вводит слово imaginaire для обозначения мнимой единицы. Это не «нейтральное название», а скорее интеллектуальная пометка: вещь подозрительная. Термин фиксирует статус нового объекта среди математиков: им пользуются, но ему не доверяют. Благодаря Декарту мнимая единица получила свое собственное обозначение.

Валлис первым додумывается интерпретировать мнимую единицу как направленный отрезок, перпендикулярный вещественной числовой оси. Для этого сначала он трактует знак действительного числа как направление на числовой оси и вводит интерпретацию действительных чисел как ориентированных отрезков.

Валлис считается первым математиком в истории, который отделил понятие обычного числа от его тесной связи с величиной и придал ему геометрический смысл. Интересная статья по этому поводу есть здесь: https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/JohnWallis.shtml .

Его догадка о том, что мнимую единицу надо искать в плоскости и что она перпендикулярна числовой оси, основана на использовании теоремы Пифагора в задачах по планиметрии и поиске геометрического смысла комплексных значений направленных отрезков.

Даны элементы и , найдите основание AB:

Но что если ?

К сожалению, эти догадки ещё долго не превращались в теорию комплексных чисел.

Муавр: первое решение парадокса Кардано.

Первым ученым, которому удалось решить парадокс Кардано и в общем случае выразить кубические корни из комплексного числа, был ученик Ньютона, математик Абрахам де Муавр. Ему удалось получить формулу возведения в натуральную степень любого комплексного числа из обычных формул сложения:

следует тождество умножения:

Дальше методом математической индукции он получил:

Понятно, что эта формула позволяет не только возводить в любую натуральную степень комплексное число, но и извлекать из него корни.

Муавр также был первым математиком, который стал возводить в степень бесконечные степенные ряды, и таким способом тоже проверил свои формулы.

Подробнее история формулы Муавра будет изложена в III части статьи.

Эйлер и Безу: техника опережает понимание.

Открытие формулы Муавра и его техника работы со степенями бесконечных степенных рядов, включающих в том числе мнимые единицы, привели к бурному развитию методов вычислений и методов решения уравнений, основанных на комплексных числах. Математик Безу прославился тем, что анализировал многочлены, а Эйлер был первым, кто привел следующие формулы в современном нам виде:

Эйлер использовал бесконечные степенные ряды для доказательства подобных формул. Но у него не было ни их геометрической интерпретации, ни понимания, и всё это выглядело как набор алгебраических фокусов, которые к тому же иногда приводили к парадоксам, о которых великие математики XVIII-го века спорили и не могли прийти к единому мнению.

Вессель, Гаусс и Арган: появление геометрии.

В начале XIX-го века сразу множество математиков одновременно открывают геометрическую интерпретацию комплексных чисел, ссылаясь, в том числе, на Валлиса. Обычно отмечают Весселя (1799 публикация, его труды остались практически незамеченными), Аргана (1806, там же опубликовал доказательство основной теоремы алгебры с помощью комплексных чисел), Гаусс (1831-й год). Однако было много и других математиков, которые примерно в те же годы писали труды по геометрической интерпретации комплексных чисел.

Как ключевой, однако, рассматривают трактат Гаусса 1831-го года, посвященный теории биквадратичных вычетов (в теории чисел), в котором он вводит комплексные числа как точки на комплексной плоскости, разбирает геометрическую интерпретацию и использует их для доказательства теорем в теории чисел: https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015073697180&view=1up&seq=283 . Считается, что теория комплексных чисел стала применяться по-настоящему научно только начиная с этого трактата.

Глава 8. Комплексные числа и векторы: триумф наглядности.

Геометрическая интерпретация (Вессель–Арган–Гаусс) делает шаг, который для человеческого понимания важнее любой отдельной формулы:

• числа перестают быть только «метками количества»;

• они становятся направленными отрезками или точками на плоскости;

• правила с мнимой единицей перестают быть фокусами и превращаются в геометрию

8.1. Комплексное число как точка и как вектор

Современная запись

содержит две величины: и . Геометрия немедленно предлагает:

• — координата по горизонтали (ось , действительная ось),

• — координата по вертикали (ось , мнимая ось).

То есть комплексное число — это просто точка плоскости:

Но лучше думать не «точка», а вектор из начала координат:

• — это стрелка из 0 в точку .

• 0 — это нулевая стрелка.

• 1 — это вектор длины 1 вправо.

• — это вектор длины 1 вверх.

Вместо странной суммы мнимой и действительной частей мы получаем обычное разложение по базису:

как в линейной алгебре.

8.2. Сложение: правило параллелограмма

Пусть

Тогда

На плоскости это ровно то же, что и сложение векторов:

• откладываем из нуля,

• от его конца откладываем ,

• получаем диагональ параллелограмма - это .

Геометрический смысл приобретают аксиомы:

• Коммутативность:

• Ассоциативность:

8.3. Вычитание и правило треугольника.

Вычитание

— это прибавление противоположного вектора:

Геометрически — это тот же вектор, но развернутый на (симметрия относительно начала координат).

Отсюда красиво решаются «уравнения на комплексные числа», которые алгебраически решаются в одну строку, но геометрически дают полезную интуицию:

• означает: «из точки , сдвинуться на вектор , попасть в ».

• — это просто «отнять перенос».

8.4. Модуль комплексного числа: длина вектора и расстояние

Длина вектора, соответствующего комплексному числу, определяется как

Сразу появляются новые геометрические смыслы:

• — расстояние от точки до нуля.

• — расстояние между точками и .

Неравенство треугольника:

8.5. Комплексное сопряжение как отражение

Операция сопряжения комплексных чисел была известна еще Ньютону: он пытался доказывать, что у многочленов с вещественными коэффициентами комплексные корни могут появляться только комплексно-сопряженными парами.

Определим сопряжение:

Геометрически это зеркальное отражение относительно действительной оси .

Сопряжение:

• сохраняет длину: ;

• меняет знак мнимой части;

• переводит «верхнюю полуплоскость» в «нижнюю».

8.6. Аргумент и полярная форма.

Если , то у вектора есть направление.

Его можно описать углом с осью . Этот угол называется аргументом:

Отсюда полярная форма записи комплексного числа:

Парадоксы 18-го века были связаны в основном с тем, что угол определён не единственным образом. Направление не меняется при добавлении :

Получается, аргумент комплексного числа является многозначной функцией.

Итак, всё стало очень наглядно:

• — это вектор,

• сложение — это сложение перемещений (правило параллелограмма),

• модуль — длина,

• разность — вектор перемещения из одной точки в другую,

• сопряжение — отражение,

• аргумент — направление.

А что такое умножение комплексных чисел?

Глава 9. Магия умножения чисел: это не формула, а геометрия подобия.

Эта глава — ответ на вопрос, который должен быть поставлен до любой формулы:

что должно «делать» умножение на комплексное число, если комплексные числа — язык плоскости?

9.1. Что делает на плоскости умножение на мнимую единицу.

Используем определение мнимой единицы:

На плоскости число -1 — это поворот на . Тогда должно быть поворотом на , потому что два раза по дают .

Проверим на координатах: пусть z=a+b i. Тогда

То есть

а это действительно поворот на против часовой стрелки.

9.2. Что делает умножение на a+bi

Итак, мы разобрались с умножением на мнимую единицу:

Пусть теперь . Тогда:

A

То есть умножение на — это линейное преобразование, которое:

• отправляет 1 в вектор ,

• отправляет в вектор (тот же, повернутый на ).

Возьмём теперь любой вектор . Посмотрим на длину w z:

Значит,

Это масштабирование в раз. А что с углами?

9.3. Сохранение относительных углов при умножении.

Докажем теперь, что умножение на переводит любой вектор в другой так, что относительные углы сохраняются.

Рассмотрим два ненулевых комплексных числа и , отождествляемых с векторами в :

Их скалярное произведение:

Угол между ними определяется через косинус:

Через комплексное сопряжение скалярное произведение можно выразить так:

Их скалярное произведение можно выразить через комплексные числа как:

где — комплексно сопряжённое к .

Умножим оба числа на некоторое ненулевое комплексное число . Получим векторы и . Вычислим их скалярное произведение:

Поскольку — действительное неотрицательное число, его можно вынести:

Длины векторов после умножения:

Косинус угла между новыми векторами:

9.4. Разбор по случаям: что делает умножение геометрически

Пусть .

Случай 1. — положительное вещественное число
. Тогда - чистое масштабирование: растяжение в раз.

Случай 2. — отрицательное вещественное число

. Тогда это растяжение в раз и поворот на .

Случай 3.

Поворот на .

Случай 4. Общее

Это всегда:

• масштабирование в раз,

• поворот на угол .

То есть каждый ненулевой комплексный множитель кодирует ровно одно геометрическое подобие с центром в нуле.

9.6. Геометрическая «магия» комплексных чисел.

1) Круги и лучи

• Окружность при умножении на переходит в . То есть окружность превращается в окружность, радиус масштабируется.

• Лучи из начала поворачиваются на .

2) Треугольники и углы

Если взять треугольник с вершинами , то после умножения на получаем треугольник , который подобен исходному.

3) «Композиция умножений» как композиция движений

означает: «сначала сделать движение , потом движение ». Это объясняет, почему с геометрической точки зрения произведение комплексных чисел является комплексным числом: подобия с центром в нуле образуют группу.

Глава 10. Тригонометрия как сущность умножения комплексных чисел.

В предыдущей главе мы уже поняли главное: умножение на ненулевое комплексное число — это подобие плоскости с центром в нуле. Проще говоря:

• масштабирование в раз,

• поворот на .

Но это пока что звучит как геометрическое описание действия, а не как готовый математический аппарат для вычислений. Нам нужен такой математический язык, который умеет одновременно говорить о двух видах величин:

• о длинах (масштабах),

• об углах (поворотах).

И такой язык уже существует — это тригонометрия.

10.1. Единичная окружность как таблица поворотов

Рассмотрим единичную окружность . На ней каждое число имеет вид

Это просто координаты точки на окружности: .

Число на единичной окружности - это чистый поворот. Например:

• — поворот на .

• — поворот на .

• -1 — поворот на .

• — поворот на .

10.2. Полярная форма: число как масштаб × поворот

Любое ненулевое комплексное число можно описать двумя параметрами:

• ,

• (угол направления).

Тогда представление любого комплексного числа в виде:

называется его полярной формой. Её смысл в структуре действия умножением:

• отвечает за масштаб,

• отвечает за поворот.

10.3. Умножение на окружности: откуда берётся сложение углов

Теперь ключевой момент: если и лежат на единичной окружности, то они представляют повороты. Композиция поворотов должна давать:

• новый поворот,

• угол которого равен сумме углов.

Проще говоря, с геометрической точки зрения мы ожидаем:

Мы получили ясный геометрический смысл абстрактного факта из школьной программы:

формулы сложения — это координатная запись того, что умножение на комплексной плоскости есть поворот, а при композиции поворотов складываются их углы.

Получим теперь формулы сложения из тригонометрии в явном виде:

Сравнивая действительную и мнимую части, получаем:

10.4. Формула Муавра: степенная форма умножения

Если умножение на окружности складывает углы, то повторное умножение (возведение в степень) должно умножать угол:

Это формула Муавра. Смысл ее в том, что:

• умножить на один раз — повернуться на ,

• умножить на раз — повернуться на .

Это объясняет, почему тригонометрия и комплексные числа так сильно связаны между собой. Муавр открыл алгебру поворотов в комплексных числах алгебраическим путем.

10.5. Умножение в полярной форме

Пусть

Тогда, используя то, что:

• масштабы перемножаются,

• повороты складываются,

получаем, что:

Эта формула выражает чистую геометрию:

• ,

• (с точностью до ).

10.6. Геометрический смысл и вывод формулы Эйлера.

По определению:

Тогда

Чему равен этот предел — можно вычислить геометрически. Рассмотрим, например, n = 16.

Можно взять предел при . Модуль такого комплексного числа стремится к единице, а аргумент к тому самому углу . Но проще это сделать через производную, а не пределы.

Для этого достаточно рассмотреть процесс изменения при изменении .

Воспользуемся тем, что и . Эти формулы легко выводятся через определение экспоненты как указанного выше предела.

Рассматривая функцию , получим . Поскольку в геометрическом представлении умножение на соответствует повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы, физический смысл которого — движение по окружности.

10.7. Что же такое возведение в мнимую степень?

Вещественные степени (при ) удобно понимать как «непрерывное умножение» и вводить через экспоненту и логарифм:

Но число t в этой формуле можно взять и комплексным!

Нас будет интересовать случай чисто мнимой степени:

10.7.1. Определение через логарифм и первая формула

Пусть . Запишем в полярной форме:

Если выбран главный логарифм , то

Тогда по определению

Подставляя , получаем

10.7.2. Модуль и аргумент результата

Из разложения

следует:

Модуль и аргумент меняются местами:

• аргумент исходного числа управляет модулем результата;

• модуль исходного числа управляет аргументом результата (через ).

10.7.3. Два простейших случая и общий случай

Случай А.

- положительное вещественное число. Тогда , и

То есть мнимая степень превращает «рост величины» в фазовый поворот по единичной окружности — причём фаза пропорциональна .

Случай В.

, то есть . Тогда , и

Иными словами: «чистый поворот» при возведении в мнимую степень превращается в чистое масштабирование.

Общий случай.

10.7.4. Многозначность и источник парадоксов

Если не фиксировать главный логарифм, то

и тогда

Меняя , мы получаем разные значения: модуль меняется в раз. Именно здесь возникают «парадоксы» вида и : число 1 не имеет единственного аргумента, поэтому без выбора ветви логарифма выражение не является однозначным.

10.7.5. Физический смысл

Формула

очень похожа на типичное разложение «затухание × колебание»:

Здесь роль «коэффициента затухания» играет , а роль «частоты» — величина . Поэтому возведение в мнимую степень естественно интерпретировать как преобразование, которое:

• превращает угол в экспоненциальный множитель (рост/затухание),

• превращает логарифм модуля в фазу (вращение по окружности).

Особенно наглядно это для :

то есть фаза является линейной функцией от .

Это ровно тот тип зависимости, который появляется в задачах, в которых «естественная шкала» — логарифмическая (децибелы, масштабно-инвариантные и степенные законы, самоподобные структуры и фракталы).

Однако куда реже встречается преобразование фазы в амплитуду. Частным случаем реализации этого преобразования в природе является психофизическое восприятие звука.

10.8. Возведение комплексного числа в мнимую степень как психофизика.

Психофизический закон Вебера—Фехнера заключается в том, что многие ощущения зависят не от абсолютных приращений стимула, а от относительных: умножение стимула на один и тот же коэффициент даёт примерно одинаковое субъективное «шаговое» изменение.

Для частоты это особенно наглядно: воспринимаемая «высота» ближе к , чем к .

Но у высоты звука есть ещё одна ключевая особенность: октавная эквивалентность.

Частоты и воспринимаются как «та же нота», только на октаву выше. Следовательно, психофизическая шкала тут устроена так:

Ровно такую «шкалу по модулю» удобно кодировать точкой на окружности, то есть числом вида . И здесь мнимая степень появляется совершенно естественным образом.

Возьмём нормированную частоту

(где — опорная частота). Тогда

Если выбрать

то получаем

Теперь проверим октаву: при удвоении частоты имеем , и

Октава соответствует полному обороту на окружности. Это ровно то, что нужно для моделирования «класса высоты»: одна и та же нота в разных октавах отображается в одну и ту же точку на окружности. Более того, шаг в полутон — это умножение частоты на . Тогда

и потому на окружности это соответствует повороту на фиксированный угол:

Мнимая степень даёт очень наглядную геометрию музыкального строя: умножение частоты превращается в поворот на окружности, а октава становится тождеством.

Глава 11. Комплексные числа доказывают теоремы планиметрии.

Тема эта довольно обширна и нередко встречается на школьных олимпиадах по математике. Для желающих углубиться есть задачник Панарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах», в котором с помощью комплексных чисел не только доказано множество задач из расширенного (олимпиадного) курса планиметрии и разобраны геометрические смыслы различных преобразований комплексной плоскости и уравнений в комплексных числах, но и решается довольно много сложных олимпиадных задач.

Кому же интересна именно олимпиадная планиметрия, можете посмотреть сюда. В этой брошюре с помощью комплексных чисел разбираются инверсия, проективная геометрия, теорема о бабочке, стереографические проекции, поляры, радикальные оси, поризм Штейнера, окружности Аполлония, теорема Понселе и тому подобные сюжеты.

Здесь же мы рассмотрим несколько более простых известных сюжетов.

Теорема 1. Неравенство треугольника.

Например, из геометрического смысла модуля как расстояния между точками и w следуют неравенства треугольника:

Теорема 2. Равенство параллелограмма.

Теорема 3. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2 к 1.

Теорема 4. Расположение точек относительно прямых.

На рисунке для заданных изображено геометрическое место точек в зависимости от знаков чисел , связанных равенством .

Теорема 5. Об отношениях точек.

Различные точки лежат на одной прямой в точности тогда, когда , т.е. когда простое отношение трех точек действительно.

Различные точки , лежат на одной прямой или на одной окружности в точности тогда, когда их двойное отношение действительно:

Теорема 6 (Птолемея).

Произведение диагоналей четырехугольника не больше суммы произведений противоположных сторон, причем равенство достигается в точности для вписанных четырехугольников.

Доказательство:

1. Расположим вершины на единичной окружности.

Пусть — точки на единичной окружности, соответствующие комплексным числам .

2. Запишем длины сторон и диагоналей через модули разностей:

3. Рассмотрим тождество:

Его легко проверить раскрытием скобок.

4. Применим модуль:

По неравенству треугольника:

Поэтому:

5. Равенство достигается, когда векторы и сонаправлены, т.е. их отношение — положительное вещественное число.

Поскольку , это означает:

Это условие равносильно тому, что лежат на одной окружности.

Теорема 7 (Ньютона).

Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

Доказательство.

Шаг 1. Нормировка.

Сдвигом и подобием (комплексным аффинным преобразованием) можно считать, что вписанная окружность — единичная, с центром в нуле:

Пусть точки касания сторон с окружностью — это

(в порядке обхода).

Шаг 2. Формула вершины как пересечения касательных.

Касательная к единичной окружности в точке имеет уравнение

Пересечение касательных в точках и даёт вершину

и аналогично

Шаг 3. Середины диагоналей.

Шаг 4. Коллинеарность с нулём.

Точки коллинеарны число вещественно ⟹

Заметим, что при

потому что .

Следовательно,

Теперь проверка сводится к рациональному тождеству:

которое после раскрытия скобок и приведения к общему знаменателю сокращается в ноль (тождественно по ). Значит , то есть , и потому лежат на одной прямой.

Теорема 8 (Паскаля).

Точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны вписанного шестиугольника, лежат на одной прямой.

Доказательство.

1. Поместим окружность на комплексную плоскость как единичную окружность

. Пусть точкам соответствуют комплексные числа , удовлетворяющие .

2. Найдём точку пересечения прямых и .

Прямая, проходящая через точки и , задаётся уравнением

Аналогично, прямая через и :

Решая систему, находим координаты точки пересечения:

Её сопряжённая:

3. Аналогично находим точки и :

4. Условие коллинеарности в комплексной форме записывается как вещественность отношения

или, эквивалентно, равенство нулю определителя

5. Подставляем выражения для и их сопряжённых в определитель.

После громоздких, но прямых алгебраических преобразований с использованием условий (т.е. ) и циклической симметрии, получаем тождество

которое выполняется в силу того, что точки лежат на одной окружности и взяты в указанном порядке.

6. Следовательно, коллинеарны, что и доказывает теорему.

Теорема 9 (Наполеона).

Если на сторонах треугольника построены правильные треугольники ( все три — либо наружу, либо внутрь), то их центры являются вершинами правильного треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим . Обозначим

Умножение на — это поворот на .

Шаг 1. Третья вершина правильного треугольника на стороне.

Пусть на стороне построен правильный треугольник с третьей вершиной (скажем, «наружу»). Тогда вектор надо повернуть на :

Аналогично строятся вершины на и .

Шаг 2. Центры (центроиды) этих правильных треугольников.

Центроид равен среднему трёх вершин. Для треугольника на :

Подставим :

Аналогично получаем

Шаг 3. Доказываем, что — правильный.

Рассмотрим векторы:

Ключевой трюк: из тождества (легко проверить напрямую) следует, что эти разности связаны поворотом на :

То есть вектор получается из поворотом на без изменения длины. Значит,

а это и есть определение правильного треугольника.

Теорема 10 (Помпею).

Пусть правильный треугольник вписан в окружность, на меньшей дуге BC которой взята точка . Тогда .

Доказательство.

Так как лежат на одной окружности, четырёхугольник - вписанный. Для вписанного четырёхугольника выполняется равенство Птолемея:

диагональ диагональ сторона противоположная сторона другая сторона противоположная ей сторона .

Поскольку лежит на меньшей дуге , порядок точек по окружности:

.

Тогда диагонали - это и , а стороны попарно: напротив , и напротив . значит

Но - правильный, поэтому

Делим равенство на :

Что и требовалось доказать.

Теорема 11 (Обобщенная теорема Помпею).

Занумеруем вершины правильного -угольника так: и выберем произвольную точку на меньшей дуге . Тогда сумма расстояний от до вершин с четными номерами такая же, как и до вершин с нечетными номерами.

Доказательство.

Сведём окружность подобием к единичной: радиус . Положим

Так как лежит на меньшей дуге между соседними и , то

Отсюда для любого :

а значит .

Теперь используем стандартную «комплексную» формулу хорды:

Рассмотрим разность сумм по чётным и нечётным индексам:

Переходим к мнимой части экспоненты:

поэтому

Обозначим . Тогда это геометрическая прогрессия:

Ho

поскольку . Значит , и вся сумма равна нулю.
Следовательно, разность «чётные минус нечётные» равна нулю, то есть

Доказано.

Теорема 12 (Задача Паппа об арбелосе).

Даны окружности и с диаметрами , которые образуют арбелос, — окружность, вписанная в арбелос, окружность касается окружностей и , окружность касается окружностей и , окружность касается окружностей и . Пусть — радиус окружности — расстояние от центра окружности до прямой . Докажите, что тогда

расстояние от центра -й окружности до диаметра арбелоса в раз больше её радиуса.

Арбелосом называется фигура, ограниченная тремя окружностями и изображенная на этом рисунке (в арбелос вписаны все остальные окружности здесь):

Доказательство.

Совершим инверсию (преобразование ) относительно окружности с центром в точке B и радиусом, равным AB.

Используя легко доказываемые через алгебру комплексных чисел свойства инверсии (это будет сделано в следующей главе), можно получить:

При этой инверсии окружности и перейдут в две параллельные прямые, а цепочка из окружностей , перейдёт в цепочку равных окружностей ..., заключённых между параллельными прямыми. Центры окружностей и лежат на одной прямой с точкой . Для окружности утверждение задачи выполняется очевидным образом. Но окружность переходит в окружность при гомотетии с центром , откуда и следует утверждение задачи.

Глава 12. Удивительный трактат об инверсиях и сфере Римана.

Цель предыдущей главы заключалась в том, чтобы указать на множество применений комплексных чисел в геометрии.

Однако большая часть таких примеров связана с очень специфическими задачами, которые почти не используются за пределами планиметрии. Здесь же, в двенадцатой главе, будут подробно рассмотрены две универсальные геометрические темы, связанные с комплексными числами, которые имеют также большое общетеоретическое значение.

Мы будем рассматривать конформные отображения — такие непрерывные отображения, которые сохраняют углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

12.1. Инверсия: деление расстояний как операция в геометрии

Возьмём окружность радиуса с центром в нуле.

Инверсия точки — это такая точка , лежащая на том же луче из нуля, такая что

С помощью комплексных чисел удобно записывать именно «геометрическую» инверсию так:

Почему появляется сопряжение? Потому что это именно та формула, которая оставляет аргумент тем же (луч сохраняется), а меняет только модуль:

.

Инверсия «отражает» плоскость относительно окружности: внешнее уходит внутрь, внутреннее — наружу, а точка 0 естественно превращается в «бесконечность».

Очень известный пример применения инверсии (шахматная доска относительно ее центра):

12.2. Прямая превращается в окружность

Если прямая не проходит через центр инверсии, то её образ — окружность, проходящая через центр инверсии. Рассмотрим вертикальную прямую

Тогда её образ при инверсии относительно единичной окружности — окружность

то есть окружность с центром на вещественной оси и радиусом .

Она обязательно проходит через 0 , потому что инверсия любой прямой «вдали от нуля» должна иметь точку, куда улетает бесконечность — а это как раз центр инверсии.

12.3. Что происходит с окружностями

Здесь картина схожая:

• окружность, не проходящая через центр, переходит в окружность;

• окружность, проходящая через центр, переходит в прямую, не проходящую через центр.

Это удобно помнить как правило: инверсия сохраняет класс "обобщённых окружностей" — то есть «окружности или прямые». Просто иногда одна из них вырождается в другую.

12.4. Инверсия сохраняет углы между направлениями.

Инверсия является конформным преобразованием: это значит, что она сохраняет величины углов между кривыми в точках пересечения (возможно, меняя ориентацию).

Понять это можно, рассмотрев инверсию как композицию сопряжения и конформного преобразования:

• сопряжение — это отражение (сохраняет углы, меняет ориентацию);

• — конформное преобразование (сохраняет углы).

12.5. Инверсия превращает сложное в простое

Тождество

делает инверсию очень мощным инструментом в планиметрии, потому что она превращает «отношения расстояний» в «умножения» и обратно. На практике это означает:

• конфигурации с касаниями и окружностями становятся конфигурациями с прямыми;

• задачи, в которых неудобно работать с дугами и касательными, превращаются в удобные и простые задачи про углы и прямые;

• многие сложные теоремы с окружностями (ортогональность окружностей, степени точки, радикальные оси) становятся простыми теоремами про прямые и треугольники.

12.6. Обобщённые окружности и преобразования Мёбиуса

Главная причина универсальности инверсии заключается в том, что она лежит в основе группы дробно-линейных невырожденных преобразований комплексной плоскости:

Они также называются преобразованиями Мёбиуса и состоят из композиции:

• сдвигов ,

• поворотов/ растяжений-сжатий ,

• инверсий (и/или ).

Именно инверсия здесь вводит «деление». Преобразования Мёбиуса имеют огромное множество как теоретических, так и практических применений в самых разных областях. Кроме того, они играют центральную роль в теории конформных отображений.

Множество красивых анимаций на основе преобразования Мёбиуса с исходным кодом можно найти в этой статье Хабра Кош на комплексной плоскости / Хабр . Вы можете с использованием современных LLM легко создавать и куда более сложные.

Ключевой геометрический факт:

преобразования Мёбиуса переводят обобщённые окружности (прямые и окружности) в обобщённые окружности.

Чтобы это утверждение было сформулировано без «кроме тех случаев, где улетает в бесконечность», нам нужно научиться работать с бесконечностью как точкой.

Понимание того, как работать с бесконечностью как с точкой, тоже пришло из геометрии.

12.7. Сфера Римана: бесконечность становится точкой.

Расширенная комплексная плоскость — это .

Геометрически её удобно понимать через стереографическую проекцию:

• берём единичную сферу в ,

• проектируем её на плоскость из северного полюса ,

• точка отвечает «точке ».

Формулы взаимно-однозначного соответствия

Из комплексного на сферу:

Обратно со сферы (кроме северного полюса) на плоскость:

Что происходит «на бесконечности»? Когда , координата , то есть мы приближаемся к северному полюсу. Поэтому — это просто ещё одна точка.

Автоморфизмами сферы Римана называют конформные отображения её в себя. Примечательный факт состоит в том, что все автоморфизмы сферы Римана — это и есть преобразования Мёбиуса. Они имеют прямой физический смысл в специальной теории относительности: движение с околосветовой скоростью приводит к тому, что небесная сфера для наблюдателя искажается. Преобразования Мёбиуса точно описывают, как меняется видимое положение звезд и объектов на небе.

12.8. Важный пример практического применения сферы Римана.

Множество важнейших применений конформных отображений связано с тем, что можно использовать такие отображения как замены переменных в уравнениях в частных производных. Эффективнее всего такие подходы работают в задачах гидродинамики, аэродинамики и тому подобных. Для доказательства и исследования соответствующих методов, а также для формулировки теорем нередко используется сфера Римана.

Из книги Почему граница круглой капли превращается в инверсный образ эллипса :

В сороковых годах П. Я. Полубаринова-Кочина и П. П. Куфарев исследовали задачу об эволюции нефтяной залежи круговой формы, окруженной водой, в результате откачки нефти из скважины внутри залежи. Оказалось, что граница нефти с течением времени остается алгебраической кривой четвертой степени. Эта кривая служит симметричным образом эллипса при инверсии. В 1950 г. П. П. Куфареву удалось обобщить это свойство: если область нефти в начальный момент времени является образом единичного круга при конформном отображении, задаваемом рациональной функцией комплексной переменной, то она остается таковой с течением времени.

В 1972 г. С. Ричардсон обнаружил бесконечную серию первых интегралов движения области нефти: интеграл гармонической функции по области меняется линейно во времени. Это позволило С. Ричардсону дать новое доказательство сохранения рациональности и эффективный метод построения решений.

Надо сказать, что исследования в этой области продолжаются до сих пор. Например, около 25 лет назад российскими математиками Р. Вигманом, А. Забродиным, А. Маршаковой был наконец получен максимально общий результат этой теории. Приведем его тут.

Рассмотрим пространство всех, содержащих односвязных областей с аналитической границей на сфере Римана, замыкание которых не содержит 0 .

В качестве координат в этом бесконечномерном пространстве обычно рассматривают гармонические моменты Ричардсона (относительно области из класса ).

Определение.

Задача Дирихле состоит в отыскании функции , гармонической (такой, лапласиан которой равен нулю) в области и непрерывной на замыкании по ее (ограниченному, непрерывному) значению на граничном контуре.

Положим

Тогда для решения задачи Дирихле достаточно найти конформное отображение, которое отображает область в единичный круг на комплексной плоскости (с центром в ).

После такой замены координат уравнение равенства нулю лапласиана перейдет в само себя. А решать задачу Дирихле на круге достаточно просто. Останется только решить и подставить обратную замену. Либо вовсе использовать готовые формулы с самого начала, которые выражают решение через это конформное отображение.

Пусть искомое отображение имеет вид .

Задачу сводят к нахождению производящей функции для него, такой, что:

Найденный общий результат заключается в том, что нашли общую формулу для вычисления этой функции для произвольной области , не содержащей точку .

Ряд, описывающий такую функцию, выражается через определенные выше гармонические моменты Ричардсона и имеет следующий вид:

где сумма берется по ,

и коэффициенты

можно найти с помощью следующих рекуррентных формул:

(1) ,

(2) ,

где сумма берется по

(3) ,

где сумма берется по

Формула дает не только отображения области на область но и картину эволюции одной области в другую. Оказывается это можно использовать для описания эволюции нефтяного пятна и эволюции нефтяного пласта в процессе добычи нефти.

По счастливому совпадению, модели этих процессов состоят в описании эволюции области при постоянных моментах Ричадсона с положительными индексами. А значит, описанная выше формула является весьма эффективным инструментом расчета эволюции нефтяных пятен и нефтяных пластов в процессе добычи нефти.