Сегодня попалось видео на ЮТ по данной гипотезе. Если кто не в курсе, эта гипотеза является открытой математической проблемой . Ее суть заключается в следующем: каждое чётное натуральное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел. По состоянию на 2025 год утверждение не доказано.
Что меня в ней заинтересовало? Решение, как мне кажется, лежит на поверхности.
Сумма двух нечетных чисел, каждое из которых больше 2 всегда является четным числом. Доказательства простые и есть в сети. Все простые числа являются нечетными. Отсюда следует, что сумма двух простых чисел всегда будет давать четное число.
Получается, что есть доказательство для всех нечётных чисел. Доказывать, что оно верно для какой-то категории нечётных чисел, в т.ч. простых, нет необходимости. Далее, попробую доказательство от противного - если представить, что такое чётное число, которое невозможно представить в виде суммы двух простых чисел есть, то оно будет противоречить доказательству о сумме двух любых нечётных чисел, т.к. в нем нет никаких исключений, в т.ч. для простых. И такое число будет являть исключением, чего быть не может.
Скажите, я где-то что-то не понимаю? Ведь не может быть так просто....
Комментарии (83)
Xexa
02.09.2025 13:36Там в видео вполне четко сформулирована гипотеза и спасибо каналу за качественные переводы.
Гипотеза говорит, сто любое чётное можно представить двумя "простыми" числами. Не двумя нечётными, а именно простыми числами. И в этом тонкость... Надо доказать, что это так или доказать обратное найдя такое число, которое не получится простыми представить.
D410
02.09.2025 13:36Будет давать четное число, но будет ли все множество сумм простых чисел давать все четные числа? Можно наглядно поиграться тут https://github.com/epsylon/goldbach
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36Вопрос не о множестве, а о сумме двух простых чисел.
Zenitchik
02.09.2025 13:36Вы тупой?
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36Я же написал в статье - может я что-то не понимаю... Оскорблять зачем? Я хочу разобраться.
Zara6502
02.09.2025 13:36я в математике прилично туп, прям очень прилично, но в логике всё же я несколько более продвинут. и если забыть про математику, то у вас проблема с логикой. вы доказали А, но утверждаете что оно доказывает Б, при этом доказательство того что А==Б вы не считаете нужным приводить. Лично вас устраивает такая подмена, а других не устраивает. Вам очень много раз с разных сторон уже объяснили ошибочность ваших рассуждений.
давайте я (мега-тупой в математике) попробую еще раз:
1) Мы можем легко доказать что сумма нечетных даёт четное
2) Любое четное число состоит из сумм нечетных, всего мы можем иметь 4 вида сумм: нечетное+нечетное, простое+нечетное, нечетное+простое, простое+простое. Второе и третье эквивалентны.
Вот на данный момент не существует доказательства что четное число (ЛЮБОЕ) обязательно может быть составлено из простое+простое. Вы утверждаете что нечетное+нечетное достаточно для доказательства наличия простое+простое, но это заблуждение, очевидное, так как не все нечетные - простые.
Jedy
02.09.2025 13:36>>>> КАЖДОЕ <<<<< чётное натуральное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36Получается, что есть доказательство для всех нечётных чисел. Доказывать, что оно верно для какой-то категории нечётных чисел, в т.ч. простых, нет необходимости. Далее, попробую доказательство от противного - если представить, что такое чётное число, которое невозможно представить в виде суммы двух простых чисел есть, то оно будет противоречить доказательству о сумме двух любых нечётных чисел, т.к. в нем нет никаких исключений, в т.ч. для простых. И такое число будет являть исключением, чего быть не может.
RavenStark
02.09.2025 13:36Почему нет необходимости, когда гипотеза относится именно к ним, а не ко всем нечетным числам?
Вы допускаете нарушение логики. Из все а — б не следует все б — а.
apevzner
02.09.2025 13:36Интересно, это троллинг или вы правда не понимаете?
Каждое чётное число можно представить в виде суммы пары нечетных чисел. Например:
20 = 3 + 17 = 5 + 15 = 7 + 13 24 = 3 + 21 = 5 + 19 = 7 + 17 = 9 + 15 = 11 + 13Но не во всех таких парах оба слагаемых простые.
Гипотеза Гольдбаха заключается в том, что для любого чётного числа хотя бы одна такая пара, в которой оба слагаемых простые, обязательно найдётся.
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36Я про это и говорю, что нет такого чётного числа, которое невозможно получить не сложив 2 простых. Это точно не троллинг. Все что я хочу сказать. что не надо доказывать что-то отдельно т.к. есть доказательство для всего множества нечётных чисел.
code07734
02.09.2025 13:36Множество простых сильно меньше множества нечётных
Каждое простое является нечётным
Не каждое нечётное является простым
Плотность нечётных не меняется
Простых же чем больше n тем меньше встречается
apevzner
02.09.2025 13:36Я про это и говорю, что нет такого чётного числа, которое невозможно получить не сложив 2 простых.
Почему? А вдруг, одни пары простых будут давать меньшую сумму, чем наше число, а другие - большую, а точно никакая пара не попадёт?
vvovas
02.09.2025 13:36Тут скорее такой момент. Вы когда подбираете слагаемые для числа, например 20, у вас пары нечетных чисел: 3 и 17, 5 и 15 и т.д. То есть вы одно число постоянно на 2 увеличиваете, а другое уменьшаете. Вам нужно доказать, что для любого четного числа, среди его списка пар нечетных чисел всегда найдется пара, где оба числа одновременно будут простыми.
Zara6502
02.09.2025 13:36мне кажется проблема в том что нет доказательства того что простые числа конечны, а значит и нет возможности знать заранее будет ли работать гипотеза Гольдбаха. Вот если найдут точную формулу по которой можно получить любое простое число (тоже та еще нерешённая задачка), вот тогда можно будет и до гипотезы Гольдбаха добраться.
ну а по поводу вашего предположения вам уже написали, сумма нечетных - да, даст четное, а вот сумма нечетных являющихся простыми не факт что даст все четные.
WLMike
02.09.2025 13:36Такая формула есть https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes
Zara6502
02.09.2025 13:36тогда почему вы не хотите получить премию в 100К баксов за каждое новое простое число? проблема ровно в том что эти формулы работают только для известных простых чисел, а любое новое приходится годами проверять. Так что это точно такие же гипотезы.
axion-1
02.09.2025 13:36Они работают и для неизвестных простых чисел тоже. Просто на практике рассчитать новое простое число стандартными методами будет более эффективно чем по этим формулам. По сути, нужна не просто "точная формула", но ещё и алгоритмически эффективная, чтобы можно было считать простые числа со скоростью, условно, секунды за число, а не недели.
Zara6502
02.09.2025 13:36я имею в виду формулу вида F(n) где n - порядковый номер простого числа, запускаешь бесконечный цикл на n+1 и пользуешься. Скорость это понятно, но на данный момент нет формулы которая даёт сразу, без дополнительных вычислений простое число, иначе не платили бы деньги на их поиски.
code07734
02.09.2025 13:36Думал это очевидно что каждое новое простое как делитель всегда вычеркивает из списка числа так что между ними всегда есть оставшиеся. Ну ладно. Даже стало интересно какое существует ещё доказательство
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Евклида
То ли я ваш коммент не так понял
Zara6502
02.09.2025 13:36а я не понял вас )
kipar
02.09.2025 13:36Теорема Евклида доказывает что простых чисел бесконечное число.
Zara6502
02.09.2025 13:36поверю на слово, я не понял её.
kipar
02.09.2025 13:36Там всё просто - если мы возьмем все известные простые числа, перемножим их и добавим к произведению 1, то результат не будет делиться без остатка ни на одно из исходных простых чисел.
Не факт что результат будет простым (вместо этого он может быть произведением нескольких неизвестных нам простых чисел), но то что простые числа нельзя исчерпать никаким конечным списком это доказывает.Zara6502
02.09.2025 13:36а, понял, спс.
напомнило как конечный отрезок может одновременно быть конечным, но состоять из бесконечного числа малых отрезков. не в тему, но я так же долго врубался в это.
SensDj
02.09.2025 13:36Математики не знают - а вдруг найдётся такое чётное число, что при попытке разложить его на сумму двух нечётных окажется что одно или оба этих нечётных чисел НЕ ПРОСТЫЕ. Например 16 это 7+9, 7 простое, а 9 НЕ ПРОСТОЕ (т.к. 9 делится на 3).
Для числа 16 можно подобрать два простых - это 5+11. А вдруг для какого-то чётного числа не найдётся ни одной пары где ОБА числа ПРОСТЫЕ ? Как это проверить ? Или как доказать что таких чётных чисел нет ?
vvovas
02.09.2025 13:36Eсли представить, что такое чётное число, которое невозможно представить в виде суммы двух простых чисел есть, то оно будет противоречить доказательству о сумме двух любых нечётных чисел
Не будет противоречить, потому что у вас это число можно будет представить суммой двух нечетных составных чисел.
kipar
02.09.2025 13:36Давайте я докажу вашим способом, что любое четное число можно представить в виде суммы двух троек (3+3).
Сумма двух нечетных чисел, каждое из которых больше 2 всегда является четным числом. Доказательства простые и есть в сети. Тройка является нечетным числом. Отсюда следует, что сумма двух троек всегда будет давать четное число.Получается, что есть доказательство для всех нечётных чисел. Доказывать, что оно верно для какой-то категории нечётных чисел, в т.ч. троек, нет необходимости. Далее, попробую доказательство от противного - если представить, что такое чётное число, которое невозможно представить в виде суммы двух троек есть, то оно будет противоречить доказательству о сумме двух любых нечётных чисел, т.к. в нем нет никаких исключений, в т.ч. для троек. И такое число будет являть исключением, чего быть не может.
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36Спасибо за комментарии. Но повторюсь - если есть доказательства абсолютно для всех нечётных чисел, то почему оно не должно работать для простых, которые в первую очередь нечётные? В доказательстве приведена функция куда можно подставить 2 абсолютно любых нечётных числа и она будет работать всегда. В нем нет никаких исключений. Гипотеза же пытается найти ответ - а есть ли исключения для простых чисел, упуская, что они нечётные? Если из суммы двух простых чисел невозможно получить чётное число, значит эти 2 числа нечетны. И это противоречит законам логике. Это все равно что предположить, что среди всех прямоугольников существуют квадраты сумма углов которого не равняется 360 и искать этому доказательство.
CaptainFlint
02.09.2025 13:36Вы почему-то застряли на том, что сумма двух нечётных является чётным. Это очевидное утверждение, и никто его и не пытается опровергать. И так как любое простое число, не равное двум, является нечётным, то сумма двух таких чисел, разумеется, будет чётным числом. С этим тоже никто не спорит.
Проблема заключается совсем в другом. Если мы начнём строить все мыслимые суммы из двух нечётных простых чисел, то будем получать самые разные чётные числа, причём вразнобой. И если мы рассмотрим множество всех чётных чисел, полученных таким способом, то окажется, что мы до сих пор не знаем, входят ли в него вообще все положительные чётные числа, или какие-то окажутся пропущенными.
Очевидно, что любое чётное число можно разложить на сумму двух нечётных, причём многими способами. Но нас интересуют не любые разложения, а только такие, где оба слагаемых простые. Скажем, если возьмём ваш пример с 12, то разложение 11+1 нам не подойдёт, так как число 1 не является простым; 9+3 тоже не подойдёт, так как 9 не является простым. А вот 7+5 подходит, так как оба числа — простые. И так с любым другим чётным числом: какие-то разложения могут удовлетворять правилу, какие-то — нет. Но мы не знаем, для каждого ли чётного числа найдётся вот такое "хорошее" разложение, что оба слагаемых окажутся простыми числами, или существуют такие чётные числа, у которых ни одно из разложений не будет состоять из двух простых. До сих пор таких примеров не найдено — но и доказательства их отсутствия тоже пока не существует. Так что вопрос остаётся открытым.
blik13
02.09.2025 13:36Гипотеза же пытается найти ответ - а есть ли исключения для простых чисел
Нет. Гипотеза пытается найти ответ - а есть ли исключене для какого-нибудь чётного. А вдруг это чётное разложится на два нечётных НЕ простых числа.
kipar
02.09.2025 13:36замените в своем доказательстве слово "простые" на, скажем, "нечетные и кратные трем". Все утверждения останутся теми же и вы в итоге "докажете" что любое четное число можно представить как сумму двух нечетных чисел кратных трем. Не наводит на мысли?
Ne_Nadya
02.09.2025 13:36Я об это тоже подумал, а потом сразу передумал. Тут в комментах уже объяснили , но я попытаюсь объяснить попроще .
Любое четное можно представить в виде суммы 2 простых чисел ?
Именно простых . Да , сумма 2 нечетов будет чет . Но кто сказал что не найдется такое четное число что не будет раскладываться на сумму именно 2 простых чисел. Множество простых , кроме 2 , находится в множестве нечестных . но вдруг есть такое четное число , что состоит из суммы 2 нечетных из оставшейся части множества .
Есть число 42 это у нас 37 и 5 . 37 и 5 оба простые и входят в множество нечестных .
Но вдруг есть число N где k1 и k2 нечетные , но при этом не входят в множество простых . тут в этом вопрос . как и писали в комментариях , любое простое , кроме 2, нечетное , но не любое нечетное - простое :)
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36Возьмем число 12. Нечетные числа который в сумме дадут его: 11+1, 9+3, 7+5. Мы видим, что на лицо прогрессия и она последовательна, которая подчиняется правилу, что следующая пара слагаемых всегда на 2 меньше предыдущих. И так с любым чётным. Получается, что надо найти такое чётное, которое не будет подчиняться этому правилу и в какой-то момент следующие слагаемые должно быть на 4 и более меньше. Так что ли? Тогда 2 выпавших числа в сумме должны дать какое-то другое число - нечётное! А такого быть не может.
LittleDuck
02.09.2025 13:36Нечетные ≠ простые
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36Простые = нечетные.
Ne_Nadya
02.09.2025 13:36Любое четное число можно представить в виде суммы 2 простых?
42 это 37 + 5 , оба слагаемых простые и нечетные .
Но вдруг найдётся такое четное число N, что его среди всех его разбиений на суммы двух слагаемых не найдется "простое" + "простое".среди них будут "нечет, ктр не является простым " + "нечет, ктр не является простым" , "чет"+"чет" , "нечет, кто не простое" + " простое ", но не найдётся "простое" + "простое".
Тот же 42 , 35 +7 ( "нечет, ктр не простое"+"простое"), 33+9 ("нечет,ктр не простое"+"нечет, ктр не простое"), 37+5 ( "простое"+"простое"). Но вдруг в каком-то четном числе не найдется разбиния на простое + простое
artptr86
02.09.2025 13:36Нет, нужно доказать, что среди этих пар слагаемых всегда будет пара простых. В вашем примере это 7 и 5.
realbtr
02.09.2025 13:36Загвоздка в том, что с ростом чисел простые встречаются все реже, и это реже неравномерно. И не исключено, что для каких то огромных чисел так получится, что для всех простых до половины таких чисел второе слагаемое окажется составным. Такое вероятно, хотя вероятность и мизерная, но а бесконечности и мизерная вероятность осуществима. Поэтому так важно, что для некого "достаточно большого N" можно доказать, что эта вероятность становится строго равна нулю. Но это число очень большое и что там перед ним - на сегодня неизвестно. Мы даже не предполагаем каким может быть размер лакуны в которой нет простых чисел. Есть оценка что она может быть порядка 78 миллионов, но это не два точных числа, между которыми нет простых. Но смотреть как эти лакуны появляются и растут довольно занимательно.Например между 113 и 127 находится 6 составных нечётных 115,117,119,121,123 и 125. Просто потому что каждое третье делится на три, каждое пятое на пять,каждое седьмое на семь и каждое 11-е на 12 и тут они аккуратно чередуются не совпадая. 5,3,7,11,3,5
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36В общем я понял эту задачу так: если взять чётное число, провести вертикальную прямую, в левую часть выписать все простые числа меньше этого числа, то в правой должен получиться список из нечётных чисел являющихся результатом вычитания из нечётного числа всех чисел из левого столбика и среди которых не должно оказаться ни одного простого.
В каждом чётном числе половина слагаемых - нечетные. В 1000 содержится 500 нечетных чисел. Берем и выписываем все простые числа меньше 1000 в левый столбик - 168 простых числа. В правый выписываем все оставшиеся нечетные числа, их будет тоже 500 - 168 = 332 составных. Теперь из правого уберем все числа, которые не могут быть получены вычитая из 500 числа из левого столбика. И окажется, что в правом чисел останется меньше чем в левом. Чего быть не должно - вычесть из 500 число из левого столбика и не найти его в правом будет противоречить логике. И чтобы уравновесить эти два столбика, то придется "копировать" числа из левого в правый, а значит и в правом появятся простые числа, т.е. они там и должны быть.
Хотя можно намного проще сделать: в левый выписать все нечетные числа меньше 1000, а в правый все нечетные составные числа. Тогда в левом их будет 500, а в правом 332. И получается 500 комбинаций и только 332 ответа, что уже не логично. Получается, что в левом будут числа вычитая которые из 1000 мы не получим ответ в принципе. А значит такое чётное число не может существовать.
kipar
02.09.2025 13:36Все эти рассуждения остаются справедливы если заменить "простые" на "нечетные и кратные трем".
blik13
02.09.2025 13:36да тут уже наверное десятком разных способов человеку пытались объяснить что он "доказывает" совсем не то, но воз и ныне там. Бесперспективняк).
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36оно не справедливо для простых?
kipar
02.09.2025 13:36Для простых оно ничего не доказывает. Например, возьмем первые 168 нечетных чисел, назовем их "легкие". Очевидно, что из них не получится составить пару, которая в сумме даст 1000, т.к. все легкие числа меньше 500.
Однако т.к. ваше доказательство не использует значения чисел а только их количество, то в него можно подставить "легкие числа" вместо "простые числа" и оно по прежнему будет утверждать что из двух легких чисел можно составить 1000. Следовательно, ваше доказательство ошибочно. Поиск ошибки оставляю вам, тем более что вы пока не признали даже ошибку в своих предыдущих попытках доказательства.
vvovas
02.09.2025 13:36Получается, что в левом будут числа вычитая которые из 1000 мы не получим ответ в принципе
Пусть вы вычитаете число A, которое есть в левом столбце (все нечетные числа < 1000), и получаете число B, которого нет в правом столбце (простое нечетное число). Т.е. 1000 - A = B.
Теперь докажите, что A - это простое число. У вас в левом столбце, как простые, так и составные числа. Что если существует такое четное число, для которого ваше условие, которое я процитировал, будет выполняться только если A - составное?Tomasu Автор
02.09.2025 13:36По условиям которые предложил я сказано, что из правого удалены все простые числа от 1000 до 0. Т.е. взяли одинаковых два списка и из одного удалили все простые. При вычитании из 1000 чисел из левого списка не может получиться число, которого не было в правом списке. Зачем доказывать, что полученный результат есть простое число? Полученный результат 1000 - А надо искать в правом, а не левом столбце. Если там нет результата, значит он является простым числом.
Смысл вообще не в этом. Смысл в том, что мы будем иметь ситуацию в которой вычитаемых больше чем разности. А такого быть не может. Вот о чем я писал.
Zenitchik
02.09.2025 13:36Вы не доказали, что это как-то относится к исходной задаче. ИМХО, демагогически усложняете рассуждения, чтобы запутать проверяющего.
vvovas
02.09.2025 13:36Вы по какой-то причине постоянно упускаете тот факт, что в гипотезе сказано про 2 простых числа.
Вы удалили простые числа из правого столбца. Да, в левом всегда будут такие числа, что при вычитании их из четного числа вы не найдете в правом столбце результат. Теперь докажите, что хотя бы одно такое число из левого столбца будет простым.
vvovas
02.09.2025 13:36попробуйте взглянуть с другой стороны.
Рассмотрим суммы 2х простых чисел:
3+3=6
3+5=8
3+7=10
3+11=14
Сначала четные числа идут попорядку, потом начинаются пропуски, потому что простые числа начинают попадаться реже. Да, 12 легко представить в виде 5+7, но всегда ли у нас получится подобрать другие простые числа, чтобы заполнить очередной пропуск?Tomasu Автор
02.09.2025 13:36Логика ваших рассуждений понятна. Но я писал не об этом, я написал, что согласно простой логике чётное число, которое можно получить никогда не имея одного из слагаем простого числа не может существовать в принципе.
Есть еще один момент - любое чётное число, полученное путем сложения простых чисел, всегда, в сумме с другим четным, число будет давать такое чётное, которое тоже будет получено сложением простых чисел. Отсюда - абсолютно все четные числа можно получить путем сложения двух простых чисел.
kipar
02.09.2025 13:36Есть еще один момент - любое чётное число, полученное путем сложения простых чисел, всегда, в сумме с другим четным, число будет давать такое чётное, которое тоже будет получено сложением простых чисел.
это еще надо доказать.
Tomasu Автор
02.09.2025 13:36Спасибо все кто принимал участие. Мне действительно было непонятно и я хотел разобраться. Ни о каком троллинге речи и не было. Сегодня я понял, что чтобы эту гипотезу как-то доказать, надо сначала понять логику распределения простых чисел. Всем спасибо. Всем удачи.
Zenitchik
02.09.2025 13:36Если бы такая логика была, не было бы проблемы находить новые простые числа...
blik13
А теперь нужно доказать что КАЖДОЕ натуральное чётное...
Tomasu Автор
Что именно доказать?
Zenitchik
Доказать, что таким образом можно породить любое натуральное чётное больше двух.
Tomasu Автор
Пусть два нечетных числа будут обозначены как aa и bb. Нечетные числа можно представить в виде a=2m+1a=2m+1 и b=2n+1b=2n+1, где mm и nn — целые числа.
Теперь найдем сумму этих двух нечетных чисел:
a+b=(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2=2(m+n+1).a+b=(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2=2(m+n+1).
Заметим, что 2(m+n+1)2(m+n+1) — это произведение числа 2 на целое число (m+n+1)(m+n+1). Следовательно, a+ba+b является четным числом.
Ответ: Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом.
Чем не доказательство?
Evengard
9 - нечётное число, но не простое. Где доказательство именно простых чисел?
Tomasu Автор
Так про то и разговор, что все простые есть нечетные. Зачем доказывать отдельно для чисел, которые входят во множество для которых есть доказательство?
Evengard
Ну не все нечётные ведь простые.
Evengard
Тут вопрос в том, можно ли абсолютно ЛЮБОЕ чётное число разложить именно на два простых. Тот что можно разложить на нечётные это очевидно, а вот вопрос именно нет ли такого чётного числа которое именно на два простых не разложится, а разложится на два нечётных, одно из которых простым являться не будет.
Tomasu Автор
Вот теперь я понял. Спасибо.
Tomasu Автор
Получается, что должно быть такое чётное число, которое не возможно представить суммой простых чисел, а значит и нечётных, т.к. простые всегда нечётные?
axion-1
4 может быть представлено только как сумма двух чётных простых чисел (2+2)
Tomasu Автор
Там сказано, что число должно быть больше 4. Больше никаких ограничений и исключений.
axion-1
Нет, там сказано "начиная с 4". Любое чётное число >=4 может быть представлено суммой двух простых чисел, не обязательно нечётных. Вот это утверждение пытаются доказать с 18-го века.
RavenStark
3+1
axion-1
1 не простое число.
RavenStark
Вы правы. Я неверно прочитал ваш комментарий.
FlyingDutchman2
Не все
Tomasu Автор
Ну конечно я забыл про 2...
blik13
Так вопрос не в том что даёт суммирование двух простых чисел. Вы пытаетесь доказать совсем другое.
Доказать нужно что любое чётное можно получить суммированием двух простых.
Zenitchik
Вы доказали, что сумма любых двух простых чисел - чётное число. Но исходное утверждение не доказали.
Tomasu Автор
Разве "сумма любых двух простых чисел - чётное число" это не тоже самое, что "сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом"?
Zenitchik
Но оба эти утверждения не эквивалентны исходному, которое Вы собирались доказать.