Аналогии между фракталами и парадоксами

В 90-е годы резко вошла в моду фрактальная геометрия — учение Бенуа Мандельброта о том, что Евклид ошибся, детей в школе учат неправильно, а все формы в мире являюся «на самом деле» не точками, линиями и плоскостями, а фракталами. Природа фрактальна, мысль фрактальна, изображения фрактальны, звуки фрактальны. Весь мир фрактал и люди в нем фракталы (за очень редкими исключениями).

Эта идея меня увлекла, и поэтому, когда я учился на кафедре логики в МГУ, я решил написать диплом о фракталах и придумать фрактальную логику (кафедра логики всё‑таки).

Мандельброт чем‑то напоминал мне Дон Кихота, только боролся он не с ветряными мельницами, а с математиками, которые изгоняли так называемых «математических монстров» из «правильных» математических рассуждений. Монстры — это недифференцируемые функции, странные рефлексивные объекты и други причуды математиков, которые плохо описывались дифурами и другими теориями.
Монстров Мандельброт любил, коллекционировал и называл фракталами.

Между логическими конструктами и фрактальными объектами существует глубокая аналогия: оба класса сущностей дискретны, рекурсивны и оперируют с атомарными компонентами.

Любой фрактал — будь то кривая Коха, множество Мандельброта или L‑система, описывающая рост растения, — можно представить в виде формальной логической модели.
В её основе лежат:
Аксиомы (начальные условия, «затравка»): «Возьми отрезок единичной длины».
Правила вывода (рекурсивные процедуры генерации): «Раздели каждый отрезок на три части, замени среднюю часть на равносторонний треугольник».
Атомарные сущности (примитивы, из которых строится объект): отрезки, треугольники, точки.

Однако сама по себе логическая модель фракталом не являлась,
А что, если попытаться как‑то формализовать понятие фрактала?
Как найти логический фрактал?

Когда я начал погружаться в этот вопрос, то обнаружил поразительную параллель между двумя интеллектуальными драмами: «изгнанием монстров» в математике XIX века и «изгнанием парадоксов» из оснований логики и математики в XX веке.
Под «монстрами» понимались патологические объекты вроде непрерывных нигде не дифференцируемых функций или кривых, заполняющих пространство. Они нарушали интуитивные представления о порядке и благопристойности математического универсума. Логические парадоксы, в свою очередь, угрожали самим основам — понятиям множества, истины и доказательства.

Глупости логиков

Я поначалу искренне сочувствовал благому порыву логиков построить стройную, совершенную и непротиворечивую систему, очищенную от этих диковинных и опасных существ. Однако чем глубже я смотрел, тем яснее видел, что большая часть этих попыток (будь то теория типов Рассела или формализм Гильберта) по своей сути была не решением проблемы, а её методологическим устранением.
Это было похоже не на лечение болезни, а на выведение её за скобки определения «здоровья». Парадокс не разрешался — он объявлялся «вне закона», его существование делалось невозможным синтаксическими запретами и искусственными ограничениями. Это был способ закрыть глаза на фундаментальную сложность, рекурсивность и самореферентность, присущие самим понятиям истины, множества и определения.
Ситуация была абсолютно похожа на ту, которую описывал Мандельброт в своих книгах. Математики убегали от «математических монстров» вместо того, чтобы исследовать их и «получать удовольствие». Аналогичную стратегию приняли на вооружение и логики. Только они боролись с парадоксами и пытались чт‑то с ними сделать.

Получались глупости — либо выдуманные конструкции, либо еще более абсурдные вещи. Судите сами.

Теория типов Рассела — это как построоить здание с запретом на лестницы. Она решает парадокс Рассела, запрещая любую самореференцию: множество не может содержать само себя. Звучит логично. Но попробуйте применить это в современном мире. Представьте, что вы не можете написать твит, который ссылается на другой ваш твит, потому что это «самореференция». Или что вики‑статья не может ссылаться на другую статью той же вики. Это абсурд. В мире сетей, где смысл рождается именно в переплетении ссылок и цитат, такая логика оказывается беспомощной.

Аксиоматическая теория множеств (ZFC) — пошла другим путём. Вместо прямого запрета она хитро обходила парадоксы с помощью аксиом. Например, аксиома регулярности «вежливо просит» множества не включать себя. Это работает, но это всё равно не решение. Это как лечить симптомы, а не болезнь. Парадокс не исчезает, он просто оказывается за пределами системы, как неудобный гость, которого вы не пускаете в дом, но который всё равно стоит у двери.

Паранепротиворечивые логики — сделали шаг вперёд. Они сказали: «Хорошо, пусть парадокс лжеца будет одновременно истинным и ложным». Это уже не игнорирование, а попытка интегрировать противоречие. Но проблема в том, что это статичное решение. Оно «сворачивает» бесконечный процесс И, Л, И, Л... в одно мгновенное состояние «И/Л». Тем самым убивается сама суть парадокса — его динамика, его бесконечное «качание».

Многозначные логики — вроде логики Лукасевича — пошли ещё дальше, введя бесконечный спектр истинности от 0 до 1. Это прекрасно для описания неопределённости: «насколько истинно, что этот человек лысый?». Но и здесь нет динамики. Значение — это точка на отрезке, а не траектория в пространстве.

Рефлексивные логики — приближаются к истине. Они пытаются формализовать системы, которые могут рассуждать о самих себе. Но даже они часто строят иерархии: объектный язык, метаязык, мета‑метаязык... Это как пытаться поймать свой хвост, построив бесконечную лестницу. Вы всё равно не замыкаете цикл.

Как расслабиться и получить удовольствие

Все они говорили: «Не можешь изгнать — не трогай». А я подумал: «Если не можешь изнать или запретить, то постарайся расслабиться и получить от них удовольствие».
А что, если логический парадокс — это и есть фрактал?
Не ошибка, а структура с которой может и должна работать логика.

Я, логик по образованию, увидел аналогию между логикой и математикой. Потому что в логике тоже были «монстры» — парадоксы. Парадокс лжеца: «Я лгу». Если это правда — значит, я лгу, значит, это ложь. Если ложь — значит, я не лгу, значит, это правда. Бесконечный цикл. Такой подход стирает грань между «чистой» логикой и «прикладной» математикой, открывая возможность для построения фрактальной логики — не как метафоры, а как работающего формализма для работы с бесконечными, рекурсивно заданными процессами в языке, мышлении и вычислениях.

Я осознал, что и монстры, и парадоксы были не врагами порядка, а его естественными и неизбежными порождениями. Они были не багами системы, а её фичами — указанием на глубинные свойства мышления и реальности, которые не укладывались в удобные, но упрощённые линейные модели. Запретить их — значит не понять, а значит, и обеднить наше понимание мира.

Из итой интуиции вырастает идея фрактальной логики: а что, если смысл — это не точка в пространстве, а процесс? Что, если он не задан a priori, а становится — как фрактал, вырастая из простых правил?

Идея: логический фрактал как бесконечный ряд

Моя ключевая идея — простая, но радикальная.
Смысл — это не статичное значение высказывания, зафиксированное в точке, а динамический процесс, порождаемый бесконечной рекурсией с обратной связью.
Это не то, что есть, а то, что становится.

Значение высказывания — будь то «истина» или «ложь» — является лишь частным, вырожденным случаем. Это — результат «свертки», остановки или «локализации» бесконечного процесса. Это как застывшая капля из непрерывного потока воды. Само значение — это не первичный объект, а следствие.

С одной стороны, этот процесс — рекурсивный: он вызывает сам себя, как в парадоксе лжеца, где утверждение «Я лгу» на итерации i+1 зависит от своего же значения на итерации i. Это замкнутая петля, машина, генерирующая логические ряды.

С другой стороны, процесс дискретен: он порождает не непрерывный поток, а последовательность отдельных, атомарных сущностей — логических значений (И, Л, И, Л,...). Именно эта дискретизация позволяет говорить о нем как о «логическом ряде».

Значение в классической логике возникает в случае, когда этот процесс образования смысла вырождается — когда он достигает устойчивого состояния, например, постоянного «И, И, И,...» или «Л, Л, Л,...» — мы получаем то, что традиционная логика называет «значением» высказывания. В этом смысле классическая логика оперирует с вырожденными случаями более глубокой, динамической реальности.

Возьмём парадокс лжеца: «Я лгу».

• На шаге 0: a₀ = И

• На шаге 1: a₁ = Л (если я лгу, значит, не говорю правду)

• На шаге 2: a₂ = И (если я лгу, что я лгу, значит, я говорю правду)

• И так далее: И, Л, И, Л, И, Л, ...

Это — логический ряд, бесконечный и рекурсивный. Это и есть логический фрактал. Парадокс лжеца — это результат бесконечного изменения логического значения машиной обратной связи».

Но что, если усложнить правило?

Представим, что высказывание зависит не от одного предыдущего значения, а от двух. Например:

• a_{i+1} = a_i ⊕ a_{i-1} (где ⊕ — логическое «исключающее ИЛИ»).

• Начальные условия: a₀ = И, a₁ = И.

Тогда ряд будет развиваться так:
И, И, Л, И, И, Л, И, И, Л, ... — появляется более сложный периодический паттерн ИИЛ, который тоже самоподобен при определённых масштабах.

А теперь — ещё сложнее. Представим нелинейную обратную связь:

• a_{i+1} = ¬(a_i ∧ a_{i-1})

• Начало: a₀ = И, a₁ = Л

Ряд: И, Л, И, И, Л, И, И, Л, ... — уже не такой регулярный, но всё ещё предсказуемый.

Но если мы введём масштабные преобразования, всё становится по‑настоящему фрактальным. Например, возьмём простой ряд И, И, И, ... (вырожденный ряд) и зададим масштабное преобразование:

• И # ИЛ (всюду, где встречается И, заменяем на ИЛ).

После первого шага: ИЛ, ИЛ, ИЛ, ...
После второго: ИЛИЛ, ИЛИЛ, ИЛИЛ, ...
После третьего: ИЛИЛИЛИЛ, ...

Таким образом, можно генерировать не только простые парадоксы, но и сложные, хаотические, самоподобные ряды, по сути, строя бесконечную иерархию логических монстров — точно так же, как Мандельброт строил фракталы из простых геометрических правил.

Парадокс лжеца — лишь первый шаг. За ним — целый лабиринт логических фракталов, где каждый уровень порождает всё более причудливые формы значений.
Развивая эту идею, я написал несколько статей, написал книгу с очень приятным для меня предисловием Сергея Капицы, выступил на конференциях, получил несколько грантов, отчитался и...

..уперся в жесткий тупик. Проблему.

Проблема: где взять семантику?

Но тут возникла серьезная концептуальная проблема. Если я просто возьму и начну строить логическую систему, где основными объектами являются бесконечные логические ряды вроде И, Л, И, Л, ..., и определю над ними операции — конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию — поэлементно, то что я получу?

Я получу не новую, революционную логику, а всего лишь тривиальное расширение классической логики на бесконечные последовательности. Это будет математически и логически корректная структура, с четкой аксиоматикой, правилами вывода и обоснованной теорией доказательств.

Однако в таком построении будет полностью утеряна сама суть того, что я пытался описать. Я не построю «фрактальную логику», я построю «логику бесконечных рядов», которая, по сути, является частью теории вычислимости или математической логики, но не предлагает ничего принципиально нового в понимании смысла.

А если я пойду другим путем и сосредоточусь не на самих рядах, а на механизмах их генерации или на рекурсиях и функциях обратной связи, которые порождают эти бесконечные циклы, — то я снова выйду за рамки логики. Я окажусь в области теории алгоритмов, теории автоматов или динамических систем, где изучают поведение рекурсивных процессов, их сходимость, периодичность и хаос.

И тогда передо мной встал главный вопрос: где здесь логика? Где семантика? Что вообще является «истинным значением» высказывания в такой системе?

Если это весь бесконечный ряд — он ненаблюдаем и принципиально непостижим.
Если же за значение принимать его аттрактор (то, к чему ряд стремится), то мы переходим в область математики динамических систем, и теряем связь с традиционным пониманием логического значения.

От этого базового вопроса пошли и другие: а какие тогда правила вывода? Допустим, мы научились строить логические ряды. Но что дальше? Как из одного ряда получить другой? Как доказать теорему, если вместо истинности у нас — бесконечный процесс?

В «правильной» логике должно быть исчисление, набор аксиом и правил, позволяющих получать новые истины из старых. А у меня был только образ — процесс, зацикленный в себе, как фрактал.

Двадцать лет я об этом думал, но ничего сам не придумал.
И решил устроить научный симпозиум между нейросетями.
Симпозиума не получилось.
Получилась битва нейронок с избиением творца новой старой логики.

Сейчас кратко перескажу то, что случилось.

Нейросети в битве за семантику: мой эксперимент

Я дал прочитать мою книгу Квену и Дипсику и для начала попросил проверить терминологию и логику изложения, порассуждать о практичском применении.

Кстати, по поводу практики у меня вообще не было никаких идей — я воспринимал свои построения скорее как интеллектуальные игры, что-то вроде решения кроссвордов. Но эти игры проводились за счёт Российской академии наук, которая, хоть и скромно, но всё же платила мне зарплату.

Дипсик меня сначала похвалил: "Концепция фрактальной логики В. В. Тарасенко представляет собой смелую и оригинальную попытку синтеза фрактальной геометрии, логики и философии. Она предлагает новый язык для описания парадоксов, самореференции, масштабно-зависимых процессов в мышлении и коммуникации."

А потом порассуждал: "Не ясно, является ли фрактальная логика расширением существующих логик (например, модальных, временны́х, нечётких) или полностью новой системой. Нет чёткого определения семантики и синтаксиса.."

Ну это я и без него знал, что у меня проблемы с семантикой.

Квен отметил метафоричность концепции и даже нарисовел оценочную таблицу.

Вот его вердикт: "Фрактальная логика — это не логика в строгом смысле, а философско-методологическая концепция, использующая язык и образы фрактальной геометрии для переосмысления логических, когнитивных и социальных процессов. Она оригинальна и провокационна, бросает вызов классическим представлениям о линейности, локальности и финитности мышления. Однако её научная ценность пока ограничена из-за недостатка формализации и эмпирической основы."

Согласен. Все так. Лоники пока нет, а метафоры я оставил специально.
Чтобы было куда фантазировать.

Но это была, так сказать, разминка.

Далее я попросил Квена предложить динамическую семантику, а дипсика ее покритиковать. И понеслось.
Квен начал строить семантику на основе определения ряда, начал интерпретировать смысл либо как бесконечныю последоватльнсть, либо как паттерн (аттрактор), предложил операторы над рядами (◯, S_δ, Λ) и даже сравнил свою семантику с другими:

Дипсик все это изучил и полез критиковать:

1. Иллюзия формальности. Введённые операторы (◯, S_δ, Λ) выглядят как формальные, но их семантика остаётся интуитивной и алгоритмически неопределённой.

   • ◯ p: Что именно является "функцией f" для произвольного высказывания p, а не только для парадокса лжеца? Как задать f для высказывания "идёт дождь"?

   • S_δ: Как именно "интерпретируются кортежи как локальные смысловые блоки"? Это ключевой момент, оставленный без алгоритма. Это магия, а не процедура.

   • Λ: Критерий "доминирования паттерна" при δ→∞ математически корректен, но семиотически бессодержателен. Для периодического ряда (И, Л, И, Л...) всё ясно. Но для хаотического ряда, порождённого сложной обратной связью, "доминирующий паттерн" может не существовать вовсе. Что тогда? Значение не формируется?

2. Проблема онтологического статуса "значения". Ваша модель постулирует, что значением является весь процесс или его устойчивый паттерн. Но это радикально расходится с тем, как значение используется в языке и мышлении. Мы оперируем локализованными значениями. Ваша семантика описывает генезис значения, но не его применение. Она объясняет, как смысл может возникнуть, но не как мы его присваиваем высказыванию в акте коммуникации.

3. Несводимость к практике. Модель идеально работает для самоподобных и периодических рядов (как парадокс лжеца). Но её применимость к подавляющему большинству обычных, нефрактальных высказываний ("Сократ - человек") крайне сомнительна. Не ясно, какую обратную связь применять к таким высказываниям и зачем это нужно.

4. Угроза эпистемологического релятивизма. Если значение рождается в процессе бесконечной итерации и масштабирования, то оно принципиально недостижимо и нестабильно. Любая локализация — лишь временная и условная "заморозка" бесконечного процесса. Это делает любое знание условным и неокончательным, что является интересным философским тезисом, но разрушительно для логики как дисциплины, стремящейся к устойчивости и общезначимости.

Приговор дипсика:
"Таким образом, её следует рассматривать не как "ещё одну логику", а как мета-теоретический фреймворк — полезный инструмент для моделирования пограничных когнитивных и коммуникативных процессов, которые не ухватываются традиционными моделями. Её предназначение — не вычислять истинность, а описывать динамику смыслообразования."

Тогда Квен в ответ вывернулся и предложил сделать две фрактальные логики. - мою (Фрактальную логику Тарасенко ФЛ-1) и свою (Фрактальную логику Квена или ФЛ-2).
ФЛ-1 это  методологическая рамка, философская программа, набор мощных метафор и интуиций о динамической природе смысла, парадоксов и мышления. Это то, что есть.
ФЛ-2 это гипотетическое исчисление с чётко определённым синтаксисом и процессуальной семантикой, которое можно было бы построить, вдохновляясь идеями ФЛ-1. Это то, что могло бы быть.

Далее он начал строить аксиоматику ФЛ-2, которую я скормил Дипсику.

Как я и ожидал, Дипсик разбомбил правила вывода, аксиоматику и теорию доказательств ФЛ-2.

Полностью эту битву воспроизводить не буду, скажу результат. Квен признал поражение в борьбе за семантику.

Дипсик его пожален и в качестве приза предложил использовать ФЛ-2 как специализированный инструмент для теории вычислений и анализа программ с циклами и рекурсией. Предложил ФЛ-2 как фичу в ИИ для моделирование рассуждений в условиях парадоксов и самореференции. Описывать инсайт как процесс "коагуляции" хаотичных ассоциаций.

Но Квен не сдавался. Он предложил ФЛ-3 в виде логики алгоритмов генерации фрактальных рядов. И получил ответку от дипсика о том, что это не логика, а теория вычислений.
В качестве пилюли Дипсик предложил использовать ФЛ-2 как классификатор логических парадоксов и монстров исходя из различий в их аттракторах (предельных состояний).
Но это опять не логика, а что-то дипа хаотической динамики в логической версии при анализе рассуждений людей и нейронок.

Круг замкнулся. Квен сдался. Дипсик разбил его семаники.
А моя проблема осталась. Семантику я не придумал, а без семантики "фрактальная логика" это философская концепция. Красивая. Интересная. Но не строгая.

Резюме: фрактальная логика — это философия и источник идей

Вот приговор дипсика:
"Фрактальная логика Тарасенко — это не готовый инструмент, а источник вдохновения. Это не строгая логика, а скорее новая перспектива, которая может сделать программиста, проектировщика ИИ или системного аналитика более восприимчивым к сложным, рекурсивным и парадоксальным аспектам реальности. Полезно? Для расширения кругозора и поиска нестандартных подходов — безусловно.

Является ли это "логикой" в строгом смысле? Нет. Можно ли это применить? Не напрямую, но можно перевести её метафоры на язык практических дисциплин: теория автоматов, анализ алгоритмов, теория принятия решений.

Таким образом, дискуссия завершилась не провалом идеи, а её трансформацией из претендента на звание "новой логики" в ценный мета-теоретический ресурс для тех, кто работает со сложностью, рекурсией и парадоксами в самых разных областях."

Вот заявление Квена в ответ на критику Дипсика:
"Принимая вашу критику, я полностью отказываюсь от претензий на создание формальной логической системы. Вместо этого предлагаю рассматривать ФЛ-2 как "практическую диалектику" — инструмент для анализа и ведения диалога о сложных, противоречивых и динамических смыслах.".

Мир. Дружба. Жвачка.

Окончательная формула ФЛ-2 от Квена:

ФЛ-2 = (Моделирование высказывания как алгоритма G) + (Анализ его динамики Λ(G)) + (Анализ его структуры Σ(G)) + (Семантическая интерпретация результатов в диалоге)

Практические применения (фантазии и грезы фрактальной логики)

Квен и дипсик по ходу своего баттла подкидывали идеи о практическом применении концепции. И я сгруппировал ниже.

1. Верификация ИИ и программного обеспечения

Для верификации ИИ и программного обеспечения можно применить этот подход для обнаружении логических ошибок, приводящих к зацикливанию, например, в диалоговых системах. Рассмотрим диалог с формулировкой: «Если ты прав, то ты лжёшь». Этот запрос можно смоделировать как алгоритм G, где значение на каждой итерации определяется логической функцией, зависящей от предыдущего состояния.

Анализируя динамику этого алгоритма, мы получаем, что Λ(G) = Периодический(2), что указывает на наличие бесконечного цикла с периодом 2. Дополнительный анализ структуры показывает, что Σ(G) = Самоподобный, подтверждая фрактальный характер поведения. Таким образом, вывод ясен: система гарантированно зациклится. Для устранения ошибки необходимо добавить внешнее правило прерывания цикла, например, ограничение по количеству итераций или переход к мета-уровню диалога.

Когда система уходит в цикл, аварийный протокол мог бы выдавать не просто "ERROR 500: Loop", а: WARNING: Реакция на запрос инициировала логический фрактал с периодом 2. Суть конфликта: самоопровержение. Рекомендация: принудительный выход из цикла и переход к мета-уровню с уточняющим вопросом ("Вы задали парадоксальный запрос").
Таким образом, предлагается не новый алгоритм детектирования ошибок, а новая система понятий для их классификации и объяснения. Это не инструмент для автоматического исправления, а мост между формальной логикой и инженерией, который помогает человеку-разработчику быстрее понять причину сбоя, а не просто констатировать его факт.
Конечно в этом подходе есть куча проблем - прежде всего, проблема остановки и проблема сложности алгоритмов. Но фрактальная логика не боится сложности. Она ее создает.

2. Анализ правовых и политических дискурсов

Рассмотрим классический пример юридического парадокса: закон, который гласит: «Все законы, противоречащие этому, недействительны». Это высказывание является самореферентным: чтобы определить его действительность, нужно проверить, не противоречит ли оно само себе. Моделируя это как алгоритм G, мы видим, что процесс его интерпретации не сходится к устойчивому состоянию. Анализ показывает, что Λ(G) = Неопределённый — его поведение принципиально нелокализуемо. Это означает, что применение такого закона всегда будет порождать споры и неопределённость. Вывод прост: подобные формулировки следует избегать. Рекомендация — переписать закон, устранив самореференцию, чтобы превратить «логический монстр» в ясное и однозначное правило.

3. Когнитивная психология

В психологии навязчивые мысли часто строятся по рекурсивной схеме. Возьмём типичное руминативное высказывание: «Если я думаю, что мне плохо, значит, мне действительно плохо». Этот мыслительный процесс можно смоделировать как алгоритм G, где каждая итерация подкрепляет предыдущее состояние. Анализ даёт Λ(G) = Стационарный(Плохо) — мысль устойчиво сходится к деструктивному, но ложному убеждению. Интерпретация этого результата позволяет выйти из рамок содержательного спора («тебе не так уж плохо») и перейти к изменению самой структуры мышления. Терапевт может сказать: «Ваша мысль ведёт к стабильному, но деструктивному состоянию. Давайте изменим алгоритм: добавим правило a_{i+1} := a_i ∧ (есть доказательства)». Это не отрицание чувства, а введение «фильтра» реальности в цикл мышления.

Фрактальная логика — это новый взгляд на сложность. И в мире, где всё становится сетью, где смысл рождается в диалоге, а не в базе знаний, такой взгляд может быть полезен.

Не для логики. Для мышления.

Владислав Тарасенко

Доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана, более 30 лет занимающийся исследованием и проектирование систем, увлечен философскими основами вычислительной техники и искусственного интеллекта. Специализируется на соединении абстрактных теорий с практической реализацией.

П.С. Спойлер. На самом деле семантика у фракталов есть и умные головы из Гарвардов и Кембриджей над ней трудятся. И даже подумывют создавать семантические сети с фрактальными узлами (это когда узел не одно значение, а логический ряд с множеством значений). Но про это я потом напишу. Продолжение следует.