Из обсуждений недавней статьи "Пара слов об алгебре интервалов" видно, что основное затруднение вызывает понимание основных объектов, лежащих в основе аксиоматики - точка, интервал, граница, вектор. Здесь мы поднимем размерность и рассмотрим двумерные интервалы. Иногда более общая задача помогает лучше понять частный случай, которым по отношению к двумерным интервалам являются рассмотренные ранее одномерные. В этот раз поменяем акценты - будет мало формул и много картинок.

Итак, как мы выяснили, мерность интервала зависит от количества задающих его границ (а не от количества базисных точек). В одномерном случае достаточно двух границ, соответственно в двумерном, видимо, должно быть достаточно трех.

Аффинный треугольник и его границы

Все знают, что такое треугольник. В основном как геометрическую сущность. Нам здесь треугольник интересен тем, что он является базовым элементом двумерных интервалов. Три стороны треугольника определяют область между ними.

Пройдемся по основным элементам треугольника. Во-первых, сам треугольник, - то, что ограничено его сторонами. Обозначен на рисунке как. Во-вторых, - три стороны, на рисунке это отрезки (в общем случае - линии). И третья составляющая - это его точки - границы сторон -.

Снова подчеркнем, что точки, линии и сам треугольник - это три разных типа данных. И то, что находится внутри границ треугольника,- не состоит из точек, но может содержать точки. Две точки задают интервал-отрезок, три отрезка (с общими границами) - треугольник. Большой треугольник может состоять из малых (треугольников), так же как отрезок может состоять из отрезков меньшего размера.

Поскольку в треугольнике три границы, то их идентификация как "левой" и "правой" не подходит. Здесь у нас три типа границ - для каждой стороны, которые условно обозначим. Соответственно для треугольникаимеем границы. Как и для одномерных интервалов не имеет смысла вопрос о том, принадлежат ли отрезки-границы треугольнику, который задают. Они не влияют на его меру. Но так же как и в двумерном случае границы большого треугольника могут быть заданы как границы малых (треугольников).

Смежность и дополнительность

Два треугольника могут иметь общую сторону-границу. Если два треугольника имеют общую границу-отрезок (линию), то они называются смежными.

Для двумерных интервалов-треугольников, заданных на регулярной решетке, смежный треугольник к данному в общем случае не совпадает с исходным. Это лучше всего продемонстрировать на треугольниках, границы между вершинами которых являются не прямыми линиями, а произвольными.

На рисунке выше показаны такие треугольники. Форма их границ-линий совпадает, но сам интервал (фигура) относительно стороны каждой линии-границы поменял положение. Каждый из данных треугольников дополняет другой. Поэтому можно назвать их дополнениями друг друга или сопряженными. Для обычных треугольников (со сторонами отрезками) сопряженным будет просто поворот треугольника на 180 градусов.

Смежным (по любой из сторон) к заданному треугольнику может быть только его дополнение. С помощью двух сопряженных треугольников можно замостить все плоское пространство.

Ориентация

Так же как в одномерном случае при объединении (совмещении) двух треугольников смежная граница пропадает из общей границы полученной фигуры. На алгебраическом языке это означает, что с границей-отрезком связана некая величина, которая у двух смежных треугольников имеет разный знак. Если в одном треугольнике граница, то в смежном эта граница должна быть равна.

Поскольку граница-линия образована двумя вершинами, то обычно знак такой границы показывают стрелкой. При сложении двух противоположных стрелок получаем ноль. Мы так же далее будем обозначать знак границы-линии стрелкой, но при этом помним, что на самом деле стрелка лишь отражает положение самого треугольника (двумерного интервала) относительно границ.

Ориентацию треугольников можно задать либо по "часовой стрелке", либо против. Ориентация задает направление границ-отрезков.

На рисунке показаны два сопряженных треугольника с ориентацией против часовой стрелки.

При совмещении треугольников любой из сторон направления векторов смежной стороны становятся противоположными. Данная граница пропадает из общей границы полученного параллелограмма.

Фигуры на решетке

Произвольную область (фигуру)можно задать как сумму (линейную комбинацию) базовых ячеек (тут треугольников)на регулярной решетке. Скалярные коэффициенты данной комбинации - это высоты ячеек:

На треугольной решетке имеем три оси и два типа ячеек:

Для удобства отображения стороны треугольника выбраны равными отрезками. Векторы по основным трем осям обозначены как -. Сумма границ отрезков (векторов) равна нулю:

Если стороны двух таких треугольников соприкасаются красными сторонами, то получаем нулевую границу.

Совмещая разные треугольники между собой, можно получать различные фигуры. На рисунке показаны ненулевые внешние границы-отрезки возможной фигуры. Данная фигура замкнута - сумма векторов отрезков будет нулевой:.

Точечные границы

Обратимся к границам-точкам. Обычно они обойдены вниманием, хотя их поведение довольно занятно. Основное - каждая точка может иметь свою амплитуду (скалярный коэффициент). Если точка не является границей (фигуры), то ее амплитуда равна нулю - такая точка исчезает из общей точечной границы.

Амплитуды точек можно ввести по разному. Например, через граничный оператор 2-го порядка, который преобразует высоты ячеек (или амплитуды граничных отрезков) в амплитуды точечных границ. Амплитуда каждой точки принадлежит определенному значению, которое мы будем интерпретировать как тип -. Условие баланса для амплитуд вершин треугольника прежнее:. Фактически мы имеем дело с вектором-границей, заданном на вершинах. Для вершинданный вектор имеет вид:. Поскольку данный аффинный вектор определен на трех точках, то возникают сложности с его визуализацией как стрелки. Данный вектор мы будем обозначать кружками на вершинах.

Пространство линейно, поэтому при сложении смежных точек двух треугольников их амплитуды складываются:

Использовано тождество:. Точки с отрицательными амплитудами обведены жирным.

Взглянем на результат справа. Данный параллелограмм содержит только две оси () и один тип точечных границ -. Его можно превратить для удобства в квадрат и создавать фигуры не из треугольников, а из квадратов (об это чуть позже).

Таким образом граница двумерной фигуры может быть не только из отрезков, но и из точек. Между двумя видами границ есть соответствие и правила перехода из одного представления в другое:

Амплитуды точечной границы (точки) можно определять через веса смежных с ней треугольников. Здесь под смежными треугольниками понимаются те, в границы которых входит данная точка. На плоскости точка может входить в 6 треугольников. Конфигурация треугольников вокруг точки задает ее тип.

Если, например, вокруг точки только два треугольника - верхний и нижний (желтый), то ее амплитуда будет равна. Если вокруг точки все области заполнены, то ее амплитуда будет нулевой - такая точка пропадает из границ. Также пропадают из границ точки, вокруг которых заполнена половина областей. Это все следствия векторного тождества.

Примеры точечных границ

Амплитуды точек отличны от нуля везде, где сумма треугольников, которые их окружают не скомпенсирована:

Взглянем еще на что-нибудь классическое. Например, треугольник Серпинского:

Каждая сторона треугольников в пределе состоит из точек одного типа.

Если просто чередовать треугольники, то получим "дырявый треугольник":

Он не имеет внутренних границ, что выглядит немного странно. Так как отсутствие границ внутри фигуры обычно означает, что фигура является сплошной и не имеет пустот внутри. С другой стороны в сплошном треугольнике не будет множества точечных границ на ее сторонах. Получается, что отличия внутренней структуры фигур определяется их внешними границами.

Ну и наконец приведем примерный вид фигуры с непрямыми границами.

Вот так могут выглядеть смежные двумерные интервалы.

Квадратные ячейки

Как мы видели выше - при сложении треугольника и его дополнения получаем параллелограмм, у которого всего два (а не три) направления границ-отрезков и два вида амплитуд вершин (положительное и отрицательное). В простейшем параллелограмм является квадратом. Из базовых квадратов так же модно составлять фигуры, как и из треугольников. Так же можно ввести границы-отрезки (которые будут иметь всего два направления) и амплитуды вершин (точечных границ).

На рисунке положительные амплитуды обозначены красными кружками, отрицательные - синими. Помним, что совокупность красных и синих кружков - это аффинный вектор (вид сбоку).

Отметим, что у замкнутой (ограниченной) фигуры нулевой является не только общая сумма точечных амплитуд, но и суммы амплитуд по осям (вертикальные и горизонтальные проекции). Данные условия можно выразить формулой:

Это условия на амплитуды точечных границ замкнутых фигур, состоящих из квадратов.

Линейные границы-отрезки фигурыалгебраически можно задать выражением частных производных по направлениям:

Амплитуды точечных границ - это смешанная производная по двум осям:

Данную амплитуду можно выразить через высоты окружающих точку квадратов:

Если точка находится на границе линии - ее амплитуда нулевая. Также нулевыми будут амплитуды точек, окруженных квадратами со всех сторон.

При обходе фигуры по контуру (границе) ее точечные границы меняют знак. Общая сумма должна быть нулевой, соответственно количество точечных границ всегда четно (если амплитуды точек одинаковы).

Знак (цвет) точки зависит от знака граничных отрезков, чьим пересечением она образована. Если оба отрезка положительны или оба отрицательны, то знак точки будет положительным. Если один из отрезков положителен, а другой отрицателен, то знак точки отрицателен.

В зависимости от высот ячеек исходной фигуры получаем разные конфигурации точечных наборов:

Это все изображения аффинных векторов.

"Скалярные" области

По аналогии с оператором дифференцирования, значение которого от скаляров равно нулю, существуют непустые "скалярные" области, двойной граничный оператор которых дает нулевое значение. Примеры скалярных областей:

Все точечные амплитуды скалярной области равны нулю. Скалярные области не замкнуты.

Точечные амплитуды от линейных комбинаций скалярных областей тоже нулевые. Например, можно приведенную выше область на левой картинке  вычесть из такой же, но сдвинутой по диагонали вправо-вверх. Получим область на центральной картинке.

По точечным границам может быть восстановлена исходная фигура (высоты ячеек) с точностью до "скалярных областей". Пример восстановления отрезков и высоты по релевантным точечным границам:

Аффинная площадь

Аффинная площадь - это сумма высот всех ячеек фигуры. "Аффинная" означает, что размер ячеек не учитывается, - метрики нет.

Интересно, что аффинная площадь может быть определена по амплитудам ее точечных границ.

Для этого используем такой трюк. Выберем произвольную точку как нулевую отметку для координатных осей. Теперь с каждой точкой (на рисунке) можно связать некую величину, связанную с площадью - произведение ееикоординат. Например, для точкиее "площадь" будет равна. Оказывается, что сумма данных "площадей" точек с учетом их амплитуд будет равна площади фигуры. В нашем примере мы специально выбрали "начало координат" таким образом, чтобы большинство точек оказалось на осях координат. В этом случае их площади нулевые и площадь фигуры определяется суммой от двух точек и:

Здесь черезобозначены амплитуды точек. От выбора начала координат площадь фигуры не зависит, хотя "условные площади" точек будут разными.

Заключение

Здесь остановимся. Тема двумерных интервалов (областей) обширна,- мы пробежались по верхушкам, чтобы проложить мостик между одномерными и двумерными интервалами - в чем их сходства и различия. Показали, почему аффинный вектор - это не всегда стрелка, как может выглядеть аффинный треугольник, какие типы границ бывают, что такое амплитуды границ, их замкнутость и т.д.

Многое осталось за бортом, но интересующиеся могут сами восстановить недостающие детали. Надеюсь, было полезно. Спасибо за реакции!