Предложу сегодня подход и буду признателен, если специалисты его дополнят.

Выведу по шагам, как матрица кодирует параллелограмм на вещественной плоскости и как один параллелограмм преобразовывает второй параллелограмм. Лирику вообще не пишу. Для общего образования статья тоже может быть полезна, если вы интересуетесь математикой.

Представление этого инструментария на плоскости сделает проще изучение его же в 3D. А если надо просто ознакомиться, то пробегитесь по картинкам с пояснениями, не открывая подкаты.

Обозначения и названия введу постепенно: от простого, с первого курса, к математическому сленгу. 3D не рассматриваю, это понимания сути не добавит. Но ключевой тезис по 3D — в конце шестой части.

Содержание:

(1) Произвольная матрица и её числа.
(2) Матричное задание параллелограмма.
(3) Описание матричного параллелограмма в координатах.
(4) Построение правого и левого пространств матриц.
(5) Алгебра с умножением.
(6) Визуализация кватерниона на плоскости.

Начнем.

(1) Произвольная матрица и её числа.

Произвольную вещественную матрицу запишем в стандартном и разложенном виде.

(1.1.) Параметры разложения определяются по простым формулам.

(1.2.) Также запишем эти параметры в тригонометрическом виде.

Где q, v — произвольные положительные числа.

(1.3.) Попарно они образуют два объекта со свойством, как у векторов в декартовых координатах.

Примечание. Я воспользовался свойством, что любую пару вещественных чисел можно представить в тригонометрическом виде. А так как матрица кодирует произвольные четыре числа, для записи четверки чисел требуется еще связать (q,v).

(2) Матричное задание параллелограмма.

Про числа написали. Что можем сказать про матрицы?

(2.1.) Наша матрица состоит теперь из двух компонент.

*Тригонометрические матрицы М1, М2 — это собственное и несобственное ортогональные преобразования, если на них смотреть с точки зрения линейной алгебры. А если смотреть с точки зрения алгебр Клиффорда, то это единичный кватернион и единичный вектор.

(2.2.) Определитель матрицы А и определители Q, V.

(2.3.) Матрица Грамма также раскладывается на sxyz, причем тождественно yg=0.

*Далее потребуются обе записи для (xg, zg), поэтому я записал их двумя способами.

Заметили что то?

Квадраты длин сторон кодируются через множитель скаляра Sg и определитель, квадраты длин диагоналей кодируются через множитель скаляра Sg и множитель вектора Xg. Площадь кодируется через множитель вектора Zg. Почему и какого вектора, смотрите ниже.

Делаем вывод, что матрицу можно сопоставить параллелограмму, параметры которого описываются этими простейшими формулами. Но мы понимаем, что кодируется, но не понимаем пока, как конкретно расположены компоненты. Как неабстрактно направлены sxyz?

*Соответственно в таком виде случаю D=0 соответствует ромб (q=v).

(3) Описание матричного параллелограмма в координатах.

Задание координат для этого параллелограмма, в привязке к какому-то конкретному базису в виде нарисованных на плоскости стрелочек, — вопрос, вообще говоря, относительный. Что относительно чего координировать?

(3.1.) Запишем еще раз наши матрицы:

Это два объекта, записанные в своих базисах из сигма-матриц (базис алгебры Клиффорда). В отличии от вектор-столбцов, на плоскости не два, а четыре линейно независимых объекта.

Про алгебраические свойства и выбор базиса на всякий случай убрал подкат. Мало ли кто не любит усложнение терминологии и много букв. Но тут интересное по математике. (Вставил частично в виде картинок, так как большие блоки текста с формулами в подкат вставлять не удобно).

(3.2.1.) Назовем величины следующим образом:

(3.3.) Мне видится логичным зацепиться за базис (z,x).

(3.4.) Как записать кватернион в координатах (x,z)?

(4) Построение правого и левого пространств матриц.

(4.1.) Запишу "квадраты" всех матриц.

(4.2.) Мы обнаружили некий класс подобъектов.

(4.3.) Возврат к четверке независимых чисел.

(4.4.) Определение параметра r для объектов с нулевым определителем.

(5) Алгебра с умножением.

(5.1.) Со сложением мы разобрались, теперь разберемся с умножением. Пусть один объект преобразует второй умножением на транспонированную матрицу, по аналогии с произведением для формирования матрицы Грамма.

где P — матрица проекций компонентов A на A', которая тоже образует параллелограмм в разложении sxyz. Также в скалярной части — скалярные произведения компонент, в векторной части — псевдоскалярные.

В случае если v_|_v` и q_|_q` получаем матрицу с нулевым скаляром (бесследовую).

В общем, зная, что был за объект и что за объект получили, однозначно воссоздаём, каким способом мы это сделали.

Алгебра Клиффорда удобна тем, что в ней все равно, что через что выражать. Суммой, умножением, или даже делением. С векторами в виде столбцов 2х1 так не получится.

(5.2.) Отдельно разберем случай, когда параллелограмм преобразуем в ромб (или наоборот).

Пусть A' является ромбом. И пусть ее скаляр положителен. Тогда она описывается кратко так:

Что будет за матрица проекций, получаем по тем же формулам выше, подставляя s'. Про новую матрицу мы также знаем, что ее определитель будет равен нулю. Но еще есть матрица Грамма, компоненты которой мы теперь знаем, как вычислять и что они означают. Соответственно, можем построить этот ромб без ограничений на умножение матриц с нулевым определителем.

(6) Визуализация кватерниона на плоскости.

(6.1.) В подкате выше мы выяснили, что удобное для визуализации представление матрицы такое:

Угол ф2 из начала статьи заменен на угол ф1-ф2. Матрица М1 из начала статьи заменена на транспонированную себя.

В формуле: d - означает единый масштаб всех элементов параллелограмма, r - задает длины объектов, ф1,ф2 - обычные углы на плоскости. Начало отсчета ф1 лежит на векторе V. Так же теперь появилось начало координат.

Длины обоих объектов оказались связаны, и существует два типа объектов алгебры Клиффорда на плоскости.

Картину дополняет союзная матрица.

Также удобно, что в такой записи ноль-объекты тоже имеют направление, если приравнять d не математическому, а машинному нулю (ϵ ).

Ну и, наверное, главное по математической теории. Если спроецировать рассмотренную плоскость на любую из неиспользованных здесь матриц Паули (на σ2 — третий базисный вектор, или на σ123 — тривектор), то получим мы объект на плоскости, ортогональной к рассмотренной.

И если сложить объекты на этих двух плоскостях, то мы получим произвольные четыре грани некоего объекта в трехмерном объёме, заданных произвольной комплексной матрицей 2x2. Что означает, что математически восьмимерный объект соответствует трем физическим измерениям. Каждое из восьми математических измерений алгебры Клиффорда линейно независимо в отличии от модели из линейной алгебры, построенной на вектор-столбцах.

А вот окажется ли этот трехмерный объект произвольным восьмигранником или какой-то штукой похитрее, я не знаю. Это тема для хорошей научной статьи, что уже совсем не для формата «Хабра».

(6.2.) Осталось разобраться, что же образует в таком представлении произведение матриц.

Посмотрим на образование матрицы C преобразованием матрицы A матрицей A', без множителей d.

Выражения для параметров также не сложны, как и для исходных объектов. Причем можно отдельно видеть, как изменяются масштабы и углы, как у комплексных чисел в форме Эйлера.

Пользоваться можно любым из описанных представлений, в зависимости от задачи, а визуализировать полученное можно только последним. Представление получилось формально четырехмерное, но два измерения — это просто степени свободы системы из двух объектов.

(6.3.) Например, вот такая фигура рисуется кватернионом Qc, если свободным параметром выбрать φ1, а остальные зафиксировать.

А вектор Vc рисует просто прямую, если свободным параметром сделать только r=t.

В фиксированные параметры подставлены случайные числа.

Спасибо за внимание!

P.S. Большое спасибо @master_program за конструктивную критику первых версий этого материала, они были написаны сильно сложнее, и без его предложений я бы шел к тому, что здесь гораздо дольше.

P.P.S. Понятно, что все то же самое можно получить в абстрактной форме. Но есть нюанс, и он в том, что, во-первых, символьная математика, например MathCAD, не умеет работать с абстрактной формой, а глазами очень легко пропустить, например, это.