Привет всем любителям физики и физического эксперимента. Наши подписчики как-то спросили нас: «Не могли бы вы рассчитать, с какой скоростью бежит волна по падающим доминошкам?» Что ж, давайте разбираться. Предупреждаем: будем много гифок с падающими доминошками!

Спойлер: в конце этой статьи не будет финального вопроса «на подумать». Но любые соображения мы можете писать в комментариях и обсуждать друг с другом. А еще мы вот-вот обновим уровни премиум-подписки — и за 500 руб/мес будет бонус «Задать вопрос ведущим и получить шанс попасть в видео с ответами на лучшие вопросы месяца». Если эта статья заинтересует вас, и вы захотите получить ответ от Андрея или Алексея — пожалуйста, оформите подписку на любой удобной площадке и следите за обновлениями. На следующей неделе мы анонсируем новые уровни и бонусы — и подскажем, куда писать свои вопросы. Спасибо! Любая ваша поддержка помогает нам работать :)

• Телеграм

• Бусти

• Патреон

• Дзен

Зачем вообще считать — и почему не надо разбирать каждый удар

На первый взгляд, описать такую систему непросто. Кажется, что придётся рассматривать падение каждой доминошки, их взаимодействие, удары, скольжение, трение, прокручивание, передачу импульса, потери энергии.

Попробуем обойтись без этого – ведь когда волна уже прошла от самого начала, по всей видимости, её скорость установилась. Мы наблюдаем волновой импульс — или, можно сказать, фронт, который движется по доминошкам. Его можно описывать этот фронт в целом, как, например, фронты горения.

Поэтому начнём с простого вопроса: можем ли мы хотя бы оценить скорость движения этого фронта? Не рассчитать её точно, а получить разумную оценку.

Ответ: можем. Для этого надо воспользоваться методом размерности. Учтем, что у нас весь процесс происходит за счёт падения доминошек — отсюда сразу и получим оценку для скорости.

Метод размерности: оцениваем скорость волны за минуту

От каких величин может зависеть скорость движения этого волнового импульса?

1. Ускорение свободного падения. Его размерность – метры на секунды в квадрате. 

2. Масса доминошки, размерность — килограммы.

3. И разнообразные длины: высота доминошки, её толщина, расстояние между доминошками — все они имеют размерность метров.

Как из этого собрать величину с размерностью скорости? Понятно, что масса здесь никак участвовать не может — как, впрочем, в большинстве явлений, связанных с падением.

Значит, должно быть произведение ускорения свободного падения на длину — получится квадрат скорости. Извлечём квадратный корень и получим соотношение: скорость импульса должна быть равна √(g × L), где L — это какая-то эффективная длина, которая собирается, наверное, из всех вот этих параметров.

Быть может, ещё участвует безразмерный коэффициент трения — это неизвестно. Но зато можно точно сказать, что если все размеры увеличить ровно в четыре раза, то скорость движения волны увеличится в два раза.

Какой параметр главный? Высота доминошки против всего остального

Полученная оценка пока слишком общая: мы знаем, что скорость зависит от некоторой эффективной длины, но не понимаем, какой именно параметр доминошки играет главную роль.

Предположим, что доминошки достаточно узкие и высокие. Ведь только такие, по всей видимости, могут устойчиво падать и передавать движение дальше по цепочке. Тогда главным параметром должна быть высота доминошки — именно она определяет характерную скорость, которую приобретает падающее тело.

Можно начать с рассмотрения одной изолированной доминошки. Когда она падает, характерная скорость, которую она приобретает в вертикальном и горизонтальном направлениях, определяется её высотой H. Остальные параметры в этом случае должны влиять лишь как поправки.

Прежде чем делать выводы, попробуем смоделировать процесс в «Живой физике» (это такая компьютерная среда для моделирования физических процессов) и посмотрим, что получится и какого порядка будет скорость волны.

В приготовленной модели доминошки имеют высоту 2 м, их толщина равна 0,25 м, расстояние между ними составляет 0,5 м. Если рассчитать скорость по формуле √(gH), получим 4,5 м/с.

Теперь запустим доминошки и понаблюдаем за бегущей волной.

Она прошла расстояние 9 м между красными доминошками за 1,16 секунды — её скорость равна 7,8 м/с. Это, конечно, больше чем 4,5 м/с, но мы должны заметить, что по порядку величины результат был предсказан верно.

Теперь можно уточнить модель. А для этого надо различить скорость движения волны и скорость, которую приобретает доминошка, когда по ней ударяет предыдущая.

Ясно, что скорость волны будет больше: когда доминошка проходит расстояние между двумя соседними, волна проходит большее расстояние. Потому что второй конец доминошки, по которой ударяет предыдущая, сразу приобретает ту скорость, которую ей сообщила предыдущая.

Получается, что скорость волны больше в отношении следующих размеров: сумма расстояния между двумя ножками плюс толщина — к расстоянию между двумя ножками.

В нашей модели это отношение равняется 1,5. Если мы теперь будем считать, что √(gH) — это оценка для скорости конца доминошки в момент удара, то получается, что скорость волны в полтора раза больше, то есть примерно 6,8 м/с. Что гораздо лучше согласуется с нашим экспериментальным результатом.

Допустим, что мы правы, и для оценки скорости волны лучше пользоваться вот такой уточнённой формулой:

Давайте в «Живой физике» поменяем какие-нибудь параметры — например, возьмем доминошки повыше. Посмотрим, насколько хорошо эта формула будет работать и соотноситься с численной симуляцией.

Теперь доминошки имеют высоту 8 м — в четыре раза больше, чем в первом опыте. Толщина и расстояние между ними остались прежними. По уточнённой формуле предсказанная скорость равна 13,3 м/с.

Запустим опять доминошки и проведём измерение скорости.

Волна пробежала 9 м за 0,55 секунды — её скорость равна 16,4 м/с. И это опять на 15% больше, чем 13,3 м/с. Выходит, наши предсказания работают с весьма неплохой точностью.

Почему волна не разгоняется? И куда уходит потенциальная энергия?

Возможно, у вас уже созрел вопрос: когда доминошки падают, их потенциальная энергия непрерывно высвобождается. Почему же тогда волна движется с постоянной установившейся скоростью, а не разгоняется всё сильнее за счёт этой энергии?

В реальной системе есть потери энергии:

• края доминошек проскальзывают по поверхности, на которой они стоят, и совершают работу против силы трения;

• доминошки сталкиваются друг с другом. Эти удары не являются абсолютно упругими, поэтому при столкновениях также происходят потери энергии.

Можно предположить, что если полностью устранить все потери, волна начнёт непрерывно ускоряться. Однако проверим это предположение в «Живой физике».

Оказывается, даже при полном устранении потерь энергии на трение и удары волна бежит по цепочке с постоянной скоростью 12 м/с — в полтора раза быстрее, чем раньше. При этом высвободившаяся потенциальная энергия доминошек переходит в кинетическую энергию их хаотического движения.

Таким образом, отсутствие потерь не приводит к постоянному ускорению волны: высвобождаемая энергия расходуется на движение самих доминошек.

Теперь давайте вернемся к общей картине. Что мы сделали к этому моменту:

• получили результат с помощью метода размерностей;

• уточнили его, подбирая коэффициенты;

• проверили свои предположения на компьютерной модели.

Но можно ли объяснить происходящее с точки зрения физических законов?

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Идея такая: применить второй закон Ньютона в импульсной форме. Нужно понять, какой импульс передаётся доминошкам в единицу времени.

Для этого удобно использовать линейную плотность доминошек ρ — это масса, приходящаяся на единицу длины. Тогда, если импульс движется с характерной скоростью v, то он вовлекает в движение массу ρv. И всей этой массе сообщают ещё скорость v. Поэтому в единицу времени получается импульс ρV² по порядку величины.

Теперь посмотрим, как можно оценить силу, с которой навалившиеся доминошки действуют на следующую.

Очевидно, длина завала порядка высоты доминошек – ну, может быть, в несколько раз больше. Но при этом давят они по-разному:

• ближайшие наклонились немного, и сила не очень велика;

• дальние наклонились больше и, так сказать, давят больше, но у них и горизонтальная проекция меньше.

В общем, возьмём, что доминошки давят на длине порядка H. Линейная плотность равна ρ — значит, сила будет порядка ρgh. Знакомая формула, не правда ли?

Приравняем эти две величины. Линейная плотность ρ, естественно, сократится. И у нас получится:

 Как мы и предполагали.

Реальный эксперимент: проверяем формулу на настоящих доминошках

Хватит теории, давайте экспериментировать! У нас уже есть оценка скорости волны и результаты компьютерного моделирования. Теперь самое время проверить полученные соотношения на практике.

Для этого сначала измерим параметры настоящих доминошек. Их толщина составляет 1 см, высота — 7 см. Следовательно, величина √(gH) для таких доминошек равна 83 см/с.

Теперь запустим волну и снимем её движение на скоростную камеру.

Расстояние между соседними доминошками составляет 2 см. Мы пускаем по ним волну — и она бежит со скоростью 110 см/с. Конечно, называть теорией подгоночную формулу, которую мы извлекли из качественных соображений и опытов в «Живой физике», — это чересчур. Тем не менее, «теоретическое» предсказание для этих параметров составило 125 см/с. Видим неплохое согласие с экспериментом.

Давайте поменяем некоторые параметры и посмотрим, будет ли наша формула работать после этого. Начнём с изменения расстояния между доминошками. Посмотрим, как оно повлияет на скорость распространения волны.

Как расстояние между доминошками влияет на скорость

Результат оказался достаточно неожиданным. Мы запустили волны по трём цепочкам доминошек с разным расстоянием между ними и обнаружили, что к концу движения все три волны распространяются практически с одинаковой скоростью — 110 см/с.

Чтобы лучше увидеть это равенство, запустим доминошки ещё раз и отметим красной чертой положение волнового фронта, движущегося с постоянной скоростью. Так будет проще сравнить движение всех трёх волн.

Получается, что наши уточнения, с помощью которых мы пытались получить более точную формулу с учётом расстояния между доминошками и их толщины, оказались не так уж необходимы. Возможно, для оценки скорости достаточно пользоваться исходным приближением:

Это действительно интересный результат. Он означает, что взаимодействие между доминошками устроено сложнее, чем может показаться на первый взгляд.

При этом есть важный предельный случай: когда доминошки гораздо тоньше, чем расстояние между ними, мы как раз и получаем формулу √(gH). В этом смысле первоначальная оценка оказывается вполне обоснованной.

Но можно рассмотреть и противоположный случай: что произойдёт, если зазор между доминошками станет намного меньше их толщины? Проверим.

Оказывается, при уменьшении зазоров скорость волны не увеличивается, а, наоборот, уменьшается. В нашем эксперименте она составила всего 43 см/с.

Напоследок: не вопрос, а соображения про ценность метода размерностей

Мы начали сразу с оценки этого самого √(gH) — скорости, вокруг которой мы «гуляли» в своих рассуждениях. В эксперименте и симуляции смотрели, растет скорость или уменьшается. Важно: нам всегда было с чем сравнивать. А если бы у нас такой оценки не было, то и не сильно понятно было бы, а что вообще делать. Вот так и работают физики :) 

Видео, на основе которого подготовлена эта статья:

[9 гифка]