Индексы — что это такое и как с ними работать? / forpes.ru

Главная
Индексы — что это такое и как с ними работать?

Индексы — что это такое и как с ними работать?

21.10.2026 19:09

AndrewPeuny 2 2800 Источник

Поговорим немного об индексах в том виде, как они применяются в физике, линейной алгебре и смежных науках. Если кратко, то наша цель ‑- научиться работать с выражениями вида

$a_i,\quad b_{ij}, \quad\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj},\quad \delta_{ij},\quad \varepsilon_{ijk}, \,\,\,\,\ldots$

понимая их достаточно глубоко, а именно как функции на некотором конечном множестве.

Обычно этот материал считается очевидным, и все ограничивается фразой вроде «занумеруем набор компонент таким‑то индексом», поэтому под «достаточно глубоко» я предполагаю именно понимание происходящего в таком виде, чтобы каждый прочитавший мог впоследствии это понимание применить в новой, незнакомой или сложной ситуации.

Функции и отображения в целом

Для начала вспомним понятие функции как частного случая отображения между двумя множествами. Настоятельно рекомендую не пропускать этот небольшой кусок, поскольку он критически важен для дальнейшего повествования.

Пусть — два множества. Отображением

$f \colon X \to Y$

называется правило, которое каждому элементу $x \in X$ сопоставляет единственный элемент $f(x) \in Y$ . Это база.

обычно мы представляем себе отображения как-то так — обычно мы представляем себе отображения как‑то так

Когда и — числовые множества (например, множества действительных чисел $\mathbb{R}$ ), отображение принято называть числовой функцией, или просто функцией. Так, запись

$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad f(x) = x^2$

означает, что каждому действительному числу сопоставлен квадрат этого самого числа. Следует понимать, что имя функции — это . Буква в записи — лишь обозначение аргумента функции; никакого собственного смысла она не несёт. Записи

$f(x) = x^2 \qquad \text{и} \qquad f(y) = y^2$

описывают одну и ту же функцию . А вот запись — бессмыслица.

Заметим, что в физике традиция диктует противоположное: одну и ту же физическую величину часто обозначают конкретной буквой: давление и как функции температуры и объема в одном случае и температуры и энтропии в другом. Этим удобством мы дальше злоупотреблять не будем: с математической точки зрения это две разные функции, следовательно, должны обозначаться разными буквами.

А кто же такие индексы?

Индексы всего‑навсего представляют из себя простой частный случай числовых функций, а именно такой, когда область определения является конечным множеством. (По сути, на этом статью можно заканчивать, поскольку этим все сказано. Далее будут лишь формализация этой мысли и конкретные приложения.)

Как мы увидим, этот случай действительно гораздо проще, чем случай функций, определенных на всем множестве вещественных чисел, однако он менее привычен. Это обстоятельство мы и собираемся устранить, причем уже имеющийся опыт работы с «обычными» функциями будет в этом полезен: многие факты будут перенесены на специальный случай путем полной аналогии.

К делу! Зафиксируем натуральное $n \in \mathbb{N}$ и рассмотрим множество

$I \;=\; \{1, 2, 3, \ldots, n\}.$

Индексной функцией назовем любое отображение $a \colon I \to \mathbb{R}.$ Это определение предварительное, далее его можно будет уточнить, а точнее обобщить на случай нескольких индексов, но пока оставим как есть.

Для таких функций по чисто визуальным причинам принята особая запись: вместо пишут . По определению

$a_i \equiv a(i), \qquad \forall i \in I.$

Вновь подчеркнём, что — это имя функции, а — имя ее аргумента. Все сказанное в этом контексте о функциях на $\mathbb{R}$ переносится на индексные функции без изменений, поскольку с точки зрения названий функций и аргументов нет разницы, на каком множестве функция определена.

Далее подумаем немного о способах задания функции: как объяснить, с какой именно функцией мы имеем дело?

В случае функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ самым наглядным является график, а самым удобным с точки зрения алгебраического обращения — формульная запись. Но для индексных функций появляется возможность, которой не было для функций на $\mathbb{R}$ : множество определения индексной функции по определению конечно, поэтому самым интуитивным способом задания индексной функции является попросту перечисление значений этой функции при всех возможных аргументах. Реализовать это можно с помощью таблицы:

				$\cdots$
				$\cdots$

Что же касается графического и формульного способов задания функции, то они также работают. Однако график индексной функции на обычной декартовой плоскости вырождается в конечное множество точек, поэтому графической способ не имеет плюсов перед таблицей. Формульный же способ остается вполне рабочим, хотя и редко используется по причине того, что большинство физически значимых индексных функций не задаются формулой естественным образом.

Равенство и операции

Как уже было сказано, в записи — это имя функции, а — имя ее аргумента. Следует четко понимать, с каким объектом мы имеем дело: функцией, аргументом, значением функции или, например, всем множеством значений функции. Для пояснения сказанного обратимся к примеру:

Пусть $I = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ и заданы две функции:

$a_i = i, \qquad b_j = j.$

Вопрос 1: Имеет ли смысл писать

Да. Это утверждение о функциях: и — это одна и та же функция. Имя аргумента ( или ) ни на что не влияет, ровно как для непрерывных функций и — это одна функция.

Вопрос 2: Имеет ли смысл писать ?

Это бессмыслица в том виде, в каком написана. Слева стоит число (значение функции при каком‑то неопределенном аргументе ), справа — число (аналогично). При конкретных значениях такое равенство может иметь смысл, например . Однако, суть такая же бессмыслица, как . Если для каких‑то функций их значения совпадают на некотором множестве аргументов, то может иметь смысл запись с указанием множества, которому принадлежит аргумент , ровно как и в случае функций на $\mathbb{R}$ , когда для и можно написать при $x \geq 0$ . Следовательно, поскольку функции и равны, корректна следующая запись:

$\,a_i = b_i, \quad \forall i \in I.\,$

Это эквивалентно равенству функций , однако заметьте, что в одном случае мы приравниваем сами функции, а в другом их значения.

Арифметические операции над индексными функциями определяются естественным образом:

$(a + b)_i = a_i + b_i, \qquad (a \cdot b)_i = a_i \cdot b_i, \qquad \dots, \qquad \forall i \in I.$

Вновь обратите внимание на разную природу знаков сложения и умножения в разных частях равенств.

Как уже было сказано, прослеживается четкая аналогия с функциями на $\mathbb{R}$ , для примера рассмотрим умножение: если $a, b \colon I \to \mathbb{R}$ , то их произведение $c_i \mathrel{=} a_i b_i$ задаёт новую функцию $c \colon I \to \mathbb{R}$ . Это полный аналог . Как можно догадаться, простор для построения новых функций огромен.

А что если индексов больше?

До сих пор аргумент функции пробегал множество . Ничто не мешает рассмотреть отображения более общего вида:

$c \colon I^2 \to \mathbb{R}., \qquad T \colon I^3 \to \mathbb{R}., \qquad \ldots, \qquad a \colon I^k \to \mathbb{R}.$

часто мы представляем себе декартовы произведения множеств как-то так — часто мы представляем себе декартовы произведения множеств как‑то так

Здесь $I^k \equiv I \times I \times \cdots \times I$ ( раз) — декартово произведение, то есть множество упорядоченных наборов из штук элементов из . Слово «упорядоченных» существенно: пара и пара — это разные элементы .

Более того, можно рассмотреть функции, определенные на декартовых произведениях неравных дискретных множеств. Возможно, вы удивитесь, но это очень очень и очень нужная и используемая конструкция (догадались о чем речь?) если нет ‑- расскажу дальше).

Такие функции тоже назовем индексными по определению. Если немного подушнить и выдать четкое определение, то следует множества вида $I \;=\; \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ назвать, к примеру, индексными, а индексными функциями назвать любые отображения из декартова произведения конечного набора произвольных индексных множеств в $\mathbb{R}$ . Звучит сложно, но по сути, простой объект. Программисты бы сказали, что это просто многомерный массив с разными размерами в общем случае.

Значения (при каких‑то фиксированных аргументах) «многоиндексной» функции записывают индексами снизу, полностью повторяя традицию, принятую в случае одного индекса (аргумента):

$c_{ij} \equiv c(i, j), \qquad T_{ijk} \equiv T(i, j, k).$

Все предостережения по поводу разграничения названий функций и их аргументов само собой остаются в силе и в этом случае.

Операции над «многоиндексными» функциями ничем не отличаются от операций с произвольными функциями: арифметические действия можно выполнять над функциями с одинаковыми аргументами. Например, для $a, b : I^2 \to \mathbb{R}, \quad c,d : I^3 \to \mathbb{R}$ :

$(a + b)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \qquad (c \cdot d)_{ijk} = c_{ijk} \cdot d_{ijk}, \qquad \dots, \qquad \forall i,j,k \in I^3.$

Комбинируя произвольные индексные и «многоиндексные» функции можно составлять новые функции от большего числа аргументов. Например, $a: I \to \mathbb{R}, \quad b : I^2 \to \mathbb{R}$ , тогда из них можно построить функцию $c \colon I^3 \to \mathbb{R}$ , определив ее как

$c_{ijk} = a_i \cdot b_{jk}, \qquad \forall i,j,k \in I^3$

в полной аналогии с $h(x, y, z) = f(x)\cdot g(y, z)$ для функций на $\mathbb{R}$ . Вариантов может быть много.

Зачем нужно несколько индексов (и нужно ли?)

Что касается способов задания функции нескольких индексов, то они остаются такими же, как и для функции одного индекса: формула и таблица. Правда, теперь таблица может быть двух вариантов, но это уже детали) НО! оказывается, что именно для «многоиндексных» функций есть совершенно новая возможность, с которой мы никогда не сталкивались для «обычных» функций, то есть, например, определенных на $\mathbb{R}$ .

Поскольку в множестве, например, ровно элементов, его можно занумеровать одним индексом , пробегающим $\{1, 2, \ldots, n^2\}$ согласно некоторому правилу (не принципиально, какому именно). Тогда произвольную функцию $a : I^2 \to \mathbb{R}$ можно с помощью этого правила соотнести с функцией $b : I^* \to \mathbb{R}$ :

$a_{ij} \longleftrightarrow b_k, \qquad (i, j) \in I^2, \quad k \in \{1, 2, \ldots, n^2\}.$

(Возможно, вы знаете пример, где это используется? А, скорее всего, точно знаете, но просто никогда об этом даже не задумывались! )

Зачем это нужно? Зачем вообще нужны функции нескольких индексов, если все их заведомо можно заменить функциями одного? Что ж, как обычно, резонность введения тех или иных понятий/определений оправдывается их практической применимостью и нужностью. Опыт показывает, что да, нужно. Еще хороший вопрос, о котором можно подумать, это почему тогда такая «редукция» не работает (или никогда нам не встречалась) для функций на $\mathbb{R}$ . А можно и не думать.

Суммы

Для непрерывной функции $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ интеграл

$\int_{\mathbb{R}} f(x) \, dx \;=\; \alpha \in \mathbb{R}$

есть число, имеющее в зависимости от задачи конкретный физический и геометрический смыслы. Для индексной функции аналогом служит сумма, которая также может иметь непосредственное соприкосновение с практикой: например, сумма арифметической прогрессии в точности есть сумма значений индексной функции, заданной формульно (или рекуррентно).

Введем стандартные обозначения для суммирования с помощью знака $\sum$ . Пусть $a \colon I \to \mathbb{R}$ . Тогда

$\sum_{i=1}^{n} a_i \equiv a_1 + a_2 + \cdots + a_n \;=\; \alpha \in \mathbb{R}.$

Точно так же, как может иметь смысл брать интеграл не по всему множеству определения, а по какому‑то подмножеству, может иметь смысл и сумму брать по конкретному подмножеству множества определения.

$\sum_{i=1}^{3} a_i \equiv a_1 + a_2 + a_3 \;=\; \beta \in \mathbb{R}.$

Далее интереснее. Рассмотрим для функции $a \colon I^2 \to \mathbb{R}$ следующую конструкцию:

$\sum_{i=1}^{n} a_{ij} \;=\;?$

Что за объект должен стоять в правой части равенства? При каждом фиксированном правая часть — какое‑то число; меняя , мы получаем разные числа. Следовательно, необходимый объект есть новая функция от оставшегося индекса , например $b: I \to \mathbb{R}$ . Вновь прослеживается полная аналогия с интегралами:

$\sum_{i=1}^{n} a_{ij} \;=\; b_j \qquad \longleftrightarrow \qquad \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \, dx \;=\; g(y).$

Принцип следующий: от индекса, по которому ведется суммирование, результат уже не зависит, ровно как результат интегрирования не зависит от переменной интегрирования. Такой индекс обычно называют «немым»; напротив, индексы, входящие в результат суммирования, называют «свободными», от них выражение зависит. По понятным причинам немые индексы могут быть переименованы произвольным образом без потери смысла:

$\sum_{i=1}^{n} a_{ij} \; = \, \sum_{k=1}^{n} a_{kj} \;=\; b_j$

Конструкции, содержащие суммирования, можно обобщить вполне произвольным образом. Для примера, пусть $a \colon I^2 \to \mathbb{R}$ и $b \colon I \to \mathbb{R}$ . Тогда:

$\sum_{i=1}^{n} a_{ij} b_i \;=\; c_j, \qquad \sum_{i=1}^{n} a_{ii} b_i \;=\; \alpha \in \mathbb{R}.$

Предостережение: если вы уже знаете «правило Эйнштейна», то вам могут показаться странными последние написанные суммы, однако не парьтесь ‑- здесь оно ни при чем. Видите ли, здесь нет ни верхних ни нижних индексов, ровно как и причин, запрещающих суммировать по более чем двум из них. Почему так? Это вопрос не к данной теме, а к самому правилу, точнее, к причинам, позволяющим его ввести в некоторых случаях. С точки зрения простых индексных функций (не примененным еще к линейной алгебре и ее объектам) никаких запретов типа «правила Эйнштейна» не существует.

Перестановочность сумм

‑- это, пожалуй, последнее, о чем стоит поговорить в контексте данной темы. Дело в том, что полезными, а порой и необходимыми, бывают выражения, содержащие несколько сумм, точнее говоря, суммы по нескольким индексам. Основной факт, касающихся таких сумм, заключается в том, что они не зависят от порядка суммирования: другими словами, суммы по разным индексам перестановочны. Пусть, для примера, $a, b \colon I \to \mathbb{R}$ . Тогда докажем, что:

$\sum_{j=1}^{n} \left[\sum_{i=1}^{n} a_i b_j\right] \;=\; \sum_{i=1}^{n} \left[\sum_{j=1}^{n} a_i b_j\right] \;=\; \left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=1}^{n} b_j\right).$

Положим по определению функцию $c_{ij} \equiv a_i b_j$ , то есть есть функция на . Сумма по всем парам — это сумма всех элементов таблицы $n \times n$ . Складывать таблицу можно «строка за строкой» или «столбец за столбцом» — результат тот же. Раскрытие скобок в произведении $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum b_j\bigr)$ даёт ровно слагаемых вида , то есть тот же набор слагаемых. Как известно, для конечных сумм перестановка слагаемых не меняет суммы, что и завершает доказательство.

Двойную сумму обычно записывают одним знаком суммы, поскольку трактовать его можно любым из возможных способов, результат от этого не зависит. Поэтому вполне корректными и общепринятыми являются записи вроде:

$\sum_{i, j = 1}^{n} a_i b_j \equiv \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i b_j.$

Результат перестановочности двух сумм может быть обобщен на «многоиндексные» функции с большим количеством индексов, то есть при наличии свободных индексов. Доказательство является следствием доказанного выше и требует лишь понимания устройства «многоиндексных» функций. Немой индекс также может встречаться несколько раз, причем внутри разных функций, на справедливость утверждения перестановочности это тоже не влияет. В качестве примера, можно убедиться в справедливости следующей цепочки равенств:

$\sum_{i,j=1}^{n} a_i b_j c_k \;=\; c_k \sum_{i,j=1}^{n} a_i b_j \;=\; c_k \left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right) \left(\sum_{j=1}^{n} b_j\right).$

Полученный результат перестановочности двух сумм «многоиндексных» функций с произвольным количеством индексов может быть обобщен и на большее количество сумм. Доказательство в этом случае идейно ничем не отличается от уже проделанного. Результат — для «многоиндексных» функций любые суммы перестановочны между собой. По этой причине тройные и выше суммы, так же как и двойные, могут быть записаны одним знаком суммы с указанием индексов суммирования, сохраняя при этом однозначность толкования.

На этом теоретическая часть заканчивается, далее посмотрим, как это применяется на практике.

Примеры

Прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии являются классическими примерами индексных функций. По определению каждый член прогрессии, кроме первого, выражается через предыдущий, то есть рекуррентно. Явный вид (формульный способ задания индексной функции) может быть в обоих случаях получен как простое следствие. Известны также формулы для сумм конечного числа членов арифметической и геометрической прогрессий.

Матрицы

Пожалуй, самым известным примером «многоидексной» функции является матрица, то есть отображение

$A \colon I_1 \times I_2 \to \mathbb{R},$

где $I_1 = \{1, \ldots, m\}$ , $I_2 = \{1, \ldots, n\}$ — два дискретных множества (необязательно одинаковых). Значения $A_{ij}$ — это «клетки» прямоугольной таблицы, которой эту самую матрицу обычно и представляют. Если вам на первом курсе после всей строгости матана, кванторов, множеств и так далее казалось, что таблица ‑- какое‑то недостаточно строгое и корректное определение для матрицы, то вы были совершенно правы.

Матричное же умножение есть частный случай рассмотренных выше сумм «многоиндексных» функций. Пусть $A \colon I_1 \times I_2 \to \mathbb{R}$ и $b \colon I_2 \to \mathbb{R}$ . Положим

$c_i \;=\; \sum_{j=1}^{n} A_{ij}\, b_j, \qquad i \in I_1.$

Это в точности то, что в общепринятой матричной записи называется произведением матрицы на столбец « $A \mathbf{b} = \mathbf{c}$ ». Если перевести матричное умножение на язык индексных функций, то определением матричного умножения будет выражение:

$C_{ij} \;=\; \sum_{k=1}^{m} A_{ik}\, B_{kj}$

Можете сами убедиться на конкретных примерах, что так оно и есть.

Символ Кронекера

Пусть $I = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ . Символом Кронекера по определению называется отображение $\delta \colon I^2 \to \mathbb{R}$ ,

$\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}$

В матричной записи индексная функция $\delta$ представляет из себя единичную матрицу размера : единицы на главной диагонали и нули вне её.

Основной интерес в работе с символом Кронекера представляет следующее свойство, которое в простейшем случае формулируется так: для любой функции $a \colon I \to \mathbb{R}$

$\sum_{i=1}^{n} \delta_{ij}\, a_i \;=\; a_j.$

Доказательство просто и проводится вручную. При фиксированном сумма

$\sum_{i=1}^{n} \delta_{ij}\, a_i \;=\; \delta_{1j} a_1 + \delta_{2j} a_2 + \cdots + \delta_{nj} a_n$

содержит лишь одно ненулевое слагаемое — то, в котором . В нём $\delta_{jj} = 1$ , так что вся сумма равна . Это верно для каждого . Свойство может быть усилено на более сложные функции, полностью повторяя только что приведенное доказательство, но это уже сами.

Символ Леви‑Чивиты

Зафиксируем , то есть $I = \{1, 2, 3\}$ . Символом Леви‑Чивиты по определению называется отображение $\varepsilon \colon I^3 \to \mathbb{R}$ , заданное правилом

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1, & \text{если } (i, j, k) \text{ --- чётная перестановка тройки } (1, 2, 3), \\ -1, & \text{если } (i, j, k) \text{ --- нечётная перестановка тройки } (1, 2, 3), \\ \phantom{+}0, & \text{если среди } i, j, k \text{ есть повторяющиеся.} \end{cases}$

Тройка имеет перестановок, из которых три четные и три нечетные:

$\underbrace{(1,2,3), \ (3,1,2), \ (2,3,1)}_{\text{чётные}} \qquad \underbrace{(1,3,2), \ (3,2,1), \ (2,1,3)}_{\text{нечётные}}.$

Среди возможных троек символ $\varepsilon$ отличен от нуля лишь в случаях. Значения в оставшихся случаях равны нулю. Как было выяснено, самым логичным способом мыслить себе «многоиндексную» функцию является ее табличное представление. Реализуем его:

Кому‑то более понятным может показаться так называемое трехмерное представление, однако на суть это не влияет ‑- это по‑прежнему просто функция, то есть просто отображение из одного множества в другое, заданное некоторым правилом.

другой способ мыслить себе тот же самый объект

Сумма двух символов Леви‑Чивиты по одному общему индексу

Рассмотрим выражение

$\sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk}\, \varepsilon_{k\ell m},$

которое часто встречается в физических задачах: двойное векторное произведение, ротор векторного произведения и т.,п. Необходимо как‑то преобразовать и осмыслить это выражение. Первый вопрос — что за объект получится? Получится, как несложно понять, функция от четырёх свободных индексов:

$\sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk}\, \varepsilon_{k\ell m} = A_{ij\ell m}, \qquad A \colon I^4 \to \mathbb{R}.$

Для задания функции четырех индексов необходимо значений, большинство из которых, по‑видимому, — нули. Следующий вопрос — когда $A_{ij\ell m}$ заведомо равно нулю? Если — тогда $\varepsilon_{ijk} = 0$ для всех ; если $\ell = m$ — тогда $\varepsilon_{k\ell m} = 0$ для всех .

Далее ничего не остается, необходимо просто вычислить недостающие значения, таким образом задав функцию $A_{ij\ell m}$ и получив ответ. Возьмём для начала $i = 1, \ j = 2$ . Сумма по :

$\sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{12k}\, \varepsilon_{k\ell m} \;=\; \underbrace{\varepsilon_{121}}_{0} \cdot \varepsilon_{1\ell m} + \underbrace{\varepsilon_{122}}_{0} \cdot \varepsilon_{2\ell m} + \underbrace{\varepsilon_{123}}_{1} \cdot \varepsilon_{3\ell m} \;=\; \varepsilon_{3\ell m}.$

Чтобы $\varepsilon_{3\ell m} \neq 0$ , должно быть либо $\ell =1, \, m= 2$ , тогда $A_{1212} = 1$ , либо $\ell =2, \, m= 1$ , тогда $A_{1221} = -1$ . Для других $\ell$ и будут нули. Абсолютно аналогично могут быть вычислены все недостающие значения. Интересный факт заключается в том, что результат такой суммы может быть выражен через символы Кронекера:

$\sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk}\, \varepsilon_{k\ell m} \;=\; \delta_{i\ell}\, \delta_{jm} \;-\; \delta_{im}\, \delta_{j\ell}.$

Эта формула довольно знаменита и полезна в практических расчетах, как уже было сказано выше. Следует очень четко понимать, что никакой магии тут нет: достаточно построить таблицу всех значений руками. Это утомительно, но концептуально просто.

Для полноты картины скажем, что при вычислении большую роль могут сыграть симметрии. Например, если уже вычислены значения $A_{ij\ell m}$ при $i = 1, \ j = 2$ , то не составляет труда понять, что будет при всех остальных значениях этих индексов, поскольку циклический сдвиг индексов не меняет значения символа Леви‑Чивиты: вновь наталкиваемся на симметрию в чистом смысле слова. Другими словами, если везде заменить $1 \to 2, \,2\to 3,\, 3 \to1,$ то все формулы останутся верными, например $A_{2323}=1$ . Таким образом, убеждаемся, что при работе с симметричными объектами идеи симметрий могут значительно продвинуть вперед. Идеи симметрий могут в каком‑то смысле лечь в основу вычисления такой суммы используя понятие определителя, которое, однако, здесь рассмотрено не будет.

ИТОГИ

Итак, мы поняли, что такое индексы, какие функции они задают и что с ними можно делать. Вы прямо сейчас можете пойти и получить, например, формулу «бац минус цаб» для двойного векторного произведения, пользуясь символом Леви‑Чивиты. В общем, индексные функции ‑- очень полезный и применимый аппарат в науке, как прикладной, так и фундаментальной. Как именно ‑- другой вопрос; целью статьи было всего‑навсего дать представление о том, как себе следует мыслить индексы и как с ними работать в самом общем случае.

Эта статья написана по мотивам моей первой лекции курса тензорной алгебры и анализа для физиков. Если вам понравилось изложение либо статья была полезна для вас, можете смело связываться со мной! Спасибо, что дочитали до конца:‑) не теряйтесь https://t.me/opredelennn

Комментарии (2)

Spaceoddity
21.10.2026 19:24
#30553536
Как-то маловато. А как же https://ru.wikipedia.org/wiki/Соглашение_Эйнштейна ?

А моя главная претензия к индексам - это "клинопись" ;)

black_warlock_iv
21.10.2026 19:24
#30553632
Есть ещё тензорные индексы по Пенроузу (абстрактная индексная нотация). Это немножко другая вещь.