Ускорение и СТО / forpes.ru

Главная
Ускорение и СТО

Ускорение и СТО +6

08.10.2025 09:19

izuuuuuum 2 368 Источник

Многим людям нравится научная фантастика, я тоже люблю иногда почитать "Автостопом по галактике" или посмотреть "Интерстеллар". Во время потребления подобного контента возникает один и тот же вопрос: как они путешествуют на такие далекие расстояния за такое короткое время? Я хочу попробовать ответить на этот вопрос с точки зрения релятивистской механики. В данной статье мы рассмотрим полет ракеты с Земли до ближайшей к Солнцу звезды - Проксиме Центавра.

Условия

В СТО абсолютное большинство задач сводится к задачам с постоянной скоростью, однако для реального мира это будет слишком упрощенная модель, так как чтобы эту скорость набрать, надо для начала двигаться с ускорением. Задача, которую мы рассмотрим сегодня именно про это.

Сразу оговорюсь, что я не буду ставить ограничение на конечную скорость, ракета просто будет постоянно ускоряться. Верхнее ограничение на скорость поставит СТО. Это значит, что в какой-то момент для дальнейшего ускорения нам нужна будет энергия больше той, которая содержится во всей вселенной, но мы закроем глаза на такие мелочи.

Условие: ракета летит с Земли до Проксимы Центавра с нулевой начальной скоростью с ускорением g.
Ускорение возьмем равным 10 м/с
Расстояние между Землей и Проксимой Центавра: световых года или $4,015*10^{13}$ км

Решение задачи

Возьмем систему K, связанную с Землей, и систему K', связанную с ракетой. Мы не можем использовать СТО для случая, когда система отсчета ускоряется, поэтому мы будем брать новую систему K' в каждый момент времени.

Вывод формулы для скорости

Из преобразований Галилея следует, что в классической механике ускорение не зависит от системы отсчета:

$\begin{cases} V'=V-U \\ t'=t \\ a=\frac{dV}{dt}\end{cases} \Rightarrow a'=a$

В случае релятивистской механики ускорение для разных систем отсчета будет разное. Для системы K' - собственной системы ракеты - ускорение будет равно g:

$\frac{dV_x'}{dt}=g$

Найдем, какое ускорение будет в системе K. Выведем это из формулы для сложения скоростей в случае СТО:

$V_x=\frac{V_x'+U}{1+\frac{V_x'U}{c^2}}\Rightarrow dV_x=\frac{dV_x'(1+\frac{V_x'U}{c^2})-(V_x'+U)\frac{U}{c^2}dV_x'}{(1+\frac{V_x'U}{c^2})^2}=\frac{1-\frac{U^2}{c^2}}{(1+\frac{V_x'U}{c^2})^2}dV_x'$

Система отсчета K' - система отсчета корабля, значит скорость корабля в этой системе отсчета равна 0:

$\begin{cases} dV_x=\frac{1-\frac{U^2}{c^2}}{(1+\frac{V_x'U}{c^2})^2}dV_x'\\ V_x'=0\end{cases} \Rightarrow dV_x=(1-\frac{U^2}{c^2})dV_x'$

Выведем формулу для ускорения в лабораторной системе отсчета, используя формулу, полученную выше, и формулу для релятивистского замедления времени:

$\begin{cases} dV_x=(1-\frac{U^2}{c^2})dV_x'\\dt=\frac{dt'}{\sqrt{1-\frac{U^2}{c^2}}}\\ \frac{dV_x'}{dt}=g\end{cases}\Rightarrow\frac{dV_x}{dt}=(1-\frac{U^2}{c^2})^{\frac{3}{2}}\frac{dV_x'}{dt'} \Rightarrow\frac{dV_x}{dt}=g(1-\frac{U^2}{c^2})^{\frac{3}{2}}$

Из-за невозможности использования СТО для случая, когда система отсчета ускоряется, мы будем в каждый момент времени брать новую систему отсчета K', связанную с ракетой, поэтому в каждый момент времени будет равно :

$\frac{dV_x}{dt}=g(1-\frac{U^2}{c^2})^{\frac{3}{2}}\Rightarrow\frac{dV_x}{dt}=g(1-\frac{V_x^2}{c^2})^{\frac{3}{2}}$

Получили дифференциальное уравнение. Его можно решить с помощью замены $\beta=\frac{V_x}{c}$ :

$\frac{d\beta}{dt}=\frac{g}{c}(1-\beta^2)^{\frac{3}{2}}\Rightarrow\frac{d\beta}{(1-\beta^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{g}{c}dt$

Теперь сделаем еще одну замену, теперь тригонометрическую $\beta=sin(\tau)$ :

$\frac{d\beta}{(1-\beta^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{dsin(\tau)}{(1-sin^2(\tau))^{3/2}(\tau)}=\frac{cos(\tau)d\tau}{(1-sin^2(\tau))^{3/2}(\tau)}=\frac{cos(\tau)d\tau}{cos^3(\tau)}=\frac{d\tau}{cos^2(\tau)}=$ $tg(\tau)=\sqrt{\frac{1}{cos^2(\tau)}-1}=\sqrt{\frac{1}{1-sin^2(\tau)}-1}=|sin(\tau)=\beta|=\sqrt{\frac{1}{1-\beta^2}-1}$

Тогда мы получим следующее уравнение:

$\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{gt}{c}+A$

Подставим начальные условия, чтобы найти константу (в начальный момент времени скорость равна 0):

$\frac{0}{\sqrt{1-0^2}}=\frac{0}{c}+A\Rightarrow A=0$

Решим такое уравнение, чтобы найти скорость в лабораторной системе отсчета:

$\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{gt}{c}\Rightarrow\beta^2(1+(\frac{gt}{c})^2)=(\frac{gt}{c})^2\Rightarrow \beta=\frac{\frac{gt}{c}}{\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}}$

Сделаем обратную замену $\beta=\frac{V_x}{c}$ . Тогда формула для скорости будет выглядеть так:

$V_x=\frac{gt}{\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}}$

*График зависимости скорости ракеты от времени*

Рассмотрим граничные случаи:

$\begin{cases}\lim_{t\rightarrow0}V_x(t)=gt\\\lim_{t\rightarrow\infty}V_x(t)=c\end{cases}$

В самом начале пути ракета будет двигаться практически по законам классической механики, однако с набором скорости на нее все больше будет действовать релятивистская механика. Если она будет ускоряться бесконечно долго, то ее скорость в лабораторной системе не превысит скорость света, а значит мы не нарушили постулаты СТ.

Вывод формулы для координаты

Найдем зависимость координаты от времени:

$\frac{dx}{dt}=V_x(t)=\frac{gt}{\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}}\Rightarrow dx=\frac{gt}{\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}}dt$ $\int dx=\int \frac{\frac{c^2}{g}d(1+(\frac{gt}{c})^2)}{\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}}\Rightarrow x=\frac{c^2}{g}\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}+A$

Подставим начальные условия, чтобы найти константу (в начальный момент времени координата равна 0):

$0=\frac{c^2}{g}\sqrt{1+(\frac{0}{c})^2}+A\Rightarrow A=-\frac{c^2}{g}$

Таким образом формула для координаты будет выглядеть так:

$x=\frac{c^2}{g}\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}-\frac{c^2}{g}$

Приведем это уравнение к виду, в котором мы сможем определить вид зависимости:

$\frac{g^2}{c^4}(x+\frac{c^2}{g})^2-t^2\frac{g^2}{c^2}=1$

Графиком функции в данном случае будет являться гипербола.

*График зависимости координаты ракеты от времени*

Рассмотрим граничные случаи:

$\begin{cases}\lim_{t\rightarrow0}x(t)=\frac{gt^2}{2}\\\lim_{t\rightarrow\infty}x(t)=ct-\frac{c^2}{g}\end{cases}$

Координаты также, как и скорость тоже сначала меняется по законам классической механики, а с увеличением скорости увеличивается влияние СТО.

Вывод формулы для времени

Найдем зависимость времени, которое прошло в лабораторной системе отсчета, от пройденного пути.

$c^2t^2=(x+\frac{c^2}{g})^2-\frac{c^4}{g^2}\Rightarrow t=\frac{c}{g}\sqrt{\frac{g^2}{c^4}(x+\frac{c^2}{g})^2-1}$

Для того, чтобы найти собственное время, выразим интервал в обеих системах отсчета. При этом , так как ракета не двигается в собственной системе отсчета:

$\begin{cases}dS=\sqrt{c^2dt^2-dx^2}=cdt\sqrt{1-\frac{dx^2}{c^2dt^2}}=cdt\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\\ dS'=\sqrt{c^2dt'^2-dx'^2}=cdt'\end{cases}$

Так как интервал - инвариантная величина, и части будут равны:

$cdt\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}=dS=dS'=cdt'\Rightarrow dt'=\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}dt$ $\begin{cases} t'=\int\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}dt \\ V_x=\frac{gt}{\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}}\end{cases}\Rightarrow t'=\int\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2(1+(\frac{gt}{c})^2)}}dt=\frac{c}{g}\int\frac{d(\frac{dt}{c})}{\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}}$ $t'=\frac{c}{g}ln|\frac{gt}{c}+\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}|+A$

Подставим начальные условия, чтобы найти константу ():

$0=\frac{c}{g}ln|\frac{0}{c}+\sqrt{1+(\frac{0}{c})^2}|+A=0+A\Rightarrow A=0$

Таким образом формула для времени в собственной и лабораторной системе отсчета будет выглядеть так:

$\begin{cases} t=\frac{c}{g}\sqrt{\frac{g^2}{c^4}(x+\frac{c^2}{g})^2-1} \\ t'=\frac{c}{g}ln|\frac{gt}{c}+\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}| \end{cases}$

Рассмотрим граничные случаи для и :

$\begin{cases} \lim_{x\rightarrow0}=t(x)\lim_{x\rightarrow0}t'(x)=0 \\ \lim_{x\rightarrow\infty}t(x)=\frac{x}{c} \\ \lim_{x\rightarrow\infty}t'(x)=\frac{c}{g}ln|\frac{2gt}{c}|=\frac{c}{g}ln|\frac{2gx}{c^2}|\end{cases}$

Время в лабораторной и собственной системе отсчета получилось разное. Посмотрим, насколько оно отличается в случае реального в ближайшее время полета к звезде.

Подстановка значений

Теперь, когда мы знаем все зависимости для скорости и времени, посмотрим, за сколько ракета долетит до ближайшей к Солнцу звезде - Проксиме Центавра.

Сначала найдем время в собственной и лабораторной системе отсчета:

$t= \frac{3*10^8}{10}\sqrt{\frac{10^2}{(3*10^8)^4}(4,015*10^{16}+\frac{(3*10^8)^2}{10})^2-1}=5,11\text{ года}$ $t'=\frac{3*10^8}{10} ln|\frac{10*t}{3*10^8}+\sqrt{(\frac{10*t}{3*10^8})^2+1}|= 4,14\text{ года}$

Разница между собственным временем и временем в лабораторной системе отсчета составила практически целый год.

Теперь найдем скорость, которую она разовьет при подлете к звезде:

$V_x=\frac{gt}{\sqrt{1+(\frac{gt}{c})^2}}=\frac{10*t}{\sqrt{1+(\frac{10*t}{3*10^8})^2}}=0,98c$

Таким образом, ракета пролетит Проксима Центавру со скоростью, равной 0,98 от скорости света.

Вывод

Специальная теория относительности является незаменимым инструментом для анализа задач, в которых тело движется с релятивистскими скоростями и при этом изменяет свою скорость.

Однако применение СТО в таких сценариях требует особой аккуратности и глубокого понимания ее постулатов, поскольку интуиция, сформированная в рамках классической механики, здесь часто оказывается обманчивой и приводит к принципиальным ошибкам. Вот ключевые моменты, на которые следует обращать внимание:

Отказ от классического правила сложения скоростей. В СТО скорости складываются нелинейно, и простое арифметическое сложение или вычитание недопустимо. Необходимо использовать релятивистскую формулу сложения скоростей, которая гарантирует, что результирующая скорость никогда не превысит скорость света.
Релятивистский импульс и энергия. Второй закон Ньютона в его привычной форме () в СТО не работает. Сила приводит к изменению релятивистского импульса ( $p = \gamma m_0 v$ ), где $\gamma$ — лоренц-фактор, растущий с увеличением скорости. Это объясняет, почему разогнать массивное тело до скорости света невозможно — потребовалась бы бесконечная энергия ( $E = \gamma m_0 c^2$ ). В нашей задаче мы решили не учитывать это, однако в случае реальных запусков это естественно стоит учесть.
Относительность одновременности и замедление времени. Процессы, происходящие с ускоряющимся объектом (например, ход часов в его системе отсчета), с точки зрения неподвижного наблюдателя будут замедляться. Это не абстрактный эффект, а реальное физическое явление, которое необходимо учитывать, например, при расчете времени жизни быстро движущихся частиц.
Корректный выбор системы отсчета. Анализ задачи кардинально меняется в зависимости от того, с точки зрения какой инерциальной системы отсчета он проводится. Часто для решения задачи, связанной с ускорением, используется метод мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчета, которая в каждый момент времени движется с той же скоростью, что и ускоряющееся тело. Только такой тщательный и осознанный подход позволяет успешно применять мощный математический аппарат СТО для решения нестандартных задач в области релятивистской кинематики и динамики.

В данной статье мы разобрали только простейший случай - бесконечное ускорение, которое не соответствует реальности из-за очень большого количества энергии, необходимого для такого ускорения. В дальнейшем можно ввести изменение ускорения с изменением скорости, потому что в каждый момент времени дальнейшее ускорение будет требовать все больше энергии. Ну и конечно стоит рассмотреть замедление в какой-то момент времени, чтобы не просто пролететь какую-то звездную систему, а сесть на планету и т.д.

Пишите в комментариях, если хотите разбор такой задачи, и предлагайте свои решения.

Подготовлено сообществом

Комментарии (2)

Oangai
08.10.2025 11:01
#28934648
в более практичном примере было бы неплохо учесть что желательно половину пути ускоряться а потом столько же тормозить, тогда и расчеты еще интереснее получаются
1. izuuuuuum Автор
  08.10.2025 11:01
  #28934744
  Да, будет интересно рассмотреть такой случай, ведь там разрешается парадокс близнецов. Я хочу сделать вторую часть, в которой рассмотрю это, потому что получилось и так много выкладок.